Om dit probleem tot een goed einde te brengen ga ik het probleem eerst een heel stuk kleiner maken, ik stel simpelweg dat er maar drie dagen in een jaar zitten en dan ga ik later opschalen naar 365 dagen. Bovendien ga ik eerst uit van een zeer beperkt aantal mensen en dat ga ik dan later opschalen naar acht miljard.

Wanneer er drie dagen in een jaar zitten en er is maar één mens op Aarde dan is die ene mens uiteraard op één van die drie dagen jarig. Die drie mogelijkheden noem ik combinaties en ik nummer de dagen als 1, 2, 3. In een tabel ziet dat er als volgt uit:

Combinaties

1

2

3

Wanneer er twee mensen op Aarde zijn dan ontstaat er een mix van mogelijke dagen waarop ze jarig zijn.

Combinaties
11
12
13
21
22
23
31
32
33

De combinaties 11, 22 en 33 geven aan dat ze op dezelfde dag jarig zijn en in alle andere gevallen zijn ze op verschillende dagen jarig. De volgende stap is uiteraard dat er drie mensen op Aarde zijn.

Combinaties
111
112
113
121
122
123
131
132
133
211
212
213
221
222
223
231
232
233
311
312
313
321
322
323
331
332
333

Er zijn nu een aantal combinaties waarbij deze drie mensen precies verspreid over alle dagen van het jaar jarig zijn. Daarom ga ik aan de tabel drie kolommen toevoegen. In de eerste extra kolom geef ik aan wanneer er iedere dag iemand jarig is (dus dan zijn er nul dagen waarop er niemand jarig is), in de tweede extra kolom geef ik aan wanneer er op precies één dag niemand jarig is en in de derde extra kolom geef ik aan wanneer er twee dagen zijn waarop er niemand jarig is, en zo ga ik die kolommen ook benoemen. Op de onderste rij staan de totalen.

Combinaties	Kolom0: nul dagen niemand jarig	Kolom1: één dag niemand jarig	Kolom2: twee dagen niemand jarig
111			1
112		1
113		1
121		1
122		1
123	1
131		1
132	1
133		1
211		1
212		1
213	1
221		1
222			1
223		1
231	1
232		1
233		1
311		1
312	1
313		1
321	1
322		1
323		1
331		1
332		1
333			1
27	6	18	3

De volgende stap is om weer een mens toe te voegen, het zijn er nu vier.

Combinaties	Kolom0: nul dagen niemand jarig	Kolom1: één dag niemand jarig	Kolom2: twee dagen niemand jarig
1111			1
1112		1
1113		1
1121		1
1122		1
1123	1
1131		1
1132	1
1133		1
1211		1
1212		1
1213	1
1221		1
1222		1
1223	1
1231	1
1232	1
1233	1
1311		1
1312	1
1313		1
1321	1
1322	1
1323	1
1331		1
1332	1
1333		1
2111		1
2112		1
2113	1
2121		1
2122		1
2123	1
2131	1
2132	1
2133	1
2211		1
2212		1
2213	1
2221		1
2222			1
2223		1
2231	1
2232		1
2233		1
2311	1
2312	1
2313	1
2321	1
2322		1
2323		1
2331	1
2332		1
2333		1
3111		1
3112	1
3113		1
3121	1
3122	1
3123	1
3131		1
3132	1
3133		1
3211	1
3212	1
3213	1
3221	1
3222		1
3223		1
3231	1
3232		1
3233		1
3311		1
3312	1
3313		1
3321	1
3322		1
3323		1
3331		1
3332		1
3333			1
81	36	42	3

Vervolgens werk ik het ook nog uit voor vijf mensen.

Combinaties	Kolom0: nul dagen niemand jarig	Kolom1: één dag niemand jarig	Kolom2: twee dagen niemand jarig
11111			1
11112		1
11113		1
11121		1
11122		1
11123	1
11131		1
11132	1
11133		1
11211		1
11212		1
11213	1
11221		1
11222		1
11223	1
11231	1
11232	1
11233	1
11311		1
11312	1
11313		1
11321	1
11322	1
11323	1
11331		1
11332	1
11333		1
12111		1
12112		1
12113	1
12121		1
12122		1
12123	1
12131	1
12132	1
12133	1
12211		1
12212		1
12213	1
12221		1
12222		1
12223	1
12231	1
12232	1
12233	1
12311	1
12312	1
12313	1
12321	1
12322	1
12323	1
12331	1
12332	1
12333	1
13111		1
13112	1
13113		1
13121	1
13122	1
13123	1
13131		1
13132	1
13133		1
13211	1
13212	1
13213	1
13221	1
13222	1
13223	1
13231	1
13232	1
13233	1
13311		1
13312	1
13313		1
13321	1
13322	1
13323	1
13331		1
13332	1
13333		1
21111		1
21112		1
21113	1
21121		1
21122		1
21123	1
21131	1
21132	1
21133	1
21211		1
21212		1
21213	1
21221		1
21222		1
21223	1
21231	1
21232	1
21233	1
21311	1
21312	1
21313	1
21321	1
21322	1
21323	1
21331	1
21332	1
21333	1
22111		1
22112		1
22113	1
22121		1
22122		1
22123	1
22131	1
22132	1
22133	1
22211		1
22212		1
22213	1
22221		1
22222			1
22223		1
22231	1
22232		1
22233		1
22311	1
22312	1
22313	1
22321	1
22322		1
22323		1
22331	1
22332		1
22333		1
23111	1
23112	1
23113	1
23121	1
23122	1
23123	1
23131	1
23132	1
23133	1
23211	1
23212	1
23213	1
23221	1
23222		1
23223		1
23231	1
23232		1
23233		1
23311	1
23312	1
23313	1
23321	1
23322		1
23323		1
23331	1
23332		1
23333		1
31111		1
31112	1
31113		1
31121	1
31122	1
31123	1
31131		1
31132	1
31133		1
31211	1
31212	1
31213	1
31221	1
31222	1
31223	1
31231	1
31232	1
31233	1
31311		1
31312	1
31313		1
31321	1
31322	1
31323	1
31331		1
31332	1
31333		1
32111	1
32112	1
32113	1
32121	1
32122	1
32123	1
32131	1
32132	1
32133	1
32211	1
32212	1
32213	1
32221	1
32222		1
32223		1
32231	1
32232		1
32233		1
32311	1
32312	1
32313	1
32321	1
32322		1
32323		1
32331	1
32332		1
32333		1
33111		1
33112	1
33113		1
33121	1
33122	1
33123	1
33131		1
33132	1
33133		1
33211	1
33212	1
33213	1
33221	1
33222		1
33223		1
33231	1
33232		1
33233		1
33311		1
33312	1
33313		1
33321	1
33322		1
33323		1
33331		1
33332		1
33333			1
243	150	90	3

Dit is een goed moment voor een samenvatting van het voorgaande.

Aantal mensen	Aantal combinaties	Kolom0: nul dagen niemand jarig	Kolom1: één dag niemand jarig	Kolom2: twee dagen niemand jarig
1	3	0	0	3
2	9	0	6	3
3	27	6	18	3
4	81	36	42	3
5	243	150	90	3

Nu ga ik extrapoleren, wat variabelen invoeren en systematiek inbrengen. In woorden is de systematiek als volgt: voor iedere mens die erbij komt splitst iedere rij zich in drie rijen. Van die drie rijen:

• gaan er nul eentjes naar links indien ze in kolom0 staan,
• gaat er één eentje naar links indien ze in kolom1 staan,
• gaan er twee eentjes naar links indien ze in kolom2 staan.

Aantal mensen = n	Aantal combinaties = c	Kolom0: nul dagen niemand jarig = k0	Kolom1: één dag niemand jarig = k1	Kolom2: twee dagen niemand jarig = k2
1	3 = 31	0	0	3
2	9 = 32	0	6	3
3	27 = 33	6	18	3
4	81 = 34	36	42	3
5	243 = 35	150	90	3

Met een rekenmachine in de hand kan ik de tabel nu heel gemakkelijk uitbreiden.

Aantal mensen = n	Aantal combinaties = c	Kolom0: nul dagen niemand jarig = k0	Kolom1: één dag niemand jarig = k1	Kolom2: twee dagen niemand jarig = k2
1	3	0	0	3
2	9	0	6	3
3	27	6	18	3
4	81	36	42	3
5	243	150	90	3
6	729	540	186	3
7	2187	1806	378	3
8	6561	5796	762	3
9	19683	18150	1530	3
10	59049	55980	3066	3

Het ging om de kans dat er op minstens één dag in het jaar niemand op Aarde jarig is. Die kans is: Dat zet ik ook in een tabel.

Aantal mensen = n	Aantal combinaties = c	Kolom0: nul dagen niemand jarig = k0	Kans = K
1	3	0	1.00000
2	9	0	1.00000
3	27	6	0.77778
4	81	36	0.55556
5	243	150	0.38272
6	729	540	0.25926
7	2187	1806	0.17421
8	6561	5796	0.11660
9	19683	18150	0.07788
10	59049	55980	0.05197

Wanneer er nog maar één of twee mensen op de Aarde rondlopen is de kans op een verjaardagsloze dag één, maar die kans neemt snel af wanneer het drukker wordt.

Aantal mensen = n	Aantal combinaties = c	Kolom0: nul dagen niemand jarig = k0	Kans = K
1	3	0	1.00000
2	9	0	1.00000
3	27	6	0.77778
4	81	36	0.55556
5	243	150	0.38272
6	729	540	0.25926
7	2187	1806	0.17421
8	6561	5796	0.11660
9	19683	18150	0.07788
10	59049	55980	0.05197
11	177147	171006	0.03467
12	531441	519156	0.02312
13	1594323	1569750	0.01541
14	4782969	4733820	0.01028
15	14348907	14250606	0.00685
16	43046721	42850116	0.00457
17	129140163	128746950	0.00304
18	387420489	386634060	0.00203
19	1162261467	1160688606	0.00135
20	3486784401	3483638676	0.00090
21	10460353203	10454061750	0.00060
22	31381059609	31368476700	0.00040
23	94143178827	94118013006	0.00027
24	282429536481	282379204836	0.00018
25	847288609443	847187946150	0.00012
26	2541865828329	2541664501740	0.00008
27	7625597484987	7625194831806	0.00005
28	22876792454961	22875987148596	0.00004
29	68630377364883	68628766752150	0.00002
30	205891132094649	205887910869180	0.00002
31	617673396283947	617666953833006	0.00001
32	1853020188851841	1853007303949956	0.00001
33	5559060566555523	5559034796751750	0.00000

Het aantal dagen in een jaar noem ik d, dan ziet de systematiek er als volgt uit (zie de laatste regel van de tabel).

Aantal mensen = n	Aantal combinaties = c	Kolom0: nul dagen niemand jarig = k0	Kolom1: één dag niemand jarig = k1	Kolom2: twee dagen niemand jarig = k2
1	3	0	0	3
2	9	0	6	3
3	27	6	18	3
4	81	36	42	3
5	243	150	90	3
6	729	540	186	3
7	2187	1806	378	3
8	6561	5796	762	3
9	19683	18150	1530	3
10	59049	55980	3066	3

Vervolgens ga ik iedere nieuwe rij van de bovenstaande tabel delen door het aantal dagen, in dit geval drie, dus in de kolom “Aantal combinaties” komt telkens 1 te staan.

Aantal mensen = n	Aantal combinaties = c	Kolom0: nul dagen niemand jarig = k0	Kolom1: één dag niemand jarig = k1	Kolom2: twee dagen niemand jarig = k2
1	1	0.00000	0.00000	1.00000
2	1	0.00000	0.66667	0.33333
3	1	0.22222	0.66667	0.11111
4	1	0.44444	0.51852	0.03704
5	1	0.61728	0.37037	0.01235
6	1	0.74074	0.25514	0.00412
7	1	0.82579	0.17284	0.00137
8	1	0.88340	0.11614	0.00046
9	1	0.92212	0.07773	0.00015
10	1	0.94803	0.05192	0.00005

Zoals verwacht gaat Kolom0 richting één (terwijl die bij nul begint) en Kolom2 gaat richting nul (terwijl die bij één begint). Nu kan ik een grote stap maken en de tabel uitbreiden naar een jaar met 365 dagen. De kolom met het aantal combinaties laat ik vanaf nu weg, want daar staat toch telkens een één.

Aantal mensen = n	Kolom0: nul dagen niemand jarig = k0	Kolom1: één dag niemand jarig = k1	Kolom2: twee dagen niemand jarig = k2		Kolom364: 364 dagen niemand jarig = k364
1	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100		1.0000000000 ∙ 100
2	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100		2.7397260274 ∙ 10−3
3	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100		7.5060987052 ∙ 10−6
4	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100		2.0564653987 ∙ 10−8
5	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100		5.6341517772 ∙ 10−11
6	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100		1.5436032266 ∙ 10−13
7	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100		4.2290499360 ∙ 10−16
8	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100		1.1586438181 ∙ 10−18
9	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100		3.1743666249 ∙ 10−21
10	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100		8.6968948627 ∙ 10−24
20	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100		2.0722186370 ∙ 10−49
50	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100		2.8031713233 ∙ 10−126
100	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100		2.1528135528 ∙ 10−254
200	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100	0.0000000000 ∙ 100		1.2697551214 ∙ 10−510
364	0.0000000000 ∙ 100	5.3105865370 ∙ 10−155	1.7542460508 ∙ 10−150		7.7212960109 ∙ 10−931
365	1.4549552156 ∙ 10−157	9.6652674974 ∙ 10−153	1.5934401628 ∙ 10−148		2.1154235646 ∙ 10−933
366	2.6625680446 ∙ 10−155	8.8275668473 ∙ 10−151	9.6844619110 ∙ 10−147		5.7956809990 ∙ 10−936
500	9.8026681438 ∙ 10−70	3.7393395217 ∙ 10−67	7.0234614296 ∙ 10−65		2.6053173774 ∙ 10−1279
1000	1.7123209304 ∙ 10−12	5.4431049243 ∙ 10−11	8.5445507611 ∙ 10−10		1.8596379827 ∙ 10−2560
2000	2.1611945163 ∙ 10−1	3.3566254507 ∙ 10−1	2.5596478898 ∙ 10−1		9.4746669229 ∙ 10−5123
5000	9.9959746387 ∙ 10−1	4.0245831990 ∙ 10−4	7.7804717399 ∙ 10−8		1.2530562935 ∙ 10−12809
10000	9.9999999956 ∙ 10−1	4.4410410763 ∙ 10−10	9.1194794422 ∙ 10−20		4.3017810263 ∙ 10−25621
20000	1.0000000000 ∙ 100	5.4035194130 ∙ 10−22	1.2519178889 ∙ 10−43		5.0699506845 ∙ 10−51244
50000	1.0000000000 ∙ 100	9.7331293159 ∙ 10−58	3.2388678928 ∙ 10−115		8.2998461226 ∙ 10−128113
99998	1.0000000000 ∙ 100	2.6097270327 ∙ 10−117	1.5965947434 ∙ 10−234		2.5143917665 ∙ 10−256222
99999	1.0000000000 ∙ 100	2.6025770956 ∙ 10−117	1.5878462790 ∙ 10−234		6.8887445658 ∙ 10−256225
100000	1.0000000000 ∙ 100	2.5954467474 ∙ 10−117	1.5791457515 ∙ 10−234		1.8873272783 ∙ 10−256227

Wanneer ik deze tabel laat doorlopen tot en met n = acht miljard dan verschaft de laatste regel mij de informatie hoe groot de kans is dat er vandaag niemand op Aarde jarig is. Het probleem daarbij is dat daarvoor alle acht miljard regels uitgerekend moeten worden, omdat iedere regel voortborduurt op de vorige.

Echter, wanneer we goed kijken naar de bovenstaande tabel dan zien we dat in de laatste regel Kolom1 gigantisch veel kleiner is dan Kolom0, en Kolom2 is vervolgens gigantisch veel kleiner dan Kolom1, enzovoort. Kolom0 geeft de kans aan dat er iedere dag iemand jarig is, en de som van alle overige kolommen geeft de kans aan dat er op minstens één dag niemand jarig is. Maar als de kolommen Kolom2 tot en met Kolom364 in het niet vallen bij Kolom1, dan wordt de kans die we zoeken dus volledig bepaald door Kolom1 (tenzij je een nauwkeurigheid wilt van vele miljoenen significante cijfers, maar dat willen we niet). Het is wel boeiend om te zien hoe de kansverdeling zich door de kolommen verplaatst bij toenemende waarden van n. In onderstaande grafiek is horizontaal de nummering van de kolommen uitgezet, en verticaal de kans van die 365 verschillende kolommen voor verschillende waarden van n. De stap van n = 99998 naar n = 99999 is voor Kolom1 (nagenoeg) exact gelijk aan vermenigvuldigen met 364/365 en dat geldt ook voor de stap van n = 99999 naar n = 100000. Vanaf 100000 zijn het vervolgens nog 8000000000 − 100000 = 7999900000 stappen naar acht miljard. Het probleem is vanaf hier een balletjesprobleem (met teruglegging), er zijn 365 balletjes waarvan er eentje bijzonder is en hoe groot is de kans dat dat bijzondere balletje (de groene in het plaatje hieronder) keer op keer niet gepakt wordt. Dit heb ik dus uit te rekenen: Ik neem links en rechts de logaritme: De waarde van k₁ (100000) lees ik af uit de tabel en dan wordt het simpele sommetje: Oftewel: Hoe zou het gegaan zijn indien ik direct vanaf het begin met die verhouding 364/365 gerekend had? In dat geval was ik natuurlijk veel sneller klaar geweest. Het sommetje ziet er dan zo uit: Het verschil tussen beide methodes is 9531846 − 9531843 = 3 nullen! Linksom of rechtsom is de kans uiteraard onvoorstelbaar klein, dat zag iedereen wel aankomen, maar het laatste sommetje kun je zo even maken op een kladblaadje voor een ruwe indicatie en dan zit je minder dan een factor duizend verkeerd. Om precies te zijn: een factor 365!

Laten we het blijven beschouwen als balletjesprobleem, dus één bijzonder balletje mag niet gepakt worden. Echter, aan het begin is er nog helemaal geen bijzonder balletje, dus dat bijzondere balletje kan op 365 manieren ontstaan. Daarom moet het laatste sommetje nog met 365 vermenigvuldigd worden om tot een goed antwoord te komen: Dit nodigt natuurlijk uit om beide berekeningen met elkaar te vergelijken. De ene kans noem ik K₁ en is de som van Kolom1 tot en met Kolom364: De andere kans noem ik K₂ en gaat volgens deze berekening: Dat brengt ons bij de volgende vergelijkingstabel.

Aantal mensen	K1	K2
1	1.0000000000 ∙ 100	3.6400000000 ∙ 102
2	1.0000000000 ∙ 100	3.6300273973 ∙ 102
3	1.0000000000 ∙ 100	3.6200821167 ∙ 102
4	1.0000000000 ∙ 100	3.6101640835 ∙ 102
5	1.0000000000 ∙ 100	3.6002732230 ∙ 102
6	1.0000000000 ∙ 100	3.5904094608 ∙ 102
7	1.0000000000 ∙ 100	3.5805727225 ∙ 102
8	1.0000000000 ∙ 100	3.5707629342 ∙ 102
9	1.0000000000 ∙ 100	3.5609800221 ∙ 102
10	1.0000000000 ∙ 100	3.5512239124 ∙ 102
20	1.0000000000 ∙ 100	3.4551208976 ∙ 102
50	1.0000000000 ∙ 100	3.1821366393 ∙ 102
100	1.0000000000 ∙ 100	2.7742448194 ∙ 102
200	1.0000000000 ∙ 100	2.1086121420 ∙ 102
364	1.0000000000 ∙ 100	1.3446023023 ∙ 102
365	1.0000000000 ∙ 100	1.3409184604 ∙ 102
366	1.0000000000 ∙ 100	1.3372447112 ∙ 102
500	1.0000000000 ∙ 100	9.2587521977 ∙ 101
1000	1.0000000000 ∙ 100	2.3486162263 ∙ 101
2000	7.8388054837 ∙ 10−1	1.5112323776 ∙ 100
5000	4.0253613424 ∙ 10−4	4.0261395822 ∙ 10−4
10000	4.4410410772 ∙ 10−10	4.4410410781 ∙ 10−10

Beide kansberekeningen naderen elkaar voor grotere waarden van n zoals onderstaande grafiek nog beter laat zien. Voor de duidelijkheid zoom ik even in op het laatste deel. En ik maak tenslotte een grafiek van de relatieve fout. De grafiek laat zien dat er per toename van ∆n ≈ 840 de nauwkeurigheid van K₂ één decimaal toeneemt. Vanaf n = 10000 (het einde van de grafiek) tot n = acht miljard (het aantal mensen op Aarde) zal de nauwkeurigheid van K₂ daarom nog met meer dan 9.5 miljoen decimalen toenemen, en dat geldt dan ook voor K₁ omdat ik die vanaf n = 100000 op dezelfde manier bereken. Dus de berekeningen die ik hierboven heb uitgevoerd voor n = acht miljard zijn absoluut zeer nauwkeurig.

Voor hele grote waarden van n, zoals n = acht miljard, wordt de berekening van K₁ nagenoeg ondoenlijk en zou mijn computer jaren rekentijd nodig hebben terwijl de berekening van K₂ dan binnen een seconde is uitgevoerd. Voor lage waarden van n, ongeveer wanneer n < 5000, is de berekening van K₂ veel te onnauwkeurig (en geeft zelfs uitkomsten groter dan één) en voldoet alleen de berekening van K₁ (maar dat is dan ook binnen een paar minuten gefikst).

Dat allemaal ter harte nemend is de kans dat er op minstens één dag in het jaar niemand op Aarde jarig is, uitgaande van een jaar met 365 dagen en acht miljard mensen, dus: