DONEER
WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN
LEZINGEN

Home
Nieuw
  • Een andere manier van leven
  • Een reeks afsplitsen van een functie
  • Afbuiging van een lichtstraal (2e orde benadering)
  • Afbuiging van een lichtstraal (1e orde benadering)
  • Bewerkingen met reeksen
  • De Taylor-reeksen van
    f (x) = x/(a ± x)2
  • De integralen van
    f (x) = 1/((x + a)n (x2 − a2))1/2)
  • De integralen van
    f (x) = cosm (ax)/(1 + cos (ax))n
  • De integralen van
    f (x) = (x2/(a2 − x2))n
  • De massa van de atmosfeer
  • Hyper-Catalan-getallen
  • Een ontmoeting met aliens
  • Ze durven niet
  • Fuss-getallen
  • Ze mogen niet
  • Catalan-getallen
  • De Taylor-reeks van
    f (x) = ln x
  • De integraal van
    f (x) = cotn (ax) (n = even)
  • De integraal van
    f (x) = tann (ax) (n = even)
  • De integraal van
    f (x) = cotn (ax) (n = oneven)
  • De integraal van
    f (x) = tann (ax) (n = oneven)
  • Ze willen niet
  • De geodetische lijn van een lichtstraal bij een massa
  • De integralen van
    f (x) = xn/(x − a)
  • De integraal van
    f (x) = 1/ln (ax)
  • De integraal van
    f (x) = cot9 (ax)
  • De integraal van
    f (x) = cot7 (ax)
  • De integraal van
    f (x) = cot5 (ax)
  • Een botsing met een zandkorrel
  • De opwarming van de Aarde
  • Ze kunnen niet
  • De integraal van
    f (x) = cot10 (ax)
  • De integraal van
    f (x) = cot8 (ax)
  • De integraal van
    f (x) = cot6 (ax)
  • De integraal van
    f (x) = cot4 (ax)
  • De integraal van
    f (x) = eiax exp (ib ecx)
  • De gammafunctie
  • De integraal van
    f (x) = xb/(a2 + x)
  • De integraal van
    f (x) = eiax exp (ib ecx)
  • De integraal van
    f (x) = xb/(a2 + x2)
  • De contourintegraal van
    f (x) = xb/(a2 + x2)
  • Holomorfie van de functie f (z) = zp
  • Het grote filter
  • De integraal van
    f (x) = tan9 (ax)
  • De integraal van
    f (x) = tan7 (ax)
  • De integraal van
    f (x) = tan5 (ax)
  • Het getal e met een miljoen decimalen
  • De complete complementaire elliptische integraal van de derde soort
  • De complete complementaire elliptische integraal van de tweede soort
  • De complete complementaire elliptische integraal van de eerste soort
  • De complementaire elliptische integraal van de derde soort (vereenvoudigde vorm)
  • De contourintegraal van
    f (x) = 1/(a2 + x2)2
  • De integraal van
    f (x) = 1/(a2 + x2)2
  • De contourintegraal van
    f (x) = 1/((a2 + x2) (b2 + x2))
  • De integraal van
    f (x) = 1/((a2 + x2) (b2 + x2))
  • De contourintegraal van
    f (x) = 1/(1 + a cos2 x)
  • De integraal van
    f (x) = 1/(1 + a cos2 x)
  • De contourintegraal van
    f (x) = 1/(1 + a sin2 x)
  • De integraal van
    f (x) = 1/(1 + a sin2 x)
  • De contourintegraal van
    f (x) = 1/(a2 + x2)
  • De integraal van
    f (x) = 1/(a2 + x2)
  • Contourintegralen
  • Integreren van complexe functies
  • Het spectrum van een zwart gat
  • De convergentie van een reeks
  • De Taylor-reeks van
    f (x) = arctan (ax)
  • Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen
  • De contourintegraal van
    f (x) = sin (ax)/x
  • De integraal van
    f (x) = sin (ax)/x
  • Holomorfie van de functie f (z) = f (at)
  • De contourintegraal van
    f (x) = 1/(ax2 + bx + c)
  • De integraal van
    f (x) = 1/(ax2 + bx + c)
  • Priemgetallen
  • De nulpunten van f (x) = ax − xa
  • De Taylor-reeksen van
    f (x) = b±ax
  • De functie f (x) = ax − xa
  • De integralen van
    f (x) = tann (ax)
  • Wat is groter?
  • Wat is groter?
  • Ze zijn er niet
  • De Taylor-reeks van
    f (x) = 1/(1 − a2 cos2 x)1/2
  • De Taylor-reeks van
    f (x) = (1 − a2 cos2 x)1/2
  • Samenvatting van de holomorfietabel van complexe functies
  • 1000 doden per minuut
  • De toekomst
  • Holomorfietabel van complexe functies
  • Differentiëren van complexe functies
  • Definities en eigenschappen van complexe getallen
  • Machten van x neutraliseren middels de gammafunctie
  • De gammafunctie (functiewaarden)
  • Het explosieve einde van een zwart gat
  • De verdamptijd van een zwart gat
  • Waar zijn ze?
  • Een simpele afleiding van de Hawking-straling
  • Waar begint de spaghettificatie?
  • De kans op buitenaards leven
  • De oppervlaktezwaartekracht van een zwart gat
  • Wat is leven?
  • Een simpele afleiding van de Unruh-temperatuur
  • Wij en buitenaards leven
    • Wiskunde
  • Tabel met afgeleiden
  • Tabel met integralen
  • Tabel met Taylor-reeksen
  • Differentiëren
  • Integreren
  • Integratiemethoden
  • Wiskunde algemeen
  • Machtsverheffen, worteltrekken, logaritme neming
  • Tweedegraads vergelijking oplossen
  • Derdegraads vergelijking oplossen
  • Goniometrie
  • Hyperbolische functies
  • Vergelijkingstabel goniometrische - en hyperbolische functies
  • Vectoren
  • Vraagstukken over vectoren
  • Vraagstukken over tensoren
  • De stelling van Gauss
  • De stelling van Green
  • De stelling van Stokes
  • De Euler-Lagrange-vergelijking
  • Differentiaal geometrie
  • Fourier-analyse
  • Complexe getallen
  • Matrices
  • Involuties
  • De faculteitsfunctie
  • De gammafunctie
  • Bijzondere figuren
  • Boekhouden
  • Raadsels
  • Getallen
  • Boeken over wiskunde te koop
    • Natuurkunde
  • Relativiteitstheorie
  • Astronomie
  • Kwantummechanica
  • Elektriciteit en magnetisme
  • Algemene natuurkunde
  • Boeken over natuurkunde te koop
    • Filosofie
  • De grote vragen in het leven
  • De illusies die wij leven
  • Reizigers naar de werkelijkheid
  • Vertellingen
  • Gedichten over Liefde
  • Wij en buitenaards leven
    • Diversen
  • Sitemap
  • Recent toegevoegde pagina’s
  • Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen
  • Index: personen
  • Index: trefwoorden
  • Notatie en terminologie
  • LaTeX
  • Python code
  • Excel bestanden
  • Fysische gegevens
  • Woordenboek: Nederlands - Engels
  • Woordenboek: Engels - Nederlands
  • Cookiebeleid
    • Natuurkundeclub β’24
  • Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)
  • Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)
    • Alleen voor leden
  • Natuurkundeclub β’24
  • Natuurkundeclub Gℏc
  • Biodanza
  • Resumé Watchers
  • Stamboom
    • Contact

    Bewerkingen met reeksen

    Met reeksen kun je dezelfde wiskundige bewerkingen, zoals optellen en aftrekken, uitvoeren als met getallen, maar het pakt natuurlijk wat ingewikkelder uit omdat je te maken heb met heel veel termen, meestal oneindig veel. Maar goed, dat is voornamelijk een kwestie van je aandacht erbij houden en nauwkeurig werken en dan kun je ‘gewoon’ doorwerken. Ik ga de elementaire wiskundige bewerkingen met reeksen hieronder doornemen waarbij ik telkens uitga van twee reeksen A en B:

    De resulterende reeks noem ik C:
    1. Optellen
    2. Aftrekken
    3. Vermenigvuldigen
    4. Delen
    5. Machtsverheffen
    6. Samenvatting

    Optellen


    1. Optellen
    2. Aftrekken
    3. Vermenigvuldigen
    4. Delen
    5. Machtsverheffen
    6. Samenvatting
    Het optellen van twee reeksen gaat als volgt:
    Voor de coëfficiënten van de resulterende reeks C geldt dus:

    Aftrekken


    1. Optellen
    2. Aftrekken
    3. Vermenigvuldigen
    4. Delen
    5. Machtsverheffen
    6. Samenvatting
    Het aftrekken van twee reeksen gaat als volgt:
    Voor de coëfficiënten van de resulterende reeks C geldt dus:

    Vermenigvuldigen


    1. Optellen
    2. Aftrekken
    3. Vermenigvuldigen
    4. Delen
    5. Machtsverheffen
    6. Samenvatting
    Het vermenigvuldigen van twee reeksen gaat als volgt:
    Hieruit kan ik aflezen:




    Voor de coëfficiënten van de resulterende reeks C geldt dus:

    Delen


    1. Optellen
    2. Aftrekken
    3. Vermenigvuldigen
    4. Delen
    5. Machtsverheffen
    6. Samenvatting
    Het op elkaar delen van twee reeksen gaat als volgt:
    Dit wordt een boeiende staartdeling:
    Laat ik het even concreet maken met een beperkt aantal termen:
    Hieruit kan ik aflezen:



    Voor de coëfficiënten van de resulterende reeks C geldt dus:

    Machtsverheffen


    1. Optellen
    2. Aftrekken
    3. Vermenigvuldigen
    4. Delen
    5. Machtsverheffen
    6. Samenvatting
    Bij het machtsverheffen ga ik ervanuit dat de exponent een positief geheel getal is:
    Ik ga dit in stappen opbouwen. Voor p = 1 is het simpel, dat is de reeks zelf:
    De volgende stap is p = 2, het kwadraat van de reeks:
    Vervolgens komt p = 3:
    En tenslotte werk ik ook p = 4 uit:
    Ik kan uit de voorgaande vergelijkingen c0 aflezen:



    En ook c1:



    De waarden van c2:



    Van c3:



    En ook van c4:



    De regelmaat in de coëfficiënt c0 volgt uit de vergelijkingen (21) en is eenvoudig te zien:
    Alle andere coëfficiënten zijn een heel stuk ingewikkelder. We zien dat iedere term p a-coëfficiënten bevat waarbij de som van de indices gelijk is aan n. Het aantal termen per c-coëfficiënt is gelijk aan het aantal mogelijke permutaties waarbij de som van de indices gelijk is aan n. Na heel lang puzzelen is dit dan het resultaat voor de coëfficiënten van de resulterende reeks C:

    Samenvatting


    1. Optellen
    2. Aftrekken
    3. Vermenigvuldigen
    4. Delen
    5. Machtsverheffen
    6. Samenvatting
    Optellen:
    Aftrekken:
    Vermenigvuldigen:
    Delen:
    Machtsverheffen:
    De integraal van
    f (x) = (a2 + x2)1/2
    De integraal van
    f (x) = cos6 (ax)
    De integraal van
    f (x) = (1 − a2 sin2 x)1/2
    De integraal van
    f (x) = tan6 (ax)
    De integralen van
    f (x) = xn e−ax2
    De integralen van
    f (x) = xn ∙ 1/(ax ± b)1/2
    Vectoren, vraagstuk 16
    Vectoren, vraagstuk 61
    Vraagstukken xref voor de UT
    De Taylor-reeks van
    f (x) = (a + x)p
    De Taylor-reeks van
    f (x) = ln x
    De stelling van Stokes
    Definities en eigenschappen van complexe getallen
    Holomorfie van de functie
    f (z) = tan z
    Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: inleiding
    Afleiding van E = mc2
    De Ricci-scalar van de Schwarzschild-metriek
    De zwaartekracht van een homogene ronde ster
    Vraagstukken algemene natuurkunde
    De illusie van zekerheid
    De reis naar de werkelijkheid van Barack Obama
    De Liefde
    Wij en buitenaards leven
    Wat doe jij?
    Een andere manier van leven
    Een reeks afsplitsen van een functie
    Afbuiging van een lichtstraal (2e orde benadering)
    Afbuiging van een lichtstraal (1e orde benadering)
    Bewerkingen met reeksen
    De Taylor-reeksen van
    f (x) = x/(a ± x)2
    De integralen van
    f (x) = 1/((x + a)n (x2 − a2))1/2)
    De integralen van
    f (x) = cosm (ax)/(1 + cos (ax))n
    De integralen van
    f (x) = (x2/(a2 − x2))n
    De massa van de atmosfeer
    Overzichtspagina wiskunde
    Overzichtspagina natuurkunde
    Overzichtspagina filosofie
    Doneer enkele euro’s
    Wetenschappelijke boeken te koop
    Lezingen
    Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2025