Dit is de differentiaalvergelijking van de geodetische lijn van een lichtstraal rondom een puntmassa (voor de afleiding zie dit vraagstuk): Hierin is u de reciproke van de radiële afstand r:

En R_s is de Schwarzschild-straal, de horizon van een zwart gat:

Het slechte nieuws is: er is geen exacte oplossing bekend van deze differentiaalvergelijking. Het goede nieuws is: in de wiskunde zijn we niet voor één gat te vangen. Wanneer ik in vergelijking (1) de term aan de rechterkant weglaat dan blijft dit over:

Vergelijking (4) is het newtoniaanse equivalent en de term aan de rechterkant is dus een relativistische correctie. Relativistische correcties zijn doorgaans (heel) klein en worden pas significant in extreme situaties zoals bij neutronensterren en zwarte gaten. We zien het ook aan de aanwezigheid van R_s in die term, want R_s is in ‘gewone’ gevallen heel klein zoals uit onderstaande tabel blijkt (R is de straal van het betreffende hemellichaam, voor de gegevens van de hemellichamen zie de tabel met fysische gegevens).

Gerangschikt naar oplopende waarden van Rs/R
Hemellichaam:	Rs/R:
Baksteen	≈ 0.00000000000000000000000003 = 3 ∙ 10−26
Rotsblok van 100 kg, (diameter = 1 meter)	≈ 0.0000000000000000000000003 = 3 ∙ 10−25
Pluto	0.0000000000163 = 1.63 ∙ 10−11
Maan	0.0000000000628 = 6.28 ∙ 10−11
Mercurius	0.000000000201 = 2.01 ∙ 10−10
Mars	0.000000000281 = 2.81 ∙ 10−10
Venus	0.00000000119 = 1.19 ∙ 10−9
Aarde	0.00000000139 = 1.39 ∙ 10−9
Uranus	0.00000000504 = 5.04 ∙ 10−9
Neptunus	0.00000000614 = 6.14 ∙ 10−9
Saturnus	0.0000000140 = 1.40 ∙ 10−8
Jupiter	0.0000000394 = 3.94 ∙ 10−8
Canis Majoris	≈ 0.00000005 = 5 ∙ 10−8
Betelgeuse	≈ 0.0000001 = 1 ∙ 10−7
Aldebaran	≈ 0.0000001 = 1 ∙ 10−7
Zon	0.00000425 = 4.25 ∙ 10−6
Andromeda	≈ 0.000006 = 6 ∙ 10−6
Witte dwerg	≈ 0.0005 = 5 ∙ 10−4
Neutronenster	≈ 0.5 = 5 ∙ 10−1
Zwart gat	1 = 1 ∙ 100
(Credits voor de foto’s van de hemellichamen: NASA)

De oplossing van vergelijking (4) is simpel en overbekend, dat is de sinus, of de cosinus, of een combinatie van beide, dat is een kwestie van je assenstelsel roteren, maar dat maakt hier niet uit want we hebben bolsymmetrie. De lichtstraal komt ergens van ‘ver weg’ en de loodrechte afstand van dit begintraject tot een as precies door het middelpunt van het hemellichaam is de impactparameter (of in beter Nederlands: inslagparameter) b. Aldus kan ik als newtoniaanse oplossing of niet-relativistische oplossing of nulde orde oplossing (net hoe je het noemen wilt) schrijven: Merk op dat dit de vergelijking is van een rechte lijn, want in poolcoördinaten geldt: De sinus kan ik schrijven als functie van de tangens: Met al deze ingrediënten wordt vergelijking (5): Hetgeen een perfecte horizontale rechte lijn is. Omdat de term aan de rechterkant van vergelijking (1) klein is zal het exacte antwoord maar een klein beetje afwijken van vergelijking (5) en dus is het een goed idee om vergelijking (5) als startpunt te nemen en vervolgens naar een nauwkeuriger antwoord toe te werken. Op deze pagina vond ik de eerste orde oplossing: Vervolgens ga ik wat proberen, zoals meestal met differentiaalvergelijkingen en net als bij de eerste orde oplossing, met een antwoord dat in de buurt ligt van vergelijking (9) door nog een stel termen toe te voegen (met A, B, C, D, E en F als nog te bepalen parameters): De afgeleide hiervan is: En de tweede afgeleide is: De vergelijkingen (10) en (12) vul ik in aan de linkerkant van vergelijking (1) en de eerste orde oplossing aan de rechterkant. De term F sin⁵ laat ik in de laatste regel weg, want dat is een hogere orde term die dan niet meer van belang is (maar de F-parameter was wel nodig om de andere parameters kloppend te krijgen). Hieruit volgt door termen met gelijke exponenten te vergelijken: De waarde van B maakt uiteraard niets uit, want dat is de term die er per definitie uitvalt (de rechte lijn). Door de gevonden waarden van A, C, D en E in te vullen (voor B vul ik simpelweg nul in) in vergelijking (10) heb ik een nauwkeuriger antwoord gevonden (nauwkeuriger dan de eerste orde oplossing van vergelijking (9)). Het eindresultaat is dus de combinatie van de vergelijkingen (5) en (10): Ik weet dat φ heel klein is (en sin φ dus ook) en dat R_s/b ook heel klein is, en daarom kan ik met een gerust hart een aantal hogere orde termen overboord zetten: Dit ga ik wat reorganiseren: Met behulp van de abc-formule vind ik een oplossing voor sin φ: De eerste orde oplossing leerde mij dat ik het minteken moet gebruiken:

Ik ga de wortel ontwikkelen in een reeks. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

Dit vul ik in in vergelijking (19), waarbij ik de eerste drie termen meeneem (want ik zoek een tweede orde benadering): Hiervan neem ik de limiet voor r gaat naar oneindig: Ik ga de sinus ook ontwikkelen in een reeks. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we: Hiermee wordt vergelijking 22 (waarbij ik alleen de eerste twee termen van de reeks meeneem): Nu heb ik een derdegraads vergelijking die mij alleen maar verder van mijn einddoel afbrengt, want ik moet de nulpunten gaan opzoeken en daarin verschijnen opnieuw sinussen (en boogsinussen). Zo zien die nulpunten eruit: Ik ga op een andere manier verder. Zoals vergelijking (6a) al aangaf is φ de boogtangens van y/x: En vergelijking (7) liet zien dat ik de sinus kan schrijven als functie van de tangens: Via deze weg wordt vergelijking (22): Dit was het eerste orde resultaat: Op deze manier wordt in één klap duidelijk wat de tweede orde bijdrage is. Afgezien van het teken, en voortbordurend op het eerste orde resultaat, is dit de afbuigingshoek in een tweede orde benadering: Zoals ik al aangaf worden relativistische correcties pas significant in extreme situaties zoals bij neutronensterren en zwarte gaten. Deze tweede orde berekening is een leuke exercitie, maar heeft geen enkel praktisch nut, want bij ‘gewone’ hemellichamen is bovenstaande tweede orde bijdrage totaal onbeduidend en onmeetbaar terwijl het daarentegen bij neutronensterren en zwarte gaten totaal ontoereikend is (dan heb je juist veel meer termen nodig, iets wat in de buurt komt van een exacte oplossing). Maar, zoals gezegd, dit was wel een leuke rekenexercitie.