Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | Christoffel-symbolen van de Schwarzschild-metriek

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

De minimale straal van een holle bol

Een planeettijdreismachine

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

De Einstein-Rosen-brug

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De buitenkant van een wormgat

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Het waarneembare universum

Wat is een wormgat?

Het traagheidsmoment van twee hemellichamen

De tweelingparadox

De energie van zwaartekrachtgolven

Een dag zonder verjaardagen

Het vermogen van zwaartekrachtgolven

Tijdsvertraging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Tijdsvertraging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal volgens Einstein

De integralen van
f (x) = xⁿ/(a² + x²)^5/2

Een andere manier van leven

Een reeks afsplitsen van een functie

Afbuiging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Bewerkingen met reeksen

De Taylor-reeksen van
f (x) = x/(a ± x)²

De integralen van
f (x) = 1/((x + a)ⁿ (x² − a²))^1/2)

De integralen van
f (x) = cos^m (ax)/(1 + cos (ax))ⁿ

De integralen van
f (x) = (x²/(a² − x²))ⁿ

De massa van de atmosfeer

Hyper-Catalan-getallen

Een ontmoeting met aliens

Catalan-getallen

De Taylor-reeks van
f (x) = ln x

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = oneven)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = oneven)

De geodetische lijn van een lichtstraal bij een massa

De integralen van
f (x) = xⁿ/(x − a)

De integraal van
f (x) = 1/ln (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁵ (ax)

Een botsing met een zandkorrel

De opwarming van de Aarde

De integraal van
f (x) = cot¹⁰ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁸ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁶ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁴ (ax)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De gammafunctie

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

De contourintegraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

Holomorfie van de functie f (z) = z^p

Het grote filter

De integraal van
f (x) = tan⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁵ (ax)

Het getal e met een miljoen decimalen

De complete complementaire elliptische integraal van de derde soort

De complete complementaire elliptische integraal van de tweede soort

De complete complementaire elliptische integraal van de eerste soort

De complementaire elliptische integraal van de derde soort (vereenvoudigde vorm)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De contourintegraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De integraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

Contourintegralen

Integreren van complexe functies

Het spectrum van een zwart gat

De convergentie van een reeks

De Taylor-reeks van
f (x) = arctan (ax)

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van
f (x) = sin (ax)/x

De integraal van
f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

De Taylor-reeksen van
f (x) = b^±ax

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

Christoffel-symbolen van de Schwarzschild-metriek

Bereken alle Christoffel-symbolen van de Schwarzschild-metriek.

Christoffel-symbolen

Schwarzschild

Op deze pagina heb ik reeds de Schwarzschild-oplossing afgeleid, met als resultaat de Schwarzschild-metriek:

Vergelijking

Deze oplossing is een diagonale metrische tensor, dat wil zeggen dat alle componenten, behalve die op de hoofddiagonaal, nul zijn.

Christoffel

Op deze pagina heb ik uitgezocht welke Christoffel-symbolen van de eerste soort wel en niet nul worden in het geval van een diagonale metrische tensor en dat leverde dit resultaat op:

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

De Schwarzschild-oplossing is statisch en dat betekent dat alle afgeleiden naar de tijd (tijd = t = x⁰) nul zijn. Dat maakt mijn lijst een stukje korter:

Vergelijking

De componenten van de metrische tensor kan ik aflezen uit vergelijking (1) en dan is het nu een kwestie van differentiëren:

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Waardoor (3) overgaat in:

Vergelijking

De Christoffel-symbolen die nul zijn haal ik uit de lijst zodat het volgende overblijft:

Vergelijking

Voor de Schwarzschild-straal, de horizon van een zwart gat, geldt:

Vergelijking

En ik stel:

Vergelijking

Hiermee kan ik (6) ook schrijven als volgt:

Vergelijking

Dit zijn dus de Christoffel-symbolen van de eerste soort (die niet nul zijn) van de Schwarzschild-metriek. Daarnaast zijn er ook nog de Christoffel-symbolen van de tweede soort. Op deze pagina heb ik uitgezocht welke Christoffel-symbolen van de tweede soort wel en niet nul worden in het geval van een diagonale metrische tensor en dat leverde dit resultaat op:

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Zoals al eerder opgemerkt is de Schwarzschild-oplossing statisch en dat betekent dat alle afgeleiden naar de tijd (tijd = t = x⁰) nul zijn. Dat maakt mijn lijst wederom een stukje korter:

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Met de wijsheid van de vergelijkingen (4) kan ik het bovenstaande nog verder uitdunnen:

Vergelijking

Ik heb dus ook de contravariante componenten van de metrische tensor nodig en op deze pagina kun je zien hoe dat moet. Dat gaat volgens deze formule:

Vergelijking

Ik reken nu eerst die contravariante componenten uit:

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

En met behulp van de vergelijkingen (4), (7) en (8) kan ik nu zo de Christoffel-symbolen van de tweede soort opschrijven:

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Waarmee (12) wordt:

Vergelijking

Dit kan ik nog iets compacter maken:

Vergelijking

Ik zal ze even allemaal netjes bij elkaar zetten:

Christoffel-symbolen van de Schwarzschild-metriek die niet nul zijn
Eerste soort	Tweede soort

Miniatuur

Door naar het volgende vraagstuk: een ruimteschip, een kapitein, een klok en een knappe vrouw

Miniatuur

Terug naar het vorige vraagstuk: Eddington-Finkelstein-coördinaten

Miniatuur

Overzichtspagina met vraagstukken

Miniatuur

Overzichtspagina relativiteitstheorie

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/(−a² + x²)^1/2

Miniatuur

De integraal van
f (x) = x² ln (ax)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)^1/2

Miniatuur

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax)
(n = oneven)

Miniatuur

De integralen van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

Miniatuur

De integralen van
f (x) = secⁿ (ax)

Miniatuur

Inwendig product, uitwendig product en dyadisch product

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 42

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 87

Miniatuur

Miniatuur

De Taylor-reeks van
f (x) = e^−x²

Miniatuur

De convergentie van een reeks

Miniatuur

De stelling van Green

Miniatuur

Holomorfie van de functie
f (z) = f₁ (z)/f₂ (z)

Miniatuur

Holomorfie van de functie
f (z) = f (at)

Miniatuur

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 6

Miniatuur

De automobilist die door rood reed

Miniatuur

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

Miniatuur

Miniatuur

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

Miniatuur

Miniatuur

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

Miniatuur

Miniatuur

De minimale straal van een holle bol

Miniatuur

Een planeettijdreismachine

Miniatuur

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Miniatuur

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Miniatuur

Getijdenkrachten

Miniatuur

Zijn wij vroeg of laat?

Miniatuur

Overzichtspagina wiskunde

Miniatuur

Overzichtspagina natuurkunde

Miniatuur

Overzichtspagina filosofie

Miniatuur

Doneer enkele euro’s

Miniatuur

Wetenschappelijke boeken te koop

Miniatuur

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2026