Wat maakt een zwart gat tot een zwart gat?

Wat maakt een zwart gat nou eigenlijk tot een zwart gat?

De eerste foto van een zart gat
(Credits: ESO)

Newton

Met behulp van de wetten van Newton kun je de ontsnappingssnelheid van een hemellichaam berekenen, de snelheid die nodig is om het oppervlak van dat hemellichaam te verlaten en er nooit meer op terug te vallen:


De ontsnappingssnelheid van de Aarde is elf kilometer per seconde,
ook de Space Shuttle haalt dat niet en is dus ongeschikt voor interplanetair reizen
(Credits: NASA)

Michell

Laplace

De Engelsman John Michell (in de literatuur vaak foutief geschreven als Mitchell) en de Fransman Laplace hadden ruwweg honderd jaar nadat Newton zijn wetten had neergeschreven, onafhankelijk van elkaar, als eersten de overpeinzing hoe het zou zijn indien deze ontsnappingssnelheid de snelheid van het licht zou overschrijden. Daarmee was het concept van een ‘dark star’, een donkere ster, geboren.


Rømer

Men had inmiddels een aardig idee van de snelheid van het licht door het werk van de Deense astronoom Rømer (in de literatuur vaak foutief geschreven als Römer). Wanneer de manen van de planeet Jupiter achter de planeet langsdraaien (vanaf de Aarde gezien uiteraard) en ze komen op enig moment weer te voorschijn, bleek dat op een enigszins variabel tijdstip te gebeuren. Terwijl andere natuurkundigen, die een verklaring zochten voor de afwijking, zich afvroegen wat er zich bij Jupiter zou kunnen afspelen verplaatste Rømer het probleem naar de Aarde. Deze verandering van gezichtspunt leidde naar de oplossing, want afhankelijk van de positie van de Aarde ten opzichte van Jupiter verandert de weglengte die het licht moet afleggen, in het uiterste geval is het verschil de diameter van de aardbaan. Deel de diameter van de aardbaan (300 miljoen kilometer) door het verschil in uiterste tijdstippen dat de manen van Jupiter zichtbaar worden (bijna zeventien minuten) en je hebt de lichtsnelheid: 300.000 kilometer per seconde. De oplossing is altijd simpel en Rømer zat er, 350 jaar geleden, maar een procent of twintig naast.


Rømer gebruikte de verschijning van de maan Io (bij de pijl) als ijkpunt voor zijn metingen,
links staan de oorspronkelijke aantekeningen van Rømer
(Io is voor de duidelijkheid overdreven groot weergegeven)
De zwaarste stoffen die Michell en Laplace in hun tijd kenden waren de metalen lood, goud en platina en ik kan me voorstellen dat de heren daar wat mee gerekend hebben om een voorstelling te krijgen van de afmetingen van zo’n donkere ster.
Metaal Dichtheid
[kg/m3]
Diameter
[m]
Diameter/diameter Zon Massa
[kg]
Massa/massa Zon
Goud 19320 1.824 ∙ 1011 131 6.141 ∙ 1037 3.087 ∙ 107
Lood 11340 2.381 ∙ 1011 171 8.016 ∙ 1037 4.030 ∙ 107
Platina 21450 1.731 ∙ 1011 124 5.828 ∙ 1037 2.930 ∙ 107
Uitgaande van deze metalen heb je een bol nodig die tientallen miljoenen keer zo zwaar is als de Zon om tot een ontsnappingssnelheid te komen die groter is dan de lichtsnelheid.

Schwarzschild

Het onderwerp verdwijnt naar de achtergrond, maar ruim honderd jaar later verschijnt het opnieuw op de radar wanneer de Duitser Schwarzschild eind 1915 (in de literatuur vaak foutief genoemd als 1916) de eerste exacte oplossing vindt voor de vergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie, de Schwarzschild-oplossing:

Zoals vergelijking (3) laat zien ontstaat er een probleem, de noemer van g11 wordt nul, in het volgende geval:

Einstein

En dit komt overeen met de vergelijkingen (1) en (2): de straal van een massa met een ontsnappingssnelheid gelijk aan de lichtsnelheid. Velen, te beginnen met Einstein zelf, zagen dit als een wiskundig akkefietje. Bovendien was algemene relativiteitstheorie verre van een ‘hot topic’ in die dagen, het verklaarde de periheliumprecessie van Mercurius en daarmee was alles wel zo’n beetje uitgewerkt voor wat betreft het praktische nut. Kwantummechanica en deeltjesfysica, daar gebeurde het!


Wheeler

We maken weer een sprong voorwaarts in de tijd, ditmaal een halve eeuw, en dan begint algemene relativiteitstheorie eindelijk de aandacht te krijgen die het verdient. Langzaam maar zeker dringt het besef door dat Moeder Natuur daadwerkelijk objecten creëert waarbij alle massa is samengeperst binnen de afstand:

Het is de Amerikaan Wheeler die in 1967 voor deze objecten de term “zwarte gaten” (Engels: black holes) in het leven roept en dat is het gebleven.

Ondanks de overeenkomsten tussen de vergelijkingen (1), (2), (4) en (5) verschilt de donkere ster van Michell en Laplace, een newtoniaanse zienswijze, fundamenteel van een zwart gat, de relativistische zienswijze. Ik ga dat illustreren aan de hand van een massa van 1.55 biljoen zonsmassa’s. De afstand tot het centrum waarbij de ontsnappingssnelheid gelijk is aan de lichtsnelheid is R = 4.579 ∙ 1015 m. De valversnelling bij die afstand is g = 9.81 m/s2, dus gelijk aan hier op Aarde.

Stel dat de massa zich precies uitstrekt tot aan de afstand R, dan zou een persoon daar gewoon kunnen staan net als op Aarde. Ik heb daar een ruimtetijddiagram van gemaakt, zie het plaatje hiernaast. Horizontaal is de ruimtelijke coördinaat r uitgezet en verticaal de tijd t. Het zwarte vlak is de graviterende massa.

Ik kan de wereldlijn van deze persoon erbij intekenen, de groene lijn, en de bijbehorende lichtkegel. De lichtkegel is weliswaar een relativistisch ingrediënt, maar dat neemt niet weg dat deze persoon zowel newtoniaans als relativistisch kan doen en laten wat hij wil binnen de grenzen van de lichtkegel.

Hij zou bijvoorbeeld een sprongetje kunnen maken ondanks het feit dat de ontsnappingssnelheid gelijk is aan de lichtsnelheid. Vergelijk het met de Aarde, die heeft een ontsnappingssnelheid van ruim elf kilometer per seconde maar dat weerhoudt mij er niet van om te kunnen springen (ook al ontwikkel ik natuurlijk in de verste verte geen snelheid van elf kilometer per seconde).


Ook al ontwikkelt een mens maar een fractie van de ontsnappingssnelheid,
daarom kan een mens nog wel springen

Hoe anders is de situatie vanuit een relativistisch oogpunt. Door de kromming van de ruimtetijd is de lichtkegel gekanteld. De centrale as van de lichtkegel representeert de actie “ik doe niets” en die leidt onvermijdelijk naar het middelpunt van het zwarte gat.

Zelfs indien de persoon in kwestie alle hypothetische zeilen bijzet en de lichtsnelheid ontwikkelt is het beste dat hij kan bereiken zich handhaven aan de rand van het zwarte gat (de groene lijn). Omdat de lichtsnelheid de maximale snelheid is kan hij alleen bewegen binnen de lichtkegel en is het verlaten van het zwarte gat geen optie: de natuurkundewetten verbieden het. Is dat ook wiskundig te onderbouwen? Uiteraard.


Eddington

Finkelstein

Middels de volgende transformatie ga ik de Schwarzschild-oplossing omschrijven naar Eddington-Finkelstein-coördinaten:

Vergelijking (3) komt er dan zo uit te zien:
In deze vorm ontstaan er geen wiskundige problemen in de buurt van r = R. Ik werk nog even een paar haakjes weg:
Volgens deze schrijfwijze is de signatuur van het interval (in het kwadraat) + − − − (er zijn ook auteurs die − + + + aanhouden):
Dit impliceert dat ds2 altijd positief moet zijn (anders beweeg je de lichtkegel uit en ben je sneller dan het licht en dat kan niet). Voor r < R kan ik voor vier van de vijf termen in het rechterlid aangeven of ze positief of negatief zijn:
Vier termen zijn altijd negatief! Om dan toch tot een positieve ds2 te komen moet die vijfde term absoluut positief zijn:
In die vijfde term bevindt zich de lichtsnelheid c, een positief getal, de afstanden r en R, beide per definitie positief, en dt, ook positief want je kunt niet terug in de tijd. De enig overgebleven variabele die deze term nog positief kan maken is dr en die moet daarvoor negatief zijn (want de term begint met een minteken). Met andere woorden, ben je eenmaal het punt r = R gepasseerd dan kun je vanaf dat moment alleen nog maar verder het zwarte gat in. De kromming van de ruimtetijd biedt geen andere mogelijkheid. Dat is wat een zwart gat tot een zwart gat maakt, er kan helemaal niets uit, ook geen licht. Het vlak dat gevormd wordt door alle punten die voldoen aan vergelijking (5) noemen we de horizon of Schwarzschild-straal van het zwarte gat:
De horizon van een zwart gat kan dus ook geen echt oppervlak zijn waarop je (hypotetisch) zou kunnen staan of zo, want ieder atoompje dat zich daar bevindt moet richting het centrum van het zwarte gat bewegen. De tijd eist het.

In twee dimensies zou je de kromming van de vierdimensionale ruimtetijd kunnen weergeven
als een trechter waarbij je voorbij een bepaald punt (r = R = de blauwe lijn = de horizon)
niet anders meer kunt dan verder de trechter in, voortgedreven door de tijd