Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | Christoffel-symbolen van de tweede soort bij een diagonale metriek

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

Voorbeelden van E = mc²

De pijn die je voelt wanneer je in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De Euler-Lagrange-vergelijking

De baan van een baksteen bij een zwart gat

De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)

De integralen van f (x) = sin² x/(1 + a cos x)²

De integraal van f (x) = 1/(x² (ax² + bx + c))

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De integraal van f (x) = x^m ln (ax)

De integraal van f (x) = x^p ln (ax)

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De naam van een zwart gat

De integraal van f (x) = x^p cos (ax)

De integraal van f (x) = x^p sin (ax)

Leid de Boltzmann-verdeling af

De integraal van f (x) = (ax² + bx + c) e^{− (ax² + bx + c)}

De integraal van f (x) = x² e^−ax²

Bereken de energie in een condensator

Bereken de energie in een spoel

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De afgeleide van f (x) = x!

Kabouters en de uitdijing van het heelal

De Riemann-zeta-functie

Hoe manifesteert zich ruimtetijdkromming?

Bernoulli-getallen

De faculteitsfunctie

Waarom Homo Sapiens?

De trapeziummethode

De integraal van f (x) = xⁱ

De integraal van f (x) = sin ln (ax)

De integraal van f (x) = cos ln (ax)

De integraal van f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2 (D < 0)

LaTeX symbolen: wiskundige ruimtes

Afleiding van de energie-impuls-relatie

De reis naar de werkelijkheid van Rolando Toro

De Excel bestanden die gebruikt zijn voor deze website

De Python code van deze website

De Natuur spreekt: Het Woud

De Natuur spreekt: De Golf

Het probleem van de gevangenen

Mijn nieuwe fiets

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub Gℏc

Natuurkundeclub Gℏc (openbare pagina)

Natuurkundeclub Gℏc (besloten pagina)

Stamboom Contact

Christoffel-symbolen van de tweede soort bij een diagonale metriek

Welke Christoffel-symbolen van de tweede soort worden nul wanneer de metrische tensor diagonaal is? Ga uit van een vierdimensionale ruimte.

Dit is de metrische tensor:

Dat een tensor diagonaal is wil zeggen dat alle componenten, behalve die op de hoofddiagonaal, nul zijn:

De definitie van de Christoffel-symbolen van de eerste soort is:

En de definitie van de Christoffel-symbolen van de tweede soort is:

Over de index α moet gesommeerd worden:

Door (3) in te vullen in (4) krijg ik:

Omdat vergelijking (6) zowel covariante componenten als contravariante componenten van de metrische tensor in zich heeft is het belangrijk om op te merken dat indien de covariante versie van de metrische tensor diagonaal is, dat de contravariante versie dat dan ook is (zie het vorige vraagstuk). Met andere woorden, indien een covariante component nul is dan is de contravariante component dat ook (en vice versa, voor een diagonale tensor):

Een Christoffel-symbool heeft drie indices en in een vierdimensionale ruimte bestaan er dus 4³ = 64 Christoffel-symbolen. Ik ga ze allemaal uitschrijven:

Vervolgens ga ik de componenten uit de metrische tensor van de vergelijkingen (2) en (7) invullen en de nul-termen laat ik gelijk weg:

De laatste stap is om termen samen te nemen en haakjes weg te werken. De Christoffel-symbolen die nul zijn laat ik vanaf nu weg uit de lijst:

Zo zijn er dus van de 64 oorspronkelijke Christoffel-symbolen nog 40 over. Merk op dat:

Inhoudelijk zijn er in essentie nog maar 28 verschillende Christoffel-symbolen over.

Door naar het volgende vraagstuk: anti-symmetrie in de Riemann-tensor

Terug naar het vorige vraagstuk: de diagonale metrische tensor, covariant en contravariant

Naar de overzichtspagina met vraagstukken

De integraal van
f (x) = x²/(a² − x²)

De integraal van
f (x) = x³/(e^x − 1)

De integraal van
f (x) = x³/(e^x − 1)

De integraal van
f (x) = x¹⁰ e^−ax²

De integralen van
f (x) = xⁿ/(a² − x²)^3/2

Vectoren, vraagstuk 54

Vectoren, vraagstuk 92

Tabel met Taylor-reeksen

De Taylor-reeks van
f (x) = 1/(a − x)

De stelling van Gauss

Relativiteitstheorie

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 14

De transformatievergelijkingen voor impuls

Wat maakt een zwart gat tot een zwart gat?

De omtrek van een planeetbaan

De energie in een spoel

De illusie dat ik weet wat goed is voor anderen

Reizigers naar de werkelijkheid

De Natuur spreekt: Home/Thuis

Natuurkundeclub Gℏc

Voorbeelden van E = mc²

De pijn die je voelt wanneer je in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De Euler-Lagrange-vergelijking

De baan van een baksteen bij een zwart gat

De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)

De integralen van f (x) = sin² x/(1 + a cos x)²

De integraal van f (x) = 1/(x² (ax² + bx + c))

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

Naar de overzichtspagina wiskunde

Naar de overzichtspagina natuurkunde

Naar de overzichtspagina filosofie

Doneer enkele euro’s

Wetenschappelijke boeken te koop

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2024