• Naar de samenvatting van deze pagina
• Naar de korte samenvatting van deze pagina

Stel, ik heb de volgende derdegraads vergelijking: Van deze derdegraads vergelijking wil ik weten waar de grafiek de assen snijdt. Het snijpunt met de y-as is simpel, want de y-as is de lijn waarvoor geldt x = 0. Ik hoef daarvoor slechts x = 0 in te vullen in vergelijking (1) en ik vind het snijpunt met de y-as: Het snijpunt met de y-as is altijd (0, d). Het snijpunt met de x-as ligt een stuk ingewikkelder, want de x-as is de lijn waarvoor geldt y = 0. Ik moet in dit geval y = 0 invullen in vergelijking (1) en dan vind ik het snijpunt (of de snijpunten, meervoud) met de x-as. Deze derdegraads vergelijking moet ik oplossen om te weten te komen waar de nulpunten liggen. Iedere n^e-graads vergelijking heeft altijd n nulpunten, maar dat is iets anders dan snijpunten met de x-as. De snijpunten met de x-as zijn de reële nulpunten en indien dit er minder zijn dan n dan is het resterende aantal nulpunten complex. Er bestaat ook nog de mogelijkheid dat de functie de x-as raakt, een raakpunt, en dat zijn altijd twee samenvallende reële nulpunten. Dus, op twee manieren gezegd:

• Het aantal nulpunten = n = het aantal reële nulpunten + het aantal complexe nulpunten.
• Het aantal nulpunten = n = het aantal snijpunten met de x-as + tweemaal het aantal raakpunten aan de x-as + het aantal complexe nulpunten.

Afhankelijk van de waarde van a, positief of negatief, ‘begint’ de functie ergens linksonder of ergens linksboven. Indien a > 0 dan ziet de functie er (bijvoorbeeld) uit zoals hiernaast.

En wanneer a < 0 dan ziet de functie er (bijvoorbeeld) zo uit.

Voor het gemak deel ik daarom eerst door a, ik normaliseer de functie: Ik stel: Waardoor (4) overgaat in:

Vergelijking (6) is een derdegraads vergelijking die altijd ‘ergens linksonder begint’ en ‘ergens rechtsboven eindigt’, dat praat gemakkelijker. Vervolgens is het eerste probleem dat we helemaal niet weten hoeveel reële nulpunten er zijn. De functie gaat van linksonder naar rechtsboven en dit betekent dat de functie minstens eenmaal de x-as moet snijden en dat er dus minstens één reëel nulpunt is. Of er nog meer reële nulpunten zijn hangt er van af of de functie de hele tijd blijft stijgen ...

... of wellicht onderweg weer naar beneden duikt en de x-as raakt ...

... of ook nog snijdt en weer onder de x-as terecht komt. Wanneer de grafiek voor de tweede keer de x-as snijdt dan zal de grafiek daarna ook nog een derde maal de x-as moeten snijden om uiteindelijk toch naar rechtsboven te gaan. Meer mogelijkheden zijn er niet en dus heeft de grafiek één, twee (een nulpunt en een raakpunt) of drie reële nulpunten. Het stijgen en dalen van de grafiek kunnen we onderzoeken middels de afgeleide van de functie:

Deze afgeleide stel ik gelijk aan nul: De abc-formule geeft ons de beide nulpunten: Dat deel onder de wortel, de discriminant (van een tweedegraads vergelijking), noem ik p: Waardoor vergelijking (9) wordt: In het geval dat p = 0 vereenvoudigt dit tot: In dit geval heeft de afgeleide één nulpunt en heeft de grafiek één punt waar de raaklijk horizontaal loopt.

Indien p < 0 dan heeft de afgeleide geen nulpunten en de grafiek heeft geen punten waar de raaklijn horizontaal loopt en waar de grafiek wellicht overgaat van stijgen naar dalen. Kortom, indien p < 0 dan is er maar één reëel nulpunt.

Wanneer p = 0 dan is er één punt waar de grafiek even horizontaal loopt, maar links en rechts van dat punt is de grafiek stijgend. Ook in dat geval is er maar één reëel nulpunt.

Maar wanneer p > 0 dan wil dat nog niet zeggen dat er meerdere reële nulpunten zijn, want dat hangt er van af of de grafiek daarbij wel of niet de x-as raakt of snijdt. Het is daarom wel interessant om uit te rekenen wat de y-waarden zijn van de twee punten die vergelijking (11) aangeeft. De x-waarden zijn: De bijbehorende y-waarden vinden we door deze x-waarden in te vullen in (1): Die eerste drie termen tussen de haken pak ik samen en die noem ik q: Waarmee ik voor de beide y-waarden kan schrijven: De vergelijkingen (16) kan ik samenpakken als volgt: Voor p = 0 is er maar één horizontale raaklijn en wordt (17): Ik weet dat de breuk y₁/y₂ cruciale informatie bevat, want indien y₁ en y₂ een verschillend teken hebben (lees: aan verschillende kanten van de x-as liggen, dus erboven en eronder) dan weet ik of er wel of niet drie reële nulpunten zijn. Ik wil daarom graag weten of y₁/y₂ positief of negatief is. Het grensgeval dat daar precies tussenin zit is y₁/y₂ = 0: En dit grensgeval moet uiteraard ook voor de reciproke breuk y₂/y₁ gelden: Door te kwadrateren pak ik de vergelijkingen (19) samen en maak ik alles netjes en kloppend: Ik had dit ook kunnen benaderen door niet de breuk van y₁ en y₂, maar het product van y₁ en y₂ uit te rekenen: Het grensgeval ligt daar waar dit product nul is: Hetgeen tot hetzelfde resultaat leidt (als vergelijking (20), maar op een veel simpeler manier).

Ik bepaal ook de tweede afgeleide, want het is interessant om te weten waar het inflexiepunt ligt: Deze tweede afgeleide stel ik gelijk aan nul: Dit inflexiepunt geef ik aan met I: Merk op dat dit overeenkomt met vergelijking (12), dus wanneer er maar één punt is waar de raaklijn horizontaal loopt dan is dat punt tevens het inflexiepunt. Ik introduceer een p' en een p'': Hiermee worden de vergelijkingen (13): En ik introduceer ook een q' en een q'': Ik stel: Vervolgens verbouw ik vergelijking (20): Of helemaal uitgeschreven in a, b, c en d: Het deel tussen haakjes noem ik D: Merk op dat D het tegenovergestelde teken heeft van k.

Er geldt dus: Ik ga even al mijn bevindingen tot nu toe op een rijtje zetten.

Indien p < 0 dan is er één reëel nulpunt en er geldt dan altijd dat k > 0 (zie vergelijking (28a), indien p < 0 dan is p³ < 0 en −4p³ > 0, q² is sowieso > 0 omdat een kwadraat niet negatief kan zijn, en dus is k > 0). Dan is D < 0 (want D heeft het tegenovergestelde teken van k).

Indien p = 0 dan is er ook maar één reëel nulpunt en er geldt dan ook altijd dat k > 0 (zie vergelijking (28a), indien p = 0 dan is p³ = 0 en −4p³ = 0, q² is sowieso > 0 omdat een kwadraat niet negatief kan zijn, en dus is k > 0 en D < 0), ...

... en het punt waar de grafiek even horizontaal loopt kan natuurlijk ook ergens onder de x-as liggen.

Indien p > 0 én k > 0 (en dus D < 0) dan is er nog steeds maar één reëel nulpunt (dat heb ik uitgezocht middels de vergelijkingen (19) en (20)) ...

... en dat kan er ook zo uit zien.

Indien k = 0 (dan moet gelden dat p > 0, en indien k = 0 dan geldt ook dat D = 0) dan zijn er twee reële nulpunten (zie wederom de vergelijkingen (19) en (20)) ...

... en dat kan er ook zo uit zien.

En tenslotte, indien k < 0 (ook dit kan alleen gelden indien p > 0, en voor k < 0 geldt automatisch dat D > 0) dan, en alleen dan, zijn er drie reële nulpunten.

Aan de waarde van D kun je dus aflezen hoeveel nulpunten er zijn. We noemen D daarom de discriminant. Samengevat in een tabel ziet het er zo uit:

	p < 0	p = 0	p > 0
D > 0	Komt niet voor		Twee horizontale raaklijnen, drie reële nulpunten
D = 0			Twee horizontale raaklijnen, drie reële nulpunten (het raakpunt telt dubbel)
D < 0	Geen horizontale raaklijn, één reëel nulpunt	Eén horizontale raaklijn, één reëel nulpunt	Twee horizontale raaklijnen, één reëel nulpunt
Aantal reële nulpunten in een derdegraads vergelijking

Merk op wat er gebeurt met de discriminant wanneer ik a = 0 stel: Die factor b² maakt niets uit voor het teken (want b² is altijd positief) en die deel ik daarom uit. Voor a = 0 houd ik een tweedegraads vergelijking over (een parabool) en de vergelijking hierboven is ook inderdaad de discriminant van een tweedegraads vergelijking.

Wanneer ik dan ook nog b = 0 stel dan resteert de discriminant van een eerstegraads vergelijking: Deze discriminant is altijd positief en een eerstegraads vergelijking (een rechte lijn) heeft ook altijd één reëel nulpunt, behalve indien c = 0, dan loopt de lijn parallel aan de x-as en is er geen nulpunt (en is D = 0). Dit brengt ons bij het volgende interessante overzicht:

	Eerstegraads vergelijking	Tweedegraads vergelijking	Derdegraads vergelijking
D > 0	1	2	3
D = 0	0	1	2
D < 0	Komt niet voor	0	1
Aantal reële nulpunten in een ne-graads vergelijking

Ik heb nu wel een criterium gevonden (de discriminant D, vergelijking (33)) voor het aantal reële nulpunten, maar ik weet nog steeds niet waar ze liggen. De standaardtruc daarvoor is om te beginnen met het horizontaal verschuiven van de functie en wel zodanig dat de op één na hoogste macht van x er daarna uitvalt. Met andere woorden, ik ga de volgende translatie uitvoeren (de horizontale verschuiving is h): Dan wordt vergelijking (6): Ik stel: Waardoor (39) wordt: Nu wil ik U gelijk aan nul hebben (zodat de op één na hoogste macht van x er uitvalt), en ik kies de translatie h daarom als volgt: Voor V en W kan ik dan schrijven: En daarmee wordt (41): Zo zijn we alvast de term met x², de op één na hoogste macht van x, kwijt. Deze vergelijking noemen we de gereduceerde vergelijking. De grote vraag is natuurlijk: brengt dit een oplossing dichterbij?

Door de translatie die we net uitgevoerd hebben zijn we één term kwijtgeraakt. Het is natuurlijk heel verleidelijk om het dan nog eens te doen om te kijken of we nog een term kwijt kunnen raken, want als ik de lineaire term of de constante term ook nog kwijt kan raken dan is de oplossing ineens heel nabij. Wat houdt ons tegen? Helemaal niets! Ik voer nogmaals een horizontale translatie uit, ditmaal over een afstand r: Dan wordt vergelijking (43): Zijn we nu weer terug bij af? Nee, want nu komt de grote truc, of het grote inzicht, net hoe je het noemen wilt. Ik ga de termen even wat reorganiseren: Ik stel die term tussen het eerste paar haken gelijk aan nul, of beter gezegd, ik kies de translatie r zo dat die term tussen het eerste paar haken altijd gelijk aan nul is: Dan valt er in (46) van alles weg: Ik heb nu alleen nog een derde macht van x'' over! Maar het ligt nu wel iets gecompliceerder, want h (de eerste translatie) is een constante (h = −I, zie vergelijking (42a)) terwijl r (de tweede translatie) een functie van x'' is (zie vergelijking (47)). Ik ga (47) daarom invullen in (48) om weer een volledige functie van x'' te krijgen: Vervolgens ga ik over naar een andere variabele: Vergelijking (49) wordt dan een tweedegraads vergelijking (hoera!): Met de abc-formule is dit eenvoudig op te lossen: We hebben in één keer twee nulpunten gevonden! Nu moet ik weer terugwerken naar x. Vergelijking (50) brengt mij om te beginnen weer terug naar x'': Vergelijking (44) in combinatie met (47) brengt mij weer terug naar x': Met behulp van (28c) wordt dit: Die +/− en −/+ zijn precies tegenovergesteld (de één is plus en de ander is min of vice versa), dus dat maakt niets uit, het is symmetrisch. Dan wordt (55): En de vergelijkingen (38) en (42a) brengen mij tenslotte weer terug bij x, het gezochte nulpunt:

Net sprak ik nog euforisch dat we twee oplossingen hebben gevonden, maar dat blijkt er nu toch maar één te zijn. Dat is helemaal niet erg, want die ene oplossing kan ik uitdelen en via de abc-formule zijn de andere oplossingen dan snel gevonden. In het geval dat er één reëel nulpunt is (D < 0) dan kun je altijd bovenstaande vergelijking toepassen. In de geschiedenisboekjes vind je (57) terug als de formule van Cardano.

Eén ding weten we echter zeker: Cardano heeft dit niet bedacht! De oplossingsmethode die ik hierboven heb uitgewerkt is gevonden door Scipione del Ferro. Del Ferro publiceerde de methode echter niet, maar gaf het door aan zijn leerlingen Antonio Maria del Fiore en Annibale della Nave. Del Fiore ging een wedstrijd aan met Niccolò Tartaglia, die dezelfde methode vond (en daarmee de wedstrijd won). Vervolgens kreeg Tartaglia bezoek van Girolamo Cardano en maakte, na lang aandringen en een belofte van geheimhouding, Cardano deelgenoot van zijn oplossingsmethode. Cardano brengt later eveneens een bezoek aan Della Nave en die toont hem een manuscript van de hand van Del Ferro waar dezelfde oplossing in staat. Een leerling van Cardano, Lodovico Ferrari, vindt intussen een oplossing voor een vierdegraads vergelijking die gebaseerd is op de oplossing van de derdegraads vergelijking. Publicatie van de vierdegraads oplossing betekent dus tevens publicatie van de derdegraads oplossing. Om deze reden, én omdat Tartaglia niet de eerste ontdekker was, én omdat er aan de oplossing van Del Ferro geen geheimhoudingsclausule is gekoppeld, gaat Cardano overstag en publiceert alles in zijn boek Ars Magna (De Grote Kunst) en gaat met de eeuwige roem aan de haal, uiteraard tot grote woede van Tartaglia. Het gebeurde allemaal vijfhonderd jaar geleden in Italië.

Goed, voor het geval van één reëel nulpunt kunnen we dus altijd vergelijking (57) inzetten. Dan moeten er ook nog twee complexe nulpunten zijn. De complexe rekenwijze leert ons dat de wortels van een complex getal altijd equidistant op een cirkel liggen. In dit geval vormen ze dus een gelijkzijdige driehoek en kan ik de drie nulpunten zo in één keer opschrijven: Oftewel: In het geval van twee reële nulpunten (een snijpunt en een raakpunt, en het raakpunt telt dubbel en zo komen we op drie nulpunten) is D = 0 (én k = 0) en vereenvoudigt (57) tot: Deze oplossing ga ik middels een staartdeling uitdelen uit de oorspronkelijke derdegraads vergelijking: Die restterm onderaan de staartdeling is per definitie nul omdat x₁ een nulpunt is, en rechtsboven staat de tweedegraads vergelijking die ik over houd. De oorspronkelijke derdegraads vergelijking kan ik aldus schrijven: Ik ga die tweedegraads vergelijking, die noem ik voor het gemak ζ, uitwerken door het nulpunt x₁, vergelijking (60), daarin in te vullen: Vervolgens pas ik de abc-formule toe: Omdat we bezig zijn de situatie uit te zoeken met twee nulpunten, dus D = k = 0, geldt volgens vergelijking (28c): En (64) wordt dan: Omdat de discriminant (van de tweedegraads vergelijking) nul is komen we tot een bijzonder simpel resultaat: twee reële nulpunten vallen samen en vormen een raakpunt. De discriminant (van de tweedegraads vergelijking) moest ook wel nul zijn want anders waren er twee reële nulpunten uit deze abc-formule gerold en hadden we in totaal drie reële nulpunten, terwijl we de situatie voor twee reële nulpunten aan het uitzoeken zijn.

Het is wel interessant om de afstand tussen het snijpunt (vergelijking (60)) en het raakpunt (vergelijking (66)) uit te rekenen: Indien q'' positief is, dan ligt het raakpunt rechts van het snijpunt en indien q'' negatief is, dan ligt het raakpunt links van het snijpunt.

Door nogmaals gebruik te maken van (65) krijg ik:

Dit is hetzelfde resultaat als vergelijking (11)! En ook dat moet wel, want één punt waar de raaklijn horizontaal loopt is nu tevens nulpunt. De +/− die er bij in is gekomen komt omdat ik heb gekwadrateerd en vertegenwoordigt nu de situaties dat de grafiek er zo uit ziet (de grafiek raakt de x-as van boven af) ...

... of dat de grafiek er zo uit ziet (de grafiek raakt de x-as van onder af).

Rest mij nog de taak om de situatie met drie reële nulpunten helemaal uit te werken. Dat lijkt in eerste instantie meer van het zelfde, maar dan lopen we eerst nog tegen een ander probleem aan. Als ik vergelijking (57) er weer even bij pak: In het geval dat er drie reële nulpunten zijn is D > 0 en k < 0 en moeten we volgens bovenstaande vergelijking de wortel nemen van een negatief getal en dat gaat niet lukken. Hoe lossen we dat op? Daarvoor trek ik de trucendoos open en gaan we weer de schoonheid van de wiskunde in actie zien. Allereerst ga ik k'' met −1 vermenigvuldigen: De eenheid van de imaginaire getallen is de wortel uit −1: Dan wordt (69): De complexe rekenwijze leert ons dat een complex getal v + wi ook te schrijven is in complexe poolcoördinaten: Hierin zijn s en α: Om de derdemachtswortel van een complex getal te trekken gaat dan als volgt: Ik stel: Nu ga ik dit allemaal loslaten op vergelijking (71): En dan hebben we ineens een cosinus hyperbolicus staan met een imaginair argument: En de hyperbolische functies leren ons ook dat de cosinus hyperbolicus met een imaginair argument gelijk is aan de normale cosinus met een niet-imaginair, een reëel, argument: Met behulp van (28c) ga ik die wortel nog even aanpakken en zo vind ik tenslotte één oplossing van de derdegraads vergelijking: Nu hebben we één oplossing te pakken en de vergelijkingen (61) en (62) lieten zien hoe we dan de andere oplossingen kunnen vinden door de oorspronkelijke derdegraads vergelijking te ontbinden in twee factoren: Ik ga die tweedegraads vergelijking, die noem ik voor het gemak weer ζ, uitwerken door het nulpunt x₁, vergelijking (79), daarin in te vullen. Eerst stel ik nog even: Dan wordt de tweedegraads vergelijking: Vervolgens pas ik weer de abc-formule toe, en om te beginnen schrijf ik eerst de discriminant (van de tweedegraads vergelijking) op: Dan komt nu de abc-formule in volle glorie: Omdat de cosinus symmetrisch is om de y-as is de cosinus van een hoek gelijk aan de cosinus van diezelfde hoek, maar dan negatief. Vergelijking (83) mag ik dus ook als volgt opschrijven: Ik mag bij een hoek altijd 2π optellen: Zo heb ik de andere twee oplossingen gevonden. Door de vergelijkingen (79) en (85) te combineren kan ik de drie oplossingen heel elegant in één formule opschrijven als volgt: Nu is er toch nog een akkefietje dat om een oplossing vraagt, want omdat de cosinus die hierboven staat symmetrisch is om de y-as kan deze vergelijking geen onderscheid maken tussen hoeken φ die positief of negatief zijn. De hoek φ heb ik immers bepaald middels de tangens: En de tangens kent een tekenwisseling bij het passeren van de y-as, maar de cosinus niet. Indien we vergelijking (86) met een tangens of een sinus zouden kunnen schrijven dan zijn we uit de problemen, want de sinus kent ook een tekenwisseling bij het passeren van de y-as. De oplossing is om over te gaan naar de complementaire hoek, die noem ik θ: De cosinus kan ik schrijven als een functie van de tangens: Nu maak ik gebruik van de vergelijkingen (28c) en (75): Bij complementaire hoeken is de sinus van de ene hoek gelijk aan de cosinus van de andere hoek en vice versa. Dus ook voor de complementaire hoeken θ en φ geldt: Oftewel: Of helemaal uitgeschreven in a, b, c en d (met de kanttekening dat dit qua teken niet meer klopt voor een negatieve a, omdat ik a³ uitdeel): Ik stel: Vergelijking (87) geeft het verband tussen de complementaire hoeken θ en φ, maar we hebben hier te maken met θ/3 en φ/3 dus dan krijgen we: We hebben daarom nog rekening te houden met een verschuiving van π/3. Vergelijking (86) gaf ons reeds de drie reële nulpunten: Nu kan ik de verbeterde versie opschrijven: Met behulp van bovenstaande vergelijking kunnen we de drie reële nulpunten uitrekenen, maar een interessante vraag is uiteraard of we dan vooraf kunnen zeggen welk nulpunt welk nulpunt is. Met andere woorden, weten we vooraf welk nulpunt het linkernulpunt, het middelste nulpunt en het rechternulpunt is? Dat ga ik ook nog even uitzoeken. Daartoe ga ik de drie nulpunten volgens (95) eerst apart opschrijven: Vervolgens ga ik x₁, x₂ en x₃ van elkaar aftrekken en afhankelijk van het teken van het resultaat (positief of negatief) kan ik uitspraken doen over de posities van de verschillende nulpunten: Vooralsnog lijk ik hier niets mee op te schieten, want door die sinussen en cosinussen wisselen bovenstaande antwoorden telkens van teken (van positief naar negatief of vice versa). Ik ga daarom nu eerst op zoek naar de nuldoorgangen (de nulpunten) van de vergelijkingen (97): Dit is heel mooi, ze wisselen alledrie van teken bij π/2 en 3π/2. Of anders gezegd, bij −π/2 en +π/2, dat komt op hetzelfde neer. De hoek θ wordt berekend volgens: En aangezien de sinus van −π/2 tot +π/2 alle waarden van −1 tot +1 doorloopt zal alles zich ook afspelen in het interval van −π/2 tot +π/2. Wat gebeurt er dan aan de randen van het interval? Daarvoor vul ik −π/2 en +π/2 in voor θ: Aan de grenzen van het interval wordt k'' nul (en de discriminant D dus ook) en zijn er twee reële nulpunten in plaats van drie (om precies te zijn: twee nulpunten vallen dan samen en vormen een raakpunt). Dan rest mij nog de taak om in de vergelijkingen (97) een bepaalde waarde voor θ in te vullen om te zien of er een positief getal of een negatief getal uitkomt. Ik kies π/4 als waarde voor θ en dat is π/12 voor θ': In alle gevallen komt er een positief getal uit, dus x₃ > x₂, x₃ > x₁ en x₂ > x₁. De conclusie is: x₁ is altijd het linkernulpunt, x₂ is altijd het middelste nulpunt en x₃ is altijd het rechternulpunt.

---

Samenvatting

Nu hebben we alles wat we weten willen over derdegraads vergelijkingen. Voordat ik de afsluitende overzichtstabel laat zien zet ik eerst nog de essentiële vergelijkingen op een rijtje. Om te beginnen was dit het uitgangspunt, de derdegraads vergelijking: Om e, f en g te berekenen: Om I, het inflexiepunt, te berekenen: Om p, q en k te berekenen: Om p'', q'' en k'' te berekenen: Om D te berekenen: Om θ en θ' te berekenen:

p > 0	D > 0		Twee horizontale raaklijnen, de x-coördinaten daarvan zijn te berekenen met de vergelijkingen (26): De y-coördinaten zijn te berekenen met de vergelijkingen (16): Drie reële nulpunten, te berekenen met vergelijking (95):
	D = 0		Twee horizontale raaklijnen, de x-coördinaten daarvan zijn te berekenen met de vergelijkingen (26): De y-coördinaten zijn te berekenen met de vergelijkingen (16): Twee nulpunten, een snijpunt en een raakpunt, te berekenen met de vergelijkingen (60) en (66): Indien q'' positief is, dan ligt het raakpunt rechts van het snijpunt en indien q'' negatief is, dan ligt het raakpunt links van het snijpunt.
	D < 0		Twee horizontale raaklijnen, de x-coördinaten daarvan zijn te berekenen met de vergelijkingen (26): De y-coördinaten zijn te berekenen met de vergelijkingen (16): Eén reëel nulpunt en twee complexe nulpunten, te berekenen met de vergelijkingen (59):
p = 0			Eén horizontale raaklijn en daar is tevens het inflexiepunt, de x-coördinaat daarvan is te berekenen met vergelijking (24b): De y-coördinaat is te berekenen met vergelijking (18): Eén reëel nulpunt en twee complexe nulpunten, te berekenen met de vergelijkingen (59):
p < 0			Geen horizontale raaklijn. Eén reëel nulpunt en twee complexe nulpunten, te berekenen met de vergelijkingen (59):

---

Korte samenvatting

Of kort samengevat, dit was het uitgangspunt: Om e, f en g te berekenen: Om I, het inflexiepunt, te berekenen: Om p, q en k te berekenen: Om p'', q'' en k'' te berekenen: Om D te berekenen: Om θ en θ' te berekenen:

D > 0	Drie reële nulpunten, van links naar rechts:
D = 0	Twee nulpunten, een snijpunt en een raakpunt: Indien q'' positief is, dan ligt het raakpunt rechts van het snijpunt en indien q'' negatief is, dan ligt het raakpunt links van het snijpunt.
D < 0	Eén reëel nulpunt en twee complexe nulpunten: