De integraal van
f (x) = 1/(ax2 + bx + c)
Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(ax2 + bx + c)
De grafiek van f (x) = 1/(ax
2 + bx + c) voor a = 1, b = 3, c = 1 (de rode lijn),
a = 2, b = 6, c = 2 (de groene lijn) en a = 3, b = 9, c = 3 (de blauwe lijn)
Voor het
integreren
van deze functie ga ik gebruik maken van
breuksplitsing.
Daarnaast dienen we de
kettingregel van het
differentiëren voor ogen te hebben:
De
discriminant van de noemer is
groter dan nul en de noemer kent daarom twee nulpunten p en q die we nu eerst berekenen met de
abc-formule:
De
integraal wordt dan:
Het resultaat schrijf ik om om de constanten a, b en c er weer in te brengen:
Ter controle ga ik het resultaat
differentiëren:
Nu moet er nog wel iets gebeuren want de
logaritme van een negatief getal kan niet.
De oplossing is simpel, ik neem de
absolute waarde:
Tot slot wil ik nog opmerken dat je de
area tangens hyperbolicus
kunt
omschrijven naar een
natuurlijke logaritme,
en vice versa, als volgt:
De oplossing van deze
integraal
kan ik daarom ook als volgt opschrijven:
De grafiek van F (x) voor a = 1, b = 3, c = 1 (de rode lijn),
a = 2, b = 6, c = 2 (de groene lijn) en a = 3, b = 9, c = 3 (de blauwe lijn), C = 0