De stelling van Stokes
Ik beschouw een infinitesimaal klein rechthoekje ABCD:
Ter plaatse van dit rechthoekje is een veld aanwezig van een bepaalde grootheid Ω (x, y).
Deze grootheid varieert in de x-richting en y-richting volgens:
Vervolgens ga ik de kring
integraal
uitrekenen van Ω over de omtrek van de rechthoek ABCD:
Deze vier deel
integralen
ga ik apart uitwerken.
Ik begin met de eerste
integraal,
het traject van A naar B (Ω
Ax betekent de x-component van Ω in het punt A, enzovoort):
Vervolgens reken ik de tweede
integraal uit,
het traject van B naar C:
En de derde
integraal,
van C naar D:
Tot slot de vierde
integraal,
van D terug naar A:
Nu ga ik alle resultaten optellen:
Omdat:
En omdat bovendien x
A = x
D en y
A = y
B wordt vergelijking (8) daarmee:
Bij de voorlaatste stap heb ik de
tweede afgeleide
verwaarloosd, maar ik had er ook simpelweg voor kunnen kiezen om de
oorsprong in het punt A neer te leggen zodat x
A en y
A beide nul zijn.
En wat nog veel belangrijker is, is dat we hier de z-component van de
rotatie hebben staan!
Ik heb hier gerekend met een oneindig klein rechthoekje ABCD, maar ik kan heel veel van deze rechthoekjes aan elkaar
leggen om een willekeurig oppervlak te vormen waarbij alle randjes die tegen elkaar aanliggen niet bijdragen aan de
integraal
omdat datgene wat bij de rand van het ene oppervlakje de ene kant opwerkt bij de rand van het aangrenzende
oppervlakje precies de andere kant opwerkt.
Dit is de
rotatie van het veld:
En dit is de component daarvan die loodrecht op het oppervlak staat (als het oppervlak in het x-y-vlak ligt dan vormt
zich zo de z-component):
Welkom bij de
stelling van Stokes:
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
Vectoren
Vectoren, vraagstuk 30
Vectoren, vraagstuk 68
Vraagstukken xref voor de UT
De Taylor-reeks van
De Taylor-reeks van
Wiskunderaadsels
Relativiteitstheorie rekenkundig, hoofdstuk 1: snelheden
Uitleg artikel precessie van Mercurius
Relativistische periheliumprecessie, 1e orde benadering
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt
Een lichtjaar omrekenen naar parsecs en vice versa
De energie in een condensator
De illusie dat ik morgen nog gezond ben
Reizigers naar de werkelijkheid
Beperkingen
De Natuur spreekt: Ice/IJs
Reacties op lezingen
LaTeX: Griekse letters
Kalender van de jaren 0021 − 0030 met weekdagen
Complexe getallen
Machten van x neutraliseren middels de gammafunctie
De gammafunctie (functiewaarden)
De gammafunctie
Het explosieve einde van een zwart gat
De verdamptijd van een zwart gat
Waar zijn ze?
Een simpele afleiding van de Hawking-straling
Waar begint de spaghettificatie?
De kans op buitenaards leven
Naar de overzichtspagina wiskunde
Naar de overzichtspagina natuurkunde
Naar de overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen