Van alle paradoxen uit de relativiteitstheorie is dit misschien wel de allermoeilijkste om te doorgronden. Het is iets wat we in onze dagelijkse bezigheden totaal niet kennen, en daarom zijn er aan de tweelingparadox al vele woorden en artikelen gewijd om te ontrafelen waar precies de crux van het verhaal zit. Ik geef eerlijk toe: ik zal de laatste zijn om te ontkennen dat de tweelingparadox lastig is, zelfs moeilijk. Een hele goede reden om er toch eens een pagina aan te wijden.

De tweelingparadox gaat over twee personen, de ene blijft thuis en de andere gaat op reis. De reiziger vliegt een eind weg, keert op een bepaald moment om en bij thuiskomst blijkt dat hij/zij jonger is dan de thuisblijver (vanaf nu duid ik beide personen aan met hij/hem/zijn zonder de intentie om wie dan ook uit te sluiten). Hoe kan dat?

Laat ik om te beginnen een Minkowski-diagram, een ruimtetijddiagram, maken van de gebeurtenissen. De thuisblijver noem ik A, de reiziger noem ik B, horizontaal staat afstand uitgezet en verticaal de tijd, en de afstand van de Aarde (het vertrekpunt) tot de ster (het omkeerpunt van de reiziger) is x.

In een filmpje ziet dat er zo uit. Het eerste dat we ons dienen te realiseren is dat dit allemaal bezien is vanuit de thuisblijver A. A zit thuis in zijn luie stoel en zegt “ik beweeg niet” en zijn tijdlijn (de rode lijn) loopt dan ook evenwijdig aan zijn tijd-as. Horizontaal gebeurt er voor hem helemaal niets, want hij legt geen afstand af (in zijn referentiestelsel, zijn motto is immers “ik beweeg niet, B is de beweger”). Ik ga daarom wat indices aanbrengen in het plaatje. Vanuit B bezien is de situatie heel anders. Hij zit in zijn ruimteschip in zijn luie stoel en zegt ook “ik beweeg niet”, en zijn tijdlijn (de blauwe lijn) loopt dan ook evenwijdig aan zijn tijd-as. De assen voor tijd en afstand volgens B teken ik er ook bij in het plaatje. Het is op dit punt wel belangrijk om je (weer) te realiseren dat voor diegene die beweegt, B in dit geval, de assen in een ruimtetijddiagram naar elkaar toe buigen (bezien vanuit A) en lichtstralen altijd onder een hoek van 45 graden lopen. Het plaatje laat zien dat de reiziger B direct op snelheid is, dat hij bij zijn omkeerpunt direct tot stilstand komt en vervolgens direct weer op snelheid is voor de terugweg, en bij aankomst staat hij direct stil. Dat betekent dat de reiziger theoretisch met oneindige versnelling optrekt en afremt. Zit daar een potentiële valkuil onder het hele verhaal, omdat die versnelling, en ook de versnellingsperiode, volledig genegeerd worden? Dat is een goed punt, want in het geval van een versnellende waarnemer gaan de tijden van de reiziger en de thuisblijver exponentieel uit de pas lopen, dus dat ga ik eerst uitzoeken. Op deze pagina heb ik de vergelijkingen afgeleid voor afstand, snelheid, versnelling en tijd voor twee waarnemers waarvan er één versnelt ten opzichte van de ander.

En ik breng eerst nog even de Lorentz-factor in herinnering:

Hierin is β de snelheid als fractie van de lichtsnelheid: De versnellende waarnemer, B in dit geval, ondergaat een versnelling a totdat hij een snelheid v heeft bereikt (over de onderlinge snelheid v zijn A en B het altijd eens, dus die hoef ik geen index A of B mee te geven): De tijd die het kost om de snelheid v te bereiken is voor B: In de limiet dat de versnelling naar oneindig gaat wordt dit: Vanuit A bezien ondergaat B uiteraard ook een versnelling a totdat hij diezelfde snelheid v heeft bereikt: De tijd die het kost om de snelheid v te bereiken is voor de thuisblijver: In de limiet dat de versnelling naar oneindig gaat wordt dit: Wanneer de versnelling heel groot wordt dan gaat de tijdsduur van het versnellen (en dus ook van het afremmen) zowel voor A als B naar nul, en ik mag daarom probleemloos stellen dat B instantaan op snelheid is, en ook instantaan tot stilstand komt, en dus ook instantaan kan omkeren. Hoe dat technisch gerealiseerd wordt en hoe B dat allemaal overleeft doet nu niet ter zake.

De reiziger en de thuisblijver hebben afgesproken dat de thuisblijver met regelmatige tussenpozen (bijvoorbeeld ieder uur) een signaal, een lichtflits, uitzendt. En er is afgesproken dat B hetzelfde doet. De lichtflitsen komen over en weer keurig tijdsgedilateerd aan. Met andere woorden: B ziet de klok van A langzamer lopen dan zijn eigen klok, en A ziet de klok van B langzamer lopen dan zijn eigen klok (want de lichtflitsen zijn een maat voor de tijd die verstrijkt bij diegene die zendt). Dus waarom zou de reiziger uiteindelijk minder verouderen dan de thuisblijver? De situatie lijkt immers geheel symmetrisch? De asymmetrie zit daarin dat er na het omkeren van de reiziger een hele andere situatie ontstaat. A blijft onverdroten lichtflitsen uitzenden. Ook B blijft lichtflitsen uitzenden.

Zowel A als B zal denken dat de ander ineens (na het keerpunt) veel sneller achter elkaar lichtflitsen aan het verzenden is. Tenzij ze natuurkundig onderlegd zijn en dan zullen ze denken: “oh ja, het Doppler-effect!”.

Maar er is meer aan de hand, want de assen die tijd en afstand aangeven voor B zijn na het omkeren in een hele andere richting gaan staan (zoals de bovenstaande twee plaatjes al lieten zien). De tijd-as geeft, in het algemeen, de tijdstippen met gelijke positie weer. Oftewel, de tijd-as is de as van gelijkplaatsigheid. De afstand-as geeft, in het algemeen, de posities met gelijke tijd weer. Oftewel, de afstand-as is de as van gelijktijdigheid. De momenten van gelijktijdigheid tussen A en B zijn vlak voor en vlak na het omkeren totaal verschillend, zie het plaatje hieronder. Ik zal de tijd-assen en afstand-assen een ander kleurtje geven, zodat duidelijk wordt welke assen waarmee geassocieerd dienen te worden. Merk op dat gedurende die ene fractie van een seconde tijdens het keerpunt, wanneer B klaar is met afremmen en nog moet beginnen met gas geven (dus hij staat heel even stil ten opzichte van A), de as van gelijktijdigheid van A (de grijze lijn) gedurende dat ene moment ook de as van gelijktijdigheid van B is. Hoe neemt A het hele gebeuren waar? B gaat op reis om de volgende afstand te overbruggen: De tijd die B daarvoor nodig heeft is volgens A: Nadat deze tijd verstreken is bevindt B zich bij de ster, dat is voor A gelijktijdig met B (zie de grijze lijn in het plaatje hierboven). Voor de terugweg heeft B precies dezelfde tijd nodig: Dus A concludeert dat de tijd die voor hem verstrijkt tot de terugkeer van B gelijk is aan de som van (10) en (11): Hoe neemt B het hele gebeuren waar? Hij gaat op reis om de afstand naar de ster te overbruggen, maar die afstand ondergaat voor hem een lengtecontractie: De tijd die B daarvoor nodig heeft is volgens hemzelf: Nadat deze tijd verstreken is bevindt B zich bij de ster, dat is voor B gedurende een fractie van een seconde gelijktijdig met A (zie de grijze lijn in het plaatje hierboven, B is gestopt met afremmen en moet nog beginnen met gas geven). Voor de terugweg heeft B precies dezelfde tijd nodig: Dus B concludeert dat de tijd die voor hem verstrijkt tot zijn terugkeer bij A gelijk is aan de som van (14) en (15): Wanneer A en B elkaar uiteindelijk weer in de armen sluiten dan is hun leeftijdsverschil het verschil van vergelijking (12) (de tijd die op de klok van A verstreken is) en vergelijking (16) (de tijd die op de klok van B verstreken is): Een hele andere aanpak is de volgende. Ik noemde hiervoor al het Doppler-effect, de verandering in frequentie voor twee waarnemers die ten opzichte van elkaar bewegen: Waarbij het belangrijk is om op te merken dat β > 0 in het geval dat de waarnemers zich van elkaar verwijderen, en dat β < 0 in het geval dat de waarnemers elkaar naderen. Voor frequentie geldt dat het de reciproke is van de periodetijd: Hiermee wordt vergelijking (18): Merk op dat dit hetzelfde is als vergelijking (18), maar dan met een tekenwisseling. Ik haal de Lorentz-transformaties erbij: En ook de inverse Lorentz-transformaties: A zit thuis in zijn luie stoel en zegt “ik beweeg niet”, en daarmee wordt vergelijking (21b): B zit in zijn ruimteschip in zijn luie stoel en zegt “ik beweeg niet”, en daarmee wordt vergelijking (22b): A verzendt lichtflitsen die aan de volgende vergelijking voldoen (en ze gaan uiteraard met de lichtsnelheid c): B verzendt lichtflitsen die aan deze vergelijking voldoen: Door vergelijking (23b) gelijk te stellen aan vergelijking (24a) vind ik de snijpunten van de lichtflitsen, die A uitzendt, met de wereldlijn van B: Door vergelijking (23a) gelijk te stellen aan vergelijking (24b) vind ik de snijpunten van de lichtflitsen, die B uitzendt, met de wereldlijn van A: De vergelijkingen (25) vul ik in in de vergelijkingen (23): Uit de combinatie van de vergelijkingen (22a), (23b) en (26a) volgt: Merk op dat dit precies de Doppler-vergelijking, vergelijking (20), is. De inverse relatie van (27) is: Merk op dat dit precies de Doppler-vergelijking, vergelijking (18), is. Wanneer A iedere seconde een lichtflits uitzendt dan komt n overeen met t: Dit is voor de heenweg wel te verstaan: Tijdens de terugweg van B keren de tekens van β om: De totale tijd die voor A verstrijkt is de som van (30) en (31): De tijd die B nodig heeft, volgens zijn klok, voor de heenweg respectievelijk terugweg haal ik op uit de vergelijkingen (14) en (15): Waaruit volgt voor het leeftijdsverschil wanneer A en B elkaar weer in de armen sluiten: Precies hetzelfde resultaat als vergelijking (17) (uiteraard).

Wanneer B bij de ster arriveert, dus heel kort voor het omkeren, dan is zijn as van gelijktijdigheid als volgt. B keert weliswaar instantaan om, maar er is een infinitesimaal kort moment tijdens dat omkeren dat zijn as van gelijktijdigheid samenvalt met die van A. En direct na het omkeren is de as van gelijktijdigheid van B als volgt. Schematisch is dit het snelheidsverloop van B tijdens het instantaan omkeren. Wat er dan met zijn as van gelijktijdigheid gebeurt ziet er in een filmpje zo uit. Wordt A dan ineens (veel) ouder in dat ene moment? Nee, natuurlijk niet, dat gebeurt geleidelijk tijdens de hele reis van B. Het is ook niet zo dat B de thuisblijver A volgens de as van gelijktijdigheid ziet, hij weet slechts dat de gebeurtenissen die plaatsvinden op zijn as van gelijktijdigheid voor hem gelijktijdig plaatsvinden (lees: gelijktijdig waargenomen worden).

Dat B instantaan omkeert is natuurlijk puur theoretisch. Hoe ver is dat eigenlijk van de realiteit af? Vergelijking (4) gaf de tijd die B nodig heeft om een bepaalde snelheid te bereiken: De onderste lijn, de lichtblauwe lijn, komt overeen met een versnelling van a = 20000 m/s², dat is meer dan 2000 g (!), en zelfs dan heb je minstens een uur nodig om een fatsoenlijke snelheid op te bouwen (met fatsoenlijk bedoel ik dat je überhaupt kans maakt om ooit een ster te bereiken).

Ik doe nog een keer de berekening, maar nu met enkel en alleen de Lorentz-transformaties, dit is verreweg de duidelijkste en simpelste en meest consistente aanpak (vind ik). Hierin voeg ik de indices h en t toe voor de heenweg respectievelijk de terugweg. Dit zijn de Lorentz-transformaties voor de heenweg: Dit zijn de inverse Lorentz-transformaties voor de heenweg: De Lorentz-transformaties voor de terugweg: En de inverse Lorentz-transformaties voor de terugweg: Vervolgens bekijk ik alles vanuit B, hij zegt “ik beweeg niet”, dus in de vergelijkingen (35) tot en met (38) is x_B = 0: De tijd die voor A verstrijkt is de som van de vergelijkingen (40b) en (42b), waarbij op de terugweg zowel afstand als snelheid van teken wisselen (want B keert bij de ster aangekomen 180 graden om): De tijd die voor B verstrijkt is de som van de vergelijkingen (39b) en (41b), waarbij op de terugweg ook voor hem zowel afstand als snelheid van teken wisselen (want B keert bij de ster aangekomen 180 graden om): Waaruit nogmaals volgt voor het leeftijdsverschil wanneer A en B elkaar weer in de armen sluiten: Precies hetzelfde resultaat als de vergelijkingen (17) en (34) (uiteraard). Merk op dat vergelijking (40b) identiek is aan vergelijking (10), (42b) aan (11), (43) aan (12), (39b) aan (14), (41b) aan (15) en (44) aan (16). Toen ik de eerste keer het leeftijdsverschil uitrekende, de vergelijkingen (9) tot en met (17), heb ik alles beredeneerd en dat is altijd riskant wanneer je met relativiteitstheorie bezig bent. Nu heb ik de Lorentz-transformaties ingezet, en alleen dat, en kom ik op een puur wiskundige manier tot hetzelfde resultaat. Hier is geen enkele ruimte meer voor discussie of interpretatieverschillen, aan het resultaat van vergelijking (45) is niets af te dingen.

Wat heb ik allemaal gedaan?

• Ik heb allereerst met plaatjes (en een filmpje) stap voor stap duidelijk gemaakt wat precies de situatie is, met name wat gelijktijdig is met wat.
• Vervolgens heb ik uitgerekend dat de versnelling van B niet relevant is voor de oplossing van dit probleem.
  • Zie de vergelijkingen (1) tot en met (8).
• Ik heb het leeftijdsverschil tussen A en B uitgerekend wanneer ze elkaar aan het eind van de reis van B weer ontmoeten.
  • Methode 1, zie de vergelijkingen (9) tot en met (17).
• Ik heb nogmaals het leeftijdsverschil tussen A en B uitgerekend wanneer ze elkaar aan het eind van de reis van B weer ontmoeten, gebruik makend van Lorentz-transformaties en laten zien hoe het Doppler-effect er dan bij in komt.
  • Methode 2, zie de vergelijkingen (18) tot en met (34).
• Daarna heb ik nog het omkeermoment met plaatjes (en een filmpje) in groot detail onder de loep genomen, en ook bekeken hoe realistisch het is dat B instantaan op snelheid is en instantaan tot stilstand komt.
• Ik heb voor de derde keer het leeftijdsverschil tussen A en B uitgerekend wanneer ze elkaar aan het eind van de reis van B weer ontmoeten, gebruik makend van enkel en alleen Lorentz-transformaties, dit vind ik zelf de meest eenduidige berekening. Voor methode 1 heb ik van alles beredeneerd en dat is altijd riskant wanneer je met relativiteitstheorie bezig bent. En voor methode 2 werden er door A en B lichtstralen over en weer verzonden, en kwam er ook nog het Doppler-effect bij, dat maakt het allemaal toch een beetje rommelig (zeker als je niet goed thuis bent in deze materie). Deze derde methode, middels de Lorentz-transformaties, is verreweg het duidelijkst en de meest logische (vind ik).
  • Methode 3, zie de vergelijkingen (35) tot en met (45).

Kortom, hoe je het ook wendt of keert, de reiziger B is bij thuiskomst minder verouderd dan de thuisblijver A. Het verschil in veroudering is:

In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

Hiermee wordt vergelijking (45): Voor lage snelheden wordt dit bij goede benadering:

De factor c² geeft al wel aan dat in ‘gewone huis-tuin-en-keuken-gevallen’ het leeftijdsverschil tussen A en B totaal onmerkbaar en onmeetbaar is. Stel ik loop tien meter op en neer in huis met één meter per seconde dan hebben we het over pakweg een tiende femtoseconde (0.0000000000000001 seconde) ten opzichte van iemand die niet van z’n plaats komt. Tevens geeft die factor c² aan dat dit een relativistisch verschijnsel is dat Newtoniaans bekeken in het geheel niet bestaat (voor Newton is tijd immers absoluut, voor iedereen hetzelfde).

En in het onmogelijke geval dat B met de lichtsnelheid zou reizen wordt vergelijking (46): In dat geval veroudert A overeenkomstig de tijd die een lichtstraal nodig heeft om van de Aarde naar de ster te reizen en weer terug (bezien vanuit A), terwijl B dan terugkeert zonder ook maar één seconde ouder geworden te zijn.