Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | Christoffel-symbolen van de tweede soort bij een diagonale metriek

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

De Taylor-reeksen van f (x) = b^±ax

De functie f (x) = a^x − x^a

De integralen van f (x) = tanⁿ (ax)

Ze zijn er niet

De Taylor-reeks van f (x) = 1/(1 − a² cos² x)^1/2

De Taylor-reeks van f (x) = (1 − a² cos² x)^1/2

Samenvatting van de holomorfietabel van complexe functies

1000 doden per minuut

Integreren van complexe functies

Holomorfietabel van complexe functies

Differentiëren van complexe functies

Definities en eigenschappen van complexe getallen

Machten van x neutraliseren middels de gammafunctie

De gammafunctie (functiewaarden)

De gammafunctie

Het explosieve einde van een zwart gat

De verdamptijd van een zwart gat

Een simpele afleiding van de Hawking-straling

Waar begint de spaghettificatie?

De kans op buitenaards leven

De oppervlaktezwaartekracht van een zwart gat

Een simpele afleiding van de Unruh-temperatuur

Wij en buitenaards leven

Voorbeelden van E = mc²

De pijn die je voelt wanneer je in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De Euler-Lagrange-vergelijking

De baan van een baksteen bij een zwart gat

De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)

De integralen van f (x) = sin² x/(1 + a cos x)²

De integraal van f (x) = 1/(x² (ax² + bx + c))

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De integraal van f (x) = x^m ln (ax)

De integraal van f (x) = x^p ln (ax)

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De naam van een zwart gat

De integraal van f (x) = x^p cos (ax)

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

Christoffel-symbolen van de tweede soort bij een diagonale metriek

Welke Christoffel-symbolen van de tweede soort worden nul wanneer de metrische tensor diagonaal is? Ga uit van een vierdimensionale ruimte.

Dit is de metrische tensor:

Dat een tensor diagonaal is wil zeggen dat alle componenten, behalve die op de hoofddiagonaal, nul zijn:

De definitie van de Christoffel-symbolen van de eerste soort is:

En de definitie van de Christoffel-symbolen van de tweede soort is:

Over de index α moet gesommeerd worden:

Door (3) in te vullen in (4) krijg ik:

Omdat vergelijking (6) zowel covariante componenten als contravariante componenten van de metrische tensor in zich heeft is het belangrijk om op te merken dat indien de covariante versie van de metrische tensor diagonaal is, dat de contravariante versie dat dan ook is (zie het vorige vraagstuk). Met andere woorden, indien een covariante component nul is dan is de contravariante component dat ook (en vice versa, voor een diagonale tensor):

Een Christoffel-symbool heeft drie indices en in een vierdimensionale ruimte bestaan er dus 4³ = 64 Christoffel-symbolen. Ik ga ze allemaal uitschrijven:

Vervolgens ga ik de componenten uit de metrische tensor van de vergelijkingen (2) en (7) invullen en de nul-termen laat ik gelijk weg:

De laatste stap is om termen samen te nemen en haakjes weg te werken. De Christoffel-symbolen die nul zijn laat ik vanaf nu weg uit de lijst:

Zo zijn er dus van de 64 oorspronkelijke Christoffel-symbolen nog 40 over. Merk op dat:

Inhoudelijk zijn er in essentie nog maar 28 verschillende Christoffel-symbolen over.

Door naar het volgende vraagstuk: anti-symmetrie in de Riemann-tensor

Terug naar het vorige vraagstuk: de diagonale metrische tensor, covariant en contravariant

Overzichtspagina met vraagstukken

De integraal van
f (x) = x²/(a² + x²)

De integraal van
f (x) = 1/sin⁶ (ax)

De integraal van
f (x) = arcsin (ax)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De integralen van
f (x) = 1/(a² ± x²)ⁿ

Vectoren, vraagstuk 3

Vectoren, vraagstuk 48

Vectoren, vraagstuk 93

Tabel met Taylor-reeksen

De Taylor-reeks van
f (x) = (1 − a² sin² x)^1/2

Fourier-analyse

Holomorfie van de functie
f (z) = z z^*

Integreren van complexe functies

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 13

Afleiding van de Schwarzschild-oplossing

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

Het Casimir-effect

Als je je hart laat spreken én je luistert, wat hoor je dan?

De illusie dat het allemaal niet zo’n vaart zal lopen

De Natuur spreekt: Home/Thuis

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

De Taylor-reeksen van f (x) = b^±ax

De functie f (x) = a^x − x^a

De integralen van f (x) = tanⁿ (ax)

Overzichtspagina wiskunde

Overzichtspagina natuurkunde

Overzichtspagina filosofie

Doneer enkele euro’s

Wetenschappelijke boeken te koop

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2025