Derdegraads vergelijking oplossen
Stel, ik heb de volgende
derdegraads vergelijking:
Van deze derdegraads vergelijking wil ik weten waar de grafiek de assen snijdt.
Het snijpunt met de y-as is simpel, want de y-as is de lijn waarvoor geldt x = 0.
Ik hoef daarvoor slechts x = 0 in te vullen in vergelijking (1) en ik vind het snijpunt met de y-as:
Het snijpunt met de y-as is altijd (0, d).
Het snijpunt met de x-as ligt een stuk ingewikkelder, want de x-as is de lijn waarvoor geldt y = 0.
Ik moet in dit geval y = 0 invullen in vergelijking (1) en dan vind ik het snijpunt (of de snijpunten, meervoud) met de x-as.
Deze derdegraads vergelijking moet ik oplossen om te weten te komen waar de
nulpunten liggen, de punten waar de
grafiek de x-as snijdt of raakt (met nulpunten bedoel ik op deze pagina dus de
reële nulpunten, oftewel de punten waar de
functie de horizontale as snijdt of raakt, dus
complexe
nulpunten laat ik buiten beschouwing tenzij ik dat expliciet vermeld).
Afhankelijk van de waarde van a, positief of negatief, ‘begint’ de functie ergens linksonder of ergens linksboven.
Indien a > 0 dan ziet de functie er (bijvoorbeeld) uit zoals hiernaast.
En wanneer a < 0 dan ziet de functie er (bijvoorbeeld) zo uit.
Voor het gemak deel ik daarom eerst door a, ik
normaliseer de functie:
Ik stel:
Waardoor (4) overgaat in:
Vergelijking (6) is een derdegraads vergelijking die altijd ‘ergens linksonder begint’ en ‘ergens rechtsboven eindigt’,
dat praat gemakkelijker.
Vervolgens is het eerste probleem dat we helemaal niet weten hoeveel nulpunten er zijn.
De functie gaat van linksonder naar rechtsboven en dit betekent dat de grafiek minstens eenmaal de x-as moet kruisen
en dat er dus minstens één nulpunt is.
Of er nog meer nulpunten zijn hangt er van af of de grafiek de hele tijd blijft stijgen ...
... of wellicht onderweg weer naar beneden duikt en de x-as raakt ...
... of ook nog kruist en weer onder de x-as terecht komt.
Wanneer de grafiek voor de tweede keer de x-as kruist dan zal de grafiek daarna ook nog een derde maal de x-as
moeten kruisen om uiteindelijk toch naar rechtsboven te gaan.
Meer mogelijkheden zijn er niet en dus heeft de grafiek één, twee (één nulpunt en een raakpunt) of drie nulpunten.
Het stijgen en dalen van de grafiek kunnen we onderzoeken middels de
afgeleide van de functie:
Deze
afgeleide stel ik gelijk aan nul:
De
abc-formule
geeft ons de beide nulpunten:
Dat deel onder de
wortel,
de
discriminant
(van een
tweedegraads vergelijking), noem ik p:
Waardoor vergelijking (9) wordt:
In het geval dat p = 0 vereenvoudigt dit tot:
In dit geval heeft de
afgeleide
één nulpunt en heeft de grafiek één punt waar de raaklijk horizontaal loopt.
Indien p < 0 dan heeft de afgeleide
geen nulpunten en de grafiek heeft geen punten waar de raaklijn horizontaal loopt
en waar de grafiek wellicht overgaat van stijgen naar dalen.
Kortom, indien p < 0 dan is er maar één nulpunt.
Wanneer p = 0 dan is er één punt waar de grafiek even horizontaal loopt, maar links en rechts van dat punt is de grafiek stijgend.
Ook in dat geval is er maar één nulpunt.
Maar wanneer p > 0 dan wil dat nog niet zeggen dat er meerdere nulpunten zijn, want dat hangt er van af of de grafiek
daarbij wel of niet de x-as raakt of kruist.
Het is daarom wel interessant om uit te rekenen wat de y-waarden zijn van de twee punten die vergelijking (11) aangeeft.
De x-waarden zijn:
De bijbehorende y-waarden vinden we door deze x-waarden in te vullen in (1):
Die eerste drie termen tussen de haken pak ik samen en die noem ik q:
Waarmee ik voor de beide y-waarden kan schrijven:
De vergelijkingen (16) kan ik samenpakken als volgt:
Voor p = 0 is er maar één horizontale raaklijn en wordt (17):
Ik weet dat de breuk y
1/y
2 cruciale informatie bevat, want indien y
1 en y
2
een verschillend teken hebben (lees: aan verschillende kanten van de x-as liggen, dus erboven en eronder) dan weet ik
of er wel of niet drie nulpunten zijn.
Ik wil daarom graag weten of y
1/y
2 positief of negatief is.
Het grensgeval dat daar precies tussenin zit is y
1/y
2 = 0:
En dit grensgeval moet uiteraard ook voor de reciproke breuk y
2/y
1 gelden:
Door te
kwadrateren
pak ik de vergelijkingen (19) samen en maak ik alles netjes en kloppend:
Ik had dit ook kunnen benaderen door het product van y
1 en y
2 uit te rekenen:
Het grensgeval ligt daar waar dit product nul is:
Hetgeen tot hetzelfde resultaat leidt (maar op een simpeler manier).
Ik introduceer een p' en een p'':
En ik introduceer ook een q' en een q'':
Ik stel:
Vervolgens verbouw ik vergelijking (20):
Of helemaal uitgeschreven in a, b, c en d:
Het deel tussen haakjes noem ik D:
Merk op dat D het tegenovergestelde teken heeft van k.
Er geldt dus:
Ik ga even al mijn bevindingen tot nu toe op een rijtje zetten.
Indien p < 0 dan is er één nulpunt en er geldt dan altijd dat k > 0 (zie vergelijking (21g), indien p < 0
dan is p3 < 0 en −4p3 > 0, q2 is sowieso > 0 omdat een
kwadraat niet negatief kan zijn, en dus is k > 0).
Dan is D < 0 (want D heeft het tegenovergestelde teken van k).
Indien p = 0 dan is er ook maar één nulpunt en er geldt dan ook altijd dat k > 0 (zie vergelijking (21g),
indien p = 0 dan is p3 = 0 en −4p3 = 0, q2 is sowieso > 0 omdat
een kwadraat niet negatief kan zijn, en
dus is k > 0 en D < 0), ...
... en het punt waar de grafiek even horizontaal loopt kan natuurlijk ook ergens onder de x-as liggen.
Indien p > 0 én k > 0 (en dus D < 0) dan is er nog steeds maar één nulpunt (dat heb ik uitgezocht middels
de vergelijkingen (19) en (20)) ...
... en dat kan er ook zo uit zien.
Indien k = 0 (dan moet gelden dat p > 0, en indien k = 0 dan geldt ook dat D = 0) dan zijn er twee nulpunten
(zie wederom de vergelijkingen (19) en (20)) ...
... en dat kan er ook zo uit zien.
En tenslotte, indien k < 0 (ook dit kan alleen gelden indien p > 0, en voor k < 0 geldt automatisch dat D > 0)
dan, en alleen dan, zijn er drie nulpunten.
Aan de waarde van D kun je dus aflezen hoeveel nulpunten er zijn.
We noemen D daarom de
discriminant.
Samengevat in een tabel ziet het er zo uit:
|
p < 0 |
p = 0 |
p > 0 |
| D > 0 |
Komt niet voor |
Twee horizontale raaklijnen,
drie nulpunten |
| D = 0 |
 
Twee horizontale raaklijnen,
twee nulpunten |
| D < 0 |
Geen horizontale raaklijn,
één nulpunt |
 
Eén horizontale raaklijn,
één nulpunt |
 
Twee horizontale raaklijnen,
één nulpunt |
| Aantal nulpunten in een derdegraads vergelijking |
Merk op wat er gebeurt met de discriminant wanneer ik a = 0 stel:
Die factor b
2 maakt niets uit voor het teken (want b
2 is altijd positief) en die deel
ik daarom uit.
Voor a = 0 houd ik een
tweedegraads vergelijking
over (een parabool) en de vergelijking hierboven is ook inderdaad de
discriminant van een
tweedegraads vergelijking.
Wanneer ik dan ook nog b = 0 stel dan resteert de discriminant van een eerstegraads vergelijking:
Deze discriminant is altijd positief en een eerstegraads vergelijking (een rechte lijn) heeft ook altijd
één nulpunt, behalve indien c = 0, dan loopt de lijn parallel aan de x-as en is er geen nulpunt (en is D = 0).
Dit brengt ons bij het volgende interessante overzicht:
|
Eerstegraads vergelijking
 |
Tweedegraads vergelijking
 |
Derdegraads vergelijking
 |
| D > 0 |
1 |
2 |
3 |
| D = 0 |
0 |
1 |
2 |
| D < 0 |
Komt niet voor |
0 |
1 |
| Aantal nulpunten in een ne-graads vergelijking |
Ik heb nu wel een criterium gevonden (de discriminant D, vergelijking (23j)) voor het
aantal nulpunten,
maar ik weet nog steeds niet
waar ze liggen.
Daarom ga ik het volgende doen: ik ga de grafiek horizontaal verschuiven en wel zodanig dat e of f nul wordt.
Met andere woorden, ik ga de volgende
translatie uitvoeren (de horizontale verschuiving is h):
Dan wordt vergelijking (6):
Ik stel:
Waardoor (27) wordt:
Het is uiteraard het simpelste om j gelijk aan nul te stellen, en daarmee de translatie h zo te kiezen dat:
Voor m en n kan ik dan schrijven:
En daarmee wordt (29):
Zo zijn we alvast de term met x
2 kwijt.
Deze vergelijking noemen we de
gereduceerde vergelijking.
De grote vraag is natuurlijk: brengt dit een oplossing dichterbij?
Door de translatie die we net uitgevoerd hebben zijn we één term kwijt geraakt.
Het is natuurlijk heel verleidelijk om het dan nog eens te doen om te kijken of we nog een term kwijt kunnen raken.
Wat houdt ons tegen?
Helemaal niets!
Ik voer nogmaals een horizontale translatie uit, ditmaal over een afstand r:
Dan wordt vergelijking (31):
Zijn we nu weer terug bij af?
Nee, want nu komt de grote truc, of het grote inzicht, net hoe je het noemen wilt.
Ik ga de termen even wat reorganiseren:
Ik stel die term tussen het eerste paar haken gelijk aan nul, of beter gezegd, ik kies de translatie r zo dat die term tussen het
eerste paar haken altijd gelijk aan nul is:
Dan valt er in (34) van alles weg:
Ik heb nu alleen nog een derde
macht van x'' over!
Maar het ligt nu wel iets gecompliceerder, want h (de eerste translatie) is een constante (h = e/3, zie vergelijking (30a))
terwijl r (de tweede translatie) een functie van x'' is (zie vergelijking (35)).
Ik ga (35) daarom invullen in (36) om weer een volledige functie van x'' te krijgen:
Vervolgens ga ik over naar een andere variabele:
Vergelijking (37) wordt dan een
tweedegraads vergelijking (hoera!):
Met de
abc-formule
is dit eenvoudig op te lossen:
We hebben in één keer twee nulpunten gevonden!
Nu moet ik weer terugwerken naar x.
Vergelijking (38) brengt mij om te beginnen weer terug naar x'':
Vergelijking (32) in combinatie met (35) brengt mij weer terug naar x':
Met behulp van (21i) wordt dit:
Die +/− en −/+ zijn precies tegenovergesteld (de één is plus en de ander is min of vice versa), dus dat maakt niets uit,
het is symmetrisch.
Dan wordt (43):
En de vergelijkingen (26) en (30a) brengen mij tenslotte weer terug bij x:
Net sprak ik nog euforisch dat we twee oplossingen hebben gevonden, maar dat blijkt er nu toch maar één te zijn.
Dat is helemaal niet erg, want die ene oplossing kan ik uitdelen en via de
abc-formule
zijn de andere oplossingen dan snel gevonden.
In het geval dat er één nulpunt is (D < 0) dan kun je
altijd bovenstaande vergelijking toepassen.
In de geschiedenisboekjes vind je (45) terug als de
formule van Cardano.
Eén ding weten we echter zeker: Cardano heeft dit
niet bedacht!
De oplossingsmethode die ik hierboven heb uitgewerkt is gevonden door Scipione del Ferro.
Del Ferro publiceerde de methode echter niet, maar gaf het door aan zijn leerlingen Antonio Maria del Fiore en
Annibale della Nave.
Del Fiore ging een wedstrijd aan met Niccolò Tartaglia, die dezelfde methode vond (en daarmee de wedstrijd won).
Vervolgens kreeg Tartaglia bezoek van Girolamo Cardano en maakte, na lang aandringen en een belofte van geheimhouding,
Cardano deelgenoot van zijn oplossingsmethode.
Cardano brengt later eveneens een bezoek aan Della Nave en die toont hem een manuscript van de hand van Del Ferro waar
dezelfde oplossing in staat.
Een leerling van Cardano, Lodovico Ferrari, vindt intussen een oplossing voor een vierdegraads vergelijking die
gebaseerd is op de oplossing van de derdegraads vergelijking.
Publicatie van de vierdegraads oplossing betekent dus tevens publicatie van de derdegraads oplossing.
Om deze reden, én omdat Tartaglia niet de eerste ontdekker was, én omdat er aan de oplossing van Del Ferro geen
geheimhoudingsclausule is gekoppeld, gaat Cardano overstag en publiceert alles in zijn boek
Ars Magna
(
De Grote Kunst) en gaat met de eeuwige roem aan de haal, uiteraard tot grote woede van Tartaglia.
Het gebeurde allemaal vijfhonderd jaar geleden in Italië.
Goed, voor het geval van één nulpunt kunnen we dus altijd (45) inzetten.
In het geval van twee nulpunten is D = 0 (én k = 0) en vereenvoudigt (45) tot:
Deze oplossing noem ik u en middels een staartdeling ga ik die uitdelen uit de oorspronkelijke derdegraads vergelijking:
Die restterm onderaan de staartdeling is per definitie nul omdat u een nulpunt is, en rechtsboven staat de
tweedegraads vergelijking die ik over houd.
De oorspronkelijke derdegraads vergelijking kan ik aldus schrijven:
Ik ga die
tweedegraads vergelijking,
die noem ik voor het gemak ζ, uitwerken door het nulpunt u, vergelijking (46), daarin in te vullen:
Vervolgens pas ik de
abc-formule toe:
Omdat we bezig zijn de situatie uit te zoeken met twee nulpunten, dus D = k = 0, geldt volgens vergelijking (21i):
En (50) wordt dan:
Omdat de
discriminant
(van de tweedegraads vergelijking) nul is komen we tot een bijzonder simpel resultaat: twee nulpunten vallen samen
en vormen een raakpunt.
De
discriminant
(van de tweedegraads vergelijking) moest ook wel nul zijn want anders waren er twee nulpunten uit deze
abc-formule
gerold en hadden we in totaal drie nulpunten, terwijl we de situatie voor twee nulpunten aan het uitzoeken zijn.
Het is wel interessant om de afstand tussen het snijpunt (vergelijking (46)) en het raakpunt (vergelijking (52))
uit te rekenen:
Indien q'' positief is, dan ligt het raakpunt rechts van het snijpunt en indien q'' negatief is, dan ligt het raakpunt
links van het snijpunt.
Door nogmaals gebruik te maken van (51) krijg ik:
Dit is hetzelfde resultaat als vergelijking (11)!
En ook dat moet wel, want één punt waar de raaklijn horizontaal loopt is nu tevens nulpunt.
De +/− die er bij in is gekomen komt omdat ik heb
gekwadrateerd
en vertegenwoordigt nu de situaties dat de grafiek er zo uit ziet (de grafiek raakt de x-as van boven af) ...
... of dat de grafiek er zo uit ziet (de grafiek raakt de x-as van onder af).
Rest mij nog de taak om de situatie met drie nulpunten helemaal uit te werken.
Dat lijkt in eerste instantie meer van het zelfde, maar dan lopen we eerst nog tegen een ander probleem aan.
Als ik vergelijking (45) er weer even bij pak:
In het geval dat er drie nulpunten zijn is D > 0 en k < 0 en moeten we volgens bovenstaande vergelijking de
wortel nemen van
een negatief getal en dat gaat niet lukken.
Hoe lossen we dat op?
Daarvoor trek ik de trucendoos open en gaan we weer de schoonheid van de wiskunde in actie zien.
Allereerst ga ik k'' met −1 vermenigvuldigen:
De
eenheid van de imaginaire getallen
is de
wortel uit −1:
Dan wordt (54):
De
complexe rekenwijze leert ons dat een
complexe getal v + wi ook te schrijven is
in
complexe poolcoördinaten:
Hierin zijn s en α:
Om de derdemachts
wortel van een
complexe getal te trekken gaat dan als volgt:
Ik stel:
Nu ga ik dit allemaal loslaten op vergelijking (56):
En dan hebben we ineens een
cosinus hyperbolicus
staan met een
imaginair argument:
En de
hyperbolische functies leren ons ook dat de
cosinus hyperbolicus
met een
imaginair argument gelijk is aan de normale
cosinus met een niet-imaginair, een
reëel, argument:
Met behulp van (21i) ga ik die
wortel
nog even aanpakken en zo vind ik tenslotte één oplossing van de derdegraads
vergelijking:
Nu hebben we één oplossing te pakken en de vergelijkingen (47) en (48) lieten zien hoe we dan de andere oplossingen
kunnen vinden door de oorspronkelijke derdegraads vergelijking te ontbinden in twee factoren:
Ik ga die
tweedegraads vergelijking,
die noem ik voor het gemak weer ζ, uitwerken door het nulpunt u, vergelijking (64), daarin in te vullen.
Eerst stel ik nog even:
Dan wordt de
tweedegraads vergelijking:
Vervolgens pas ik weer de
abc-formule toe,
en om te beginnen schrijf ik eerst de
discriminant
(van de tweedegraads vergelijking) op:
Dan komt nu de
abc-formule in volle glorie:
Omdat de
cosinus
symmetrisch is om de y-as is de
cosinus
van een hoek gelijk aan de
cosinus van diezelfde hoek,
maar dan negatief.
Vergelijking (68) mag ik dus ook als volgt opschrijven:
Ik mag bij een hoek altijd 2π optellen:
Zo heb ik de andere twee oplossingen gevonden.
Door de vergelijkingen (64) en (70) te combineren kan ik de drie oplossingen heel elegant in één
formule opschrijven als volgt:
Nu is er toch nog een akkefietje dat om een oplossing vraagt, want omdat de
cosinus die hierboven staat symmetrisch is
om de y-as kan deze vergelijking geen onderscheid maken tussen hoeken φ die positief of negatief zijn.
De hoek φ heb ik immers bepaald middels de
tangens:
En de
tangens kent een tekenwisseling bij het passeren
van de y-as, maar de
cosinus niet.
Indien we vergelijking (71) met een
tangens of een
sinus zouden kunnen schrijven dan zijn we uit de
problemen, want de
sinus kent ook een tekenwisseling
bij het passeren van de y-as.
De oplossing is om over te gaan naar de complementaire hoek, die noem ik θ:
De
cosinus kan ik schrijven als een
functie van de tangens:
Nu maak ik gebruik van de vergelijkingen (21i) en (60):
Bij complementaire hoeken is de
sinus van de ene hoek
gelijk aan de
cosinus van de andere hoek en vice versa.
Dus ook voor de complementaire hoeken θ en φ geldt:
Oftewel:
Of helemaal uitgeschreven in a, b, c en d (met de kanttekening dat dit qua teken niet meer klopt voor een negatieve a,
omdat ik a
3 uitdeel):
Ik stel:
Vergelijking (72) geeft het verband tussen de complementaire hoeken θ en φ, maar we hebben hier te maken
met θ/3 en φ/3 dus dan krijgen we:
We hebben daarom nog rekening te houden met een verschuiving van π/3.
Vergelijking (71) gaf ons reeds de drie nulpunten:
Nu kan ik de verbeterde versie opschrijven:
Met behulp van bovenstaande vergelijking kunnen we de drie nulpunten uitrekenen, maar een interessante vraag is uiteraard
of we dan vooraf kunnen zeggen welk nulpunt welk nulpunt is.
Met andere woorden, weten we vooraf welk nulpunt het linkernulpunt, het middelste nulpunt en het rechternulpunt is?
Dat ga ik ook nog even uitzoeken.
Daartoe ga ik de drie nulpunten volgens (79) eerst apart opschrijven:
Vervolgens ga ik x
1, x
2 en x
3 van elkaar aftrekken en afhankelijk van het teken van het
resultaat (positief of negatief) kan ik uitspraken doen over de posities van de verschillende nulpunten:
Vooralsnog lijk ik hier niets mee op te schieten, want door die
sinussen en
cosinussen wisselen bovenstaande
antwoorden telkens van teken (van positief naar negatief of vice versa).
Ik ga daarom nu eerst op zoek naar de nuldoorgangen (de nulpunten) van de vergelijkingen (81):
Dit is heel mooi, ze wisselen alledrie van teken bij π/2 en 3π/2.
Of anders gezegd, bij −π/2 en +π/2, dat komt op hetzelfde neer.
De hoek θ wordt berekend volgens:
En aangezien de
sinus
van −π/2 tot +π/2 alle waarden van −1 tot +1 doorloopt zal alles
zich ook afspelen in het interval van −π/2 tot +π/2.
Wat gebeurt er dan aan de randen van het interval?
Daarvoor vul ik −π/2 en +π/2 in voor θ:
Aan de grenzen van het interval wordt k'' nul (en de discriminant D dus ook) en zijn er twee nulpunten in
plaats van drie (om precies te zijn: twee nulpunten vallen dan samen en vormen een raakpunt).
Dan rest mij nog de taak om in de vergelijkingen (81) een bepaalde waarde voor θ in te vullen om te
zien of er een positief getal of een negatief getal uitkomt.
Ik kies π/4 als waarde voor θ en dat is π/12 voor θ':
In alle gevallen komt er een positief getal uit, dus x
3 > x
2, x
3 > x
1
en x
2 > x
1.
De conclusie is: x
1 is
altijd het linkernulpunt, x
2 is
altijd het middelste nulpunt
en x
3 is
altijd het rechternulpunt.
Samenvatting
Nu hebben we alles wat we weten willen over derdegraads vergelijkingen.
Voordat ik de afsluitende overzichtstabel laat zien zet ik eerst nog de essentiële vergelijkingen op een rijtje.
Om te beginnen was dit het uitgangspunt, de derdegraads vergelijking:
Om e, f en g te berekenen:
Om p, q en k te berekenen:
Om p'', q'' en k'' te berekenen:
Om D te berekenen:
Om θ en θ' te berekenen:
| p > 0 |
D > 0 |
|
Twee horizontale raaklijnen,
de x-coördinaten daarvan zijn te berekenen met de vergelijkingen (13):
De y-coördinaten zijn te berekenen met de vergelijkingen (16):
Drie nulpunten, te berekenen met vergelijking (79):
 |
| D = 0 |
|
Twee horizontale raaklijnen,
de x-coördinaten daarvan zijn te berekenen met de vergelijkingen (13):
De y-coördinaten zijn te berekenen met de vergelijkingen (16):
Twee nulpunten, een snijpunt en een raakpunt,
te berekenen met de vergelijkingen (46) en (52):
Indien q'' positief is, dan ligt het raakpunt rechts van het snijpunt
en indien q'' negatief is, dan ligt het raakpunt links van het snijpunt. |
| D < 0 |
|
Twee horizontale raaklijnen,
de x-coördinaten daarvan zijn te berekenen met de vergelijkingen (13):
De y-coördinaten zijn te berekenen met de vergelijkingen (16):
Eén nulpunt, te berekenen met vergelijking (45):
 |
| p = 0 |
|
Eén horizontale raaklijn,
de x-coördinaat daarvan is te berekenen met vergelijking (12):
De y-coördinaat is te berekenen met vergelijking (18):
Eén nulpunt, te berekenen met vergelijking (45):
|
| p < 0 |
|
Geen horizontale raaklijn.
Eén nulpunt, te berekenen met vergelijking (45):
|
Korte samenvatting
Of kort samengevat, dit was het uitgangspunt:
Om e, f en g te berekenen:
Om p, q en k te berekenen:
Om p'', q'' en k'' te berekenen:
Om D te berekenen:
Om θ en θ' te berekenen:
| D > 0 |
Drie nulpunten, van links naar rechts:
 |
| D = 0 |
Twee nulpunten, een snijpunt en een raakpunt:
Indien q'' positief is, dan ligt het raakpunt rechts van het snijpunt
en indien q'' negatief is, dan ligt het raakpunt links van het snijpunt. |
| D < 0 |
Eén nulpunt:
|
Machtsverheffen, worteltrekken, logaritme nemen
Tweedegraads vergelijking oplossen
Goniometrie in het platte vlak
Definities van hyperbolische functies
Differentiëren
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integralen van
Vectoren, vraagstuk 14
Vectoren, vraagstuk 52
Vectoren, vraagstuk 90
Tabel met Taylor-reeksen
De Taylor-reeks van
De Taylor-reeksen van
De Riemann-zetafunctie
Holomorfie van de functie
Relativiteitstheorie basic, hoofdstuk 5: versnelling
Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 19
Afleiding van de Schwarzschild-oplossing
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt
De zwaartekracht van een homogene ronde ster
De integralen van f (x) = tann (ax)
Wat is groter?
Wat is groter?
Ze zijn er niet
De Taylor-reeks van f (x) = 1/(1 − a2 cos2 x)1/2
De Taylor-reeks van f (x) = (1 − a2 cos2 x)1/2
Samenvatting van de holomorfietabel van complexe functies
1000 doden per minuut
De toekomst
Integreren van complexe functies
Overzichtspagina wiskunde
Overzichtspagina natuurkunde
Overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen