Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | Christoffel-symbolen van de Schwarzschild-metriek

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

De Taylor-reeksen van f (x) = b^±ax

De functie f (x) = a^x − x^a

De integralen van f (x) = tanⁿ (ax)

Ze zijn er niet

De Taylor-reeks van f (x) = 1/(1 − a² cos² x)^1/2

De Taylor-reeks van f (x) = (1 − a² cos² x)^1/2

Samenvatting van de holomorfietabel van complexe functies

1000 doden per minuut

Integreren van complexe functies

Holomorfietabel van complexe functies

Differentiëren van complexe functies

Definities en eigenschappen van complexe getallen

Machten van x neutraliseren middels de gammafunctie

De gammafunctie (functiewaarden)

De gammafunctie

Het explosieve einde van een zwart gat

De verdamptijd van een zwart gat

Een simpele afleiding van de Hawking-straling

Waar begint de spaghettificatie?

De kans op buitenaards leven

De oppervlaktezwaartekracht van een zwart gat

Een simpele afleiding van de Unruh-temperatuur

Wij en buitenaards leven

Voorbeelden van E = mc²

De pijn die je voelt wanneer je in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De Euler-Lagrange-vergelijking

De baan van een baksteen bij een zwart gat

De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)

De integralen van f (x) = sin² x/(1 + a cos x)²

De integraal van f (x) = 1/(x² (ax² + bx + c))

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De integraal van f (x) = x^m ln (ax)

De integraal van f (x) = x^p ln (ax)

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De naam van een zwart gat

De integraal van f (x) = x^p cos (ax)

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

Christoffel-symbolen van de Schwarzschild-metriek

Bereken alle Christoffel-symbolen van de Schwarzschild-metriek.

In een ander vraagstuk heb ik reeds de Schwarzschild-oplossing afgeleid, met als resultaat de Schwarzschild-metriek:

Deze oplossing is een diagonale metrische tensor, dat wil zeggen dat alle componenten, behalve die op de hoofddiagonaal, nul zijn.

In een ander vraagstuk heb ik uitgezocht welke Christoffel-symbolen van de eerste soort wel en niet nul worden in het geval van een diagonale metrische tensor en dat leverde dit resultaat op:

De Schwarzschild-oplossing is statisch en dat betekent dat alle afgeleiden naar de tijd (tijd = t = x⁰) nul zijn. Dat maakt mijn lijst een stukje korter:

De componenten van de metrische tensor kan ik aflezen uit vergelijking (1) en dan is het nu een kwestie van differentiëren:

Waardoor (3) overgaat in:

De Christoffel-symbolen die nul zijn haal ik uit de lijst zodat het volgende overblijft:

Voor de Schwarzschild-straal, de horizon van een zwart gat, geldt:

En ik stel:

Hiermee kan ik (6) ook schrijven als volgt:

Dit zijn dus de Christoffel-symbolen van de eerste soort (die niet nul zijn) van de Schwarzschild-metriek. Daarnaast zijn er ook nog de Christoffel-symbolen van de tweede soort. In dit vraagstuk heb ik uitgezocht welke Christoffel-symbolen van de tweede soort wel en niet nul worden in het geval van een diagonale metrische tensor en dat leverde dit resultaat op:

Zoals al eerder opgemerkt is de Schwarzschild-oplossing statisch en dat betekent dat alle afgeleiden naar de tijd (tijd = t = x⁰) nul zijn. Dat maakt mijn lijst wederom een stukje korter:

Met de wijsheid van de vergelijkingen (4) kan ik het bovenstaande nog verder uitdunnen:

Ik heb dus ook de contravariante componenten van de metrische tensor nodig en in dit vraagstuk kun je zien hoe dat moet. Dat gaat volgens deze formule:

Ik reken nu eerst die contravariante componenten uit:

En met behulp van de vergelijkingen (4), (7) en (8) kan ik nu zo de Christoffel-symbolen van de tweede soort opschrijven:

Waarmee (12) wordt:

Dit kan ik nog iets compacter maken:

Ik zal ze even allemaal netjes bij elkaar zetten:

Christoffel-symbolen van de Schwarzschild-metriek die niet nul zijn
Eerste soort	Tweede soort

Door naar het volgende vraagstuk: een ruimteschip, een kapitein, een klok en een knappe vrouw

Terug naar het vorige vraagstuk: Eddington-Finkelstein-coördinaten

Overzichtspagina met vraagstukken

Overzichtspagina relativiteitstheorie

De integraal van
f (x) = 1/x² (a² − x²)^1/2

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos x)

De integraal van
f (x) = x^p/(e^x − 1)

De integralen van
f (x) = xⁿ

Covariante vectoren en contravariante vectoren

Vectoren, vraagstuk 43

Vectoren, vraagstuk 88

Tabel met Taylor-reeksen

De Taylor-reeks van
f (x) = e^−ax²

De stelling van Gauss

Holomorfie van de functie
f (z) = z

Integreren van complexe functies

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 8

De transformatievergelijking voor de energie van EM-golven

De naam van een zwart gat

Kwantummechanica

De grote vragen in het leven

De illusie dat dit een vrij land is

Geodetisch leven

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

De Taylor-reeksen van f (x) = b^±ax

De functie f (x) = a^x − x^a

De integralen van f (x) = tanⁿ (ax)

Overzichtspagina wiskunde

Overzichtspagina natuurkunde

Overzichtspagina filosofie

Doneer enkele euro’s

Wetenschappelijke boeken te koop

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2025