Wanneer een lichtstraal een (significante) massa passeert dan gebeuren er twee dingen:

1. de lichtstraal wordt afgebogen,
2. de lichtstraal loopt vertraging op.

We gaan ons richten op dat tweede punt, de tijdsvertraging van de lichtstraal. De lichtstraal loopt natuurlijk niet echt vertraging op, maar vergeleken met een newtoniaanse zienswijze wel want daar bestaat helemaal geen ruimtetijdkromming. Ik zal dat even illustreren met een plaatje. Ik zal voor de duidelijkheid er nog een lichtstraal aan toevoegen die perfect rechtdoor gaat. Behalve dat die lichtstralen afgebogen worden moeten ze ook nog door die ‘kuil’ als gevolg van de ruimtetijdkromming (deze kuil die ik in de plaatjes heb getekend is puur ter illustratie, het is een handige analogie, maar het voegt een extra dimensie toe die er in werkelijkheid helemaal niet is). Ik zal het hemellichaam even weghalen zodat dat beter zichtbaar wordt. Ook hier zal ik er voor de duidelijkheid nog een lichtstraal aan toevoegen die geen tijdsvertraging oploopt (maar wel afgebogen wordt). Ik zal de andere lichtstralen weghalen op één na. De lichtstraal komt ergens van ‘ver weg’ en de loodrechte afstand van dit begintraject tot een as precies door het middelpunt van het hemellichaam is de impactparameter b. Ik maak een plaatje van het bovenaanzicht, het punt van dichtste nadering tot het hemellichaam noem ik A. Op deze pagina heb ik de vergelijking afgeleid van de lichtstraal: De lichtstraal komt van ver weg en beweegt richting het hemellichaam, waar zich de oorsprong bevindt, en dus is dr negatief en moeten we het minteken gebruiken:

Hierin is R_s de Schwarzschild-straal, de horizon van een zwart gat:

P is een constante van de beweging: Die op zijn beurt is opgebouwd uit twee andere constanten van de beweging plus de lichtsnelheid: De lichtstraal beweegt richting het hemellichaam, dr/dt is dan negatief, bereikt het punt van dichtste nadering waar dr/dt gelijk aan nul is, en beweegt zich vervolgens weer bij het hemellichaam vandaan, dr/dt is dan positief. Het punt A is dus een interessant punt, want daar is dr/dt nul: De linkerterm van het rechterlid kan niet nul worden, want R_s ligt ver binnen het hemellichaam en dat wordt duidelijk uit onderstaande tabel (R is de straal van het betreffende hemellichaam, voor de gegevens van de hemellichamen zie de tabel met fysische gegevens).

Gerangschikt naar oplopende waarden van Rs/R
Hemellichaam:	Rs/R:
Baksteen	≈ 0.00000000000000000000000003 = 3 ∙ 10−26
Rotsblok van 100 kg, (diameter = 1 meter)	≈ 0.0000000000000000000000003 = 3 ∙ 10−25
Pluto	0.0000000000163 = 1.63 ∙ 10−11
Maan	0.0000000000628 = 6.28 ∙ 10−11
Mercurius	0.000000000201 = 2.01 ∙ 10−10
Mars	0.000000000281 = 2.81 ∙ 10−10
Venus	0.00000000119 = 1.19 ∙ 10−9
Aarde	0.00000000139 = 1.39 ∙ 10−9
Uranus	0.00000000504 = 5.04 ∙ 10−9
Neptunus	0.00000000614 = 6.14 ∙ 10−9
Saturnus	0.0000000140 = 1.40 ∙ 10−8
Jupiter	0.0000000394 = 3.94 ∙ 10−8
Canis Majoris	≈ 0.00000005 = 5 ∙ 10−8
Betelgeuse	≈ 0.0000001 = 1 ∙ 10−7
Aldebaran	≈ 0.0000001 = 1 ∙ 10−7
Zon	0.00000425 = 4.25 ∙ 10−6
Andromeda	≈ 0.000006 = 6 ∙ 10−6
Witte dwerg	≈ 0.0005 = 5 ∙ 10−4
Neutronenster	≈ 0.5 = 5 ∙ 10−1
Zwart gat	1 = 1 ∙ 100
(Credits voor de foto’s van de hemellichamen: NASA)

Vergelijking (6) wordt dan: In het punt A is de afstand tot de oorsprong r_A: Dit vul ik in in vergelijking (2): Vervolgens schrijf ik dit iets anders op: Nu ga ik beide zijden integreren met als grenzen het beginpunt van de lichtstraal (r₀, t₀) en het punt A (r_A, t_A): Het eerste probleem is dat deze integraal niet rechtstreeks op te lossen is. Daar komt nog bij dat de integrand oneindig wordt in het punt r = r_A, omdat daar het deel onder het wortelteken nul wordt (zie de vergelijkingen (6) en (7)).

Ik heb de term met de wortel afgesplitst, en de breuk die daarvoor staat ga ik ontwikkelen in een Taylor-reeks. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

Hiermee wordt vergelijking (11): Omdat R_s/r heel erg klein is, is (R_s/r)² heeeeeeeeeel erg klein en kan ik de termen met (R_s/r)³ en hogere ordes verwaarlozen (want ik doe immers een tweede orde benadering). Dus als ik de eerste drie termen van de reeks meeneem dan ben ik nog steeds goed bezig: De term met de wortel zou ik ook kunnen ontwikkelen in een Taylor-reeks. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we: Echter, hiermee kom ik gegarandeerd in de problemen, omdat de convergentie dan weg is (want het deel onder de wortel wordt nul). Daarom voer ik de volgende splitsingstruc uit: Wat concreter ziet dat er zo uit: Door de vergelijkingen (14) en (17) te vergelijken vind ik voor a: Die breuk noem ik voor het gemak (van wat komen gaat) B: Hiermee kan ik a² heel compact schrijven als: En door nogmaals de vergelijkingen (14) en (17) te vergelijken vind ik voor x: In de tabel met gesplitste Taylor-reeksen vinden we de coëfficiënten c_n:

Index	cn
0
1
2
3
4
5
n

Ik ga a², vergelijking (20), invullen in de coëfficiënten c_n en hogere orde termen van R_s/r (derde orde en hoger) gooi ik gelijk overboord: De regelmaat moge duidelijk zijn: Ik ga B, vergelijking (19), weer invullen: De term met de wortel uit vergelijking (14) neem ik even apart onder handen: Met behulp van al het voorgaande ga ik nu de splitsing uitvoeren: Ik breng vergelijking (12) weer even voor het voetlicht: Hiermee kan ik de eerste - en de derde somreeks wegwerken uit vergelijking (27): In de tabel met Taylor-reeksen vinden we ook nog: Met behulp hiervan kan ik ook de resterende somreeks wegwerken: Met al deze ingrediënten wordt de integraal, vergelijking (14): Ik ga haakjes wegwerken en hogere orde termen van R_s/r (derde orde en hoger) gooi ik weer overboord: Ik heb nu zeven integralen en die werk ik apart uit. De oplossing van de integraal van x/(x² − a²)^1/2 kun je vinden in de tabel met integralen. Daarmee kan ik de eerste integraal uitwerken: De oplossing van de integraal van 1/((x + a) (x² − a²))^1/2) kun je vinden in de tabel met integralen. Daarmee kan ik de tweede integraal uitwerken: De oplossing van de integraal van 1/((x + a) (x² − a²))^1/2) kun je vinden in de tabel met integralen en de oplossing van de integraal van 1/((x + a)² (x² − a²))^1/2) kun je vinden in de tabel met integralen. Daarmee kan ik de derde integraal uitwerken (waarbij ik gebruik maak van breuksplitsing): De oplossing van de integraal van 1/((x + a) (x² − a²))^1/2) kun je vinden in de tabel met integralen en de oplossing van de integraal van 1/(x (x² − a²)^1/2) kun je vinden in de tabel met integralen. Daarmee kan ik de vierde integraal uitwerken (waarbij ik weer gebruik maak van breuksplitsing): De oplossing van de integraal van 1/(x² − a²)^1/2 kun je vinden in de tabel met integralen. Daarmee kan ik de vijfde integraal uitwerken: De oplossing van de integraal van 1/(x (x² − a²)^1/2) kun je vinden in de tabel met integralen en de oplossing van de integraal van 1/((x + a) (x² − a²))^1/2) kun je vinden in de tabel met integralen. Daarmee kan ik de zesde integraal uitwerken (waarbij ik nogmaals gebruik maak van breuksplitsing): De oplossing van de integraal van 1/(x (x² − a²)^1/2) kun je vinden in de tabel met integralen. Daarmee kan ik de zevende integraal uitwerken: Met al deze deeloplossingen kom ik tot het volgende resultaat:

De eerste term is simpelweg de stelling van Pythagoras. Logisch, want newtoniaans bezien is de ruimtetijd vlak. Het blijkt ook uit het feit dat het de enige term is waar geen R_s in voorkomt.

Ik ben op zoek naar de relativistische vertraging die de lichtstraal oploopt, dus dat is dan het resultaat volgens vergelijking (34) minus het newtoniaanse resultaat (de eerste term). Aldus kom ik tot de volgende vertraging, gemeten vanaf het beginpunt (r₀, t₀) tot aan het punt A: Dan rest nog de taak om r_A te bepalen. Zoals ik aan het begin al aangaf loopt de lichtstraal vertraging op én de lichtstraal wordt afgebogen. In een eveneens tweede orde benadering is de afbuigingshoek van de lichtstraal wanneer die het traject doorloopt van r = −∞ tot r = +∞ (voor de berekening zie deze pagina): In het punt A is de afbuigingshoek precies de helft hiervan: De afbuigingsafstand is dan: Hieruit volgt voor r_A: Door vergelijking (39) in te vullen in vergelijking (35) heb ik tenslotte de tijdsvertraging tot aan het punt A als functie van b, r₀ en R_s. Ik zal ter illustratie de grafiek combineren met het resultaat van de eerste orde berekening. De eerste orde grafiek wordt volledig bedekt door de tweede orde grafiek. Ik laat daarom ook nog het verschil zien tussen de eerste orde berekening en de tweede orde berekening.