Christoffel-symbolen van de Schwarzschild-metriek
Bereken alle Christoffel-symbolen van de Schwarzschild-metriek.
In een ander vraagstuk heb ik reeds de
Schwarzschild-oplossing afgeleid,
met als resultaat de Schwarzschild-metriek:
Deze oplossing is een
diagonale metrische tensor,
dat wil zeggen dat alle componenten, behalve die op de
hoofddiagonaal, nul zijn.
In een ander vraagstuk heb ik uitgezocht welke Christoffel-symbolen van de
eerste soort wel en niet nul worden in het geval van een
diagonale metrische tensor en dat leverde dit resultaat op:
De
Schwarzschild-oplossing is statisch en dat betekent dat alle
afgeleiden naar de tijd (tijd = t = x
0) nul zijn.
Dat maakt mijn lijst een stukje korter:
De componenten van de metrische tensor kan ik aflezen uit vergelijking (1) en dan is het nu een kwestie van
differentiëren:
Waardoor (3) overgaat in:
De Christoffel-symbolen die nul zijn haal ik uit de lijst zodat het volgende overblijft:
Voor de
Schwarzschild-straal,
de
horizon
van een
zwart gat, geldt:
En ik stel:
Hiermee kan ik (6) ook schrijven als volgt:
Dit zijn dus de Christoffel-symbolen van de eerste soort (die niet nul zijn) van de Schwarzschild-metriek.
Daarnaast zijn er ook nog de Christoffel-symbolen van de tweede soort.
In
dit vraagstuk heb ik uitgezocht welke Christoffel-symbolen
van de tweede soort wel en niet nul worden in het geval van een
diagonale metrische tensor
en dat leverde dit resultaat op:
Zoals al eerder opgemerkt is de
Schwarzschild-oplossing
statisch en dat betekent dat alle
afgeleiden
naar de tijd (tijd = t = x
0) nul zijn.
Dat maakt mijn lijst wederom een stukje korter:
Met de wijsheid van de vergelijkingen (4) kan ik het bovenstaande nog verder uitdunnen:
Ik heb dus ook de contravariante componenten van de metrische tensor nodig en in
dit vraagstuk kun je zien hoe dat moet.
Dat gaat volgens deze formule:
Ik reken nu eerst die contravariante componenten uit:
En met behulp van de vergelijkingen (4), (7) en (8) kan ik nu zo de Christoffel-symbolen van de tweede soort opschrijven:
Waarmee (12) wordt:
Dit kan ik nog iets compacter maken:
Ik zal ze even allemaal netjes bij elkaar zetten:
Christoffel-symbolen van de Schwarzschild-metriek die niet nul zijn |
Eerste soort |
Tweede soort |
|
|
|