Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | Eddington-Finkelstein-coördinaten

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

De Einstein-Rosen-brug

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De buitenkant van een wormgat

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Het waarneembare universum

Wat is een wormgat?

Het traagheidsmoment van twee hemellichamen

De tweelingparadox

De energie van zwaartekrachtgolven

Een dag zonder verjaardagen

Het vermogen van zwaartekrachtgolven

Tijdsvertraging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Tijdsvertraging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal volgens Einstein

De integralen van
f (x) = xⁿ/(a² + x²)^5/2

Een andere manier van leven

Een reeks afsplitsen van een functie

Afbuiging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Bewerkingen met reeksen

De Taylor-reeksen van
f (x) = x/(a ± x)²

De integralen van
f (x) = 1/((x + a)ⁿ (x² − a²))^1/2)

De integralen van
f (x) = cos^m (ax)/(1 + cos (ax))ⁿ

De integralen van
f (x) = (x²/(a² − x²))ⁿ

De massa van de atmosfeer

Hyper-Catalan-getallen

Een ontmoeting met aliens

Catalan-getallen

De Taylor-reeks van
f (x) = ln x

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = oneven)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = oneven)

De geodetische lijn van een lichtstraal bij een massa

De integralen van
f (x) = xⁿ/(x − a)

De integraal van
f (x) = 1/ln (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁵ (ax)

Een botsing met een zandkorrel

De opwarming van de Aarde

De integraal van
f (x) = cot¹⁰ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁸ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁶ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁴ (ax)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De gammafunctie

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

De contourintegraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

Holomorfie van de functie f (z) = z^p

Het grote filter

De integraal van
f (x) = tan⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁵ (ax)

Het getal e met een miljoen decimalen

De complete complementaire elliptische integraal van de derde soort

De complete complementaire elliptische integraal van de tweede soort

De complete complementaire elliptische integraal van de eerste soort

De complementaire elliptische integraal van de derde soort (vereenvoudigde vorm)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De contourintegraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De integraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

Contourintegralen

Integreren van complexe functies

Het spectrum van een zwart gat

De convergentie van een reeks

De Taylor-reeks van
f (x) = arctan (ax)

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van
f (x) = sin (ax)/x

De integraal van
f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

De Taylor-reeksen van
f (x) = b^±ax

De functie f (x) = a^x − x^a

De integralen van
f (x) = tanⁿ (ax)

Ze zijn er niet

De Taylor-reeks van
f (x) = 1/(1 − a² cos² x)^1/2

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

Eddington-Finkelstein-coördinaten

Wat zijn Eddington-Finkelstein-coördinaten en wat kun je er mee?

In de eerste plaats zijn het eigenlijk Eddington-coördinaten, want hij schreef ze als eerste op (in 1924, toen was Finkelstein nog niet eens geboren) en Finkelstein kwam er pas veel later (in 1958) nogmaals mee aanzetten. Echter, door weer zo’n rare historische twist zijn de namen van beide heren nu verbonden aan dit coördinatenstelsel.

Goed, dat gezegd hebbende, Eddington-Finkelstein-coördinaten zijn een soort bolcoördinaten waarbij je de tijd t omzet als volgt:

De differentiaal hiervan is:

Oftewel:

Het feit dat ik de tijdcoördinaat ga omzetten geeft eigenlijk al wel aan dat ik met relativiteitstheorie bezig ben. Daarom pak ik nu de Schwarzschild-oplossing erbij, de eerste en eenvoudigste oplossing van de vergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie:

Ik stel:

Daarmee worden de vergelijkingen (1), (3) en (4):

Nu ga ik de tijdcoördinaat in vergelijking (8) vervangen door de nieuwe tijdcoördinaat volgens vergelijking (7):

Wanneer ik g₀₀ en g₁₁ uitzet in een grafiek in bolcoördinaten dan ziet dat er zo uit (waarbij ik r₀ genormaliseerd heb naar één en de lichtsnelheid c ook):

De grafiek van g₀₀ (de rode lijn) en g₁₁ (de groene lijn) in bolcoördinaten

Voor r = 1 is er een probleem: g₁₁ gaat naar oneindig. Hieronder staat dezelfde grafiek, maar dan in Eddington-Finkelstein-coördinaten:

De grafiek van g₀₀ (de rode lijn) en g₁₁ (de groene lijn) in Eddington-Finkelstein-coördinaten

Er zijn nu geen wiskundige problemen meer in die zin dat een noemer op enig moment nul wordt. Behalve natuurlijk voor r = 0, maar dat was altijd al zo, ook bij de gravitatiewet van Newton:

Dit is de kracht en het nut van Eddington-Finkelstein-coördinaten, bij zwarte gaten kom je met andere coördinatensystemen in de problemen in de buurt van de horizon en dat wiskundige akkefietje wordt op deze manier weggepoetst.

Dat brengt ons bij dit overzicht:

De Schwarzschild-oplossing
In bolcoördinaten	Toon afleiding
In Eddington-Finkelstein-coördinaten
In isotrope coördinaten	Toon afleiding

Door naar het volgende vraagstuk: Christoffel-symbolen van de Schwarzschild-metriek

Terug naar het vorige vraagstuk: relativistische periheliumprecessie, 2^e orde benadering

Overzichtspagina met vraagstukken

Overzichtspagina relativiteitstheorie

De integraal van
f (x) = 1/(x³ (ax + b)^1/2)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De integraal van
f (x) = x² e^−ax²

De integraal van
f (x) = (1 − a² cos² x)^1/2

De integralen van
f (x) = xⁿ ∙ 1/(a² + x²)^3/2

Vectoren, vraagstuk 34

Vectoren, vraagstuk 79

Wat is de metrische tensor?

De Taylor-reeks van
f (x) = 1/(1 + x)^1/2

De Taylor-reeksen van
f (x) = e^±ax²

De stelling van Green

Holomorfie van de functie
f (z) = f₁ (z)/f₂ (z)

Holomorfie van de functie
f (z) = f (at)

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 6

De automobilist die door rood reed

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De wetten van Maxwell met potentialen

De illusies die wij leven

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

De Einstein-Rosen-brug

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De buitenkant van een wormgat

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Het waarneembare universum

Wat is een wormgat?

Overzichtspagina wiskunde

Overzichtspagina natuurkunde

Overzichtspagina filosofie

Doneer enkele euro’s

Wetenschappelijke boeken te koop

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2026