Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | Christoffel-symbolen van de tweede soort bij een diagonale metriek

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

De minimale straal van een holle bol

Een planeettijdreismachine

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

De Einstein-Rosen-brug

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De buitenkant van een wormgat

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Het waarneembare universum

Wat is een wormgat?

Het traagheidsmoment van twee hemellichamen

De tweelingparadox

De energie van zwaartekrachtgolven

Een dag zonder verjaardagen

Het vermogen van zwaartekrachtgolven

Tijdsvertraging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Tijdsvertraging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal volgens Einstein

De integralen van
f (x) = xⁿ/(a² + x²)^5/2

Een andere manier van leven

Een reeks afsplitsen van een functie

Afbuiging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Bewerkingen met reeksen

De Taylor-reeksen van
f (x) = x/(a ± x)²

De integralen van
f (x) = 1/((x + a)ⁿ (x² − a²))^1/2)

De integralen van
f (x) = cos^m (ax)/(1 + cos (ax))ⁿ

De integralen van
f (x) = (x²/(a² − x²))ⁿ

De massa van de atmosfeer

Hyper-Catalan-getallen

Een ontmoeting met aliens

Catalan-getallen

De Taylor-reeks van
f (x) = ln x

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = oneven)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = oneven)

De geodetische lijn van een lichtstraal bij een massa

De integralen van
f (x) = xⁿ/(x − a)

De integraal van
f (x) = 1/ln (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁵ (ax)

Een botsing met een zandkorrel

De opwarming van de Aarde

De integraal van
f (x) = cot¹⁰ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁸ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁶ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁴ (ax)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De gammafunctie

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

De contourintegraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

Holomorfie van de functie f (z) = z^p

Het grote filter

De integraal van
f (x) = tan⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁵ (ax)

Het getal e met een miljoen decimalen

De complete complementaire elliptische integraal van de derde soort

De complete complementaire elliptische integraal van de tweede soort

De complete complementaire elliptische integraal van de eerste soort

De complementaire elliptische integraal van de derde soort (vereenvoudigde vorm)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De contourintegraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De integraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

Contourintegralen

Integreren van complexe functies

Het spectrum van een zwart gat

De convergentie van een reeks

De Taylor-reeks van
f (x) = arctan (ax)

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van
f (x) = sin (ax)/x

De integraal van
f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

De Taylor-reeksen van
f (x) = b^±ax

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

Christoffel-symbolen van de tweede soort bij een diagonale metriek

Welke Christoffel-symbolen van de tweede soort worden nul wanneer de metrische tensor diagonaal is? Ga uit van een vierdimensionale ruimte.

Vergelijking

Dit is de metrische tensor:

Vergelijking

Dat een tensor diagonaal is wil zeggen dat alle componenten, behalve die op de hoofddiagonaal, nul zijn:

Vergelijking

Christoffel

De definitie van de Christoffel-symbolen van de eerste soort is:

Vergelijking

En de definitie van de Christoffel-symbolen van de tweede soort is:

Vergelijking

Over de index α moet gesommeerd worden:

Vergelijking

Door (3) in te vullen in (4) krijg ik:

Vergelijking

Omdat vergelijking (6) zowel covariante componenten als contravariante componenten van de metrische tensor in zich heeft is het belangrijk om op te merken dat indien de covariante versie van de metrische tensor diagonaal is, dat de contravariante versie dat dan ook is (zie deze pagina). Met andere woorden, indien een covariante component nul is dan is de contravariante component dat ook (en vice versa, voor een diagonale tensor):

Vergelijking

Een Christoffel-symbool heeft drie indices en in een vierdimensionale ruimte bestaan er dus 4³ = 64 Christoffel-symbolen. Ik ga ze allemaal uitschrijven:

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vervolgens ga ik de componenten uit de metrische tensor van de vergelijkingen (2) en (7) invullen en de nul-termen laat ik gelijk weg:

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

De laatste stap is om termen samen te nemen en haakjes weg te werken. De Christoffel-symbolen die nul zijn laat ik vanaf nu weg uit de lijst:

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Zo zijn er dus van de 64 oorspronkelijke Christoffel-symbolen nog 40 over. Merk op dat:

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Vergelijking

Inhoudelijk zijn er in essentie nog maar 28 verschillende Christoffel-symbolen over.

Miniatuur

Door naar het volgende vraagstuk: anti-symmetrie in de Riemann-tensor

Miniatuur

Terug naar het vorige vraagstuk: de diagonale metrische tensor, covariant en contravariant

Miniatuur

Overzichtspagina met vraagstukken

Miniatuur

De integraal van
f (x) = x³/(a² + x²)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/sin⁵ (ax)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = arccos (ax)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = sin² x/(1 + a cos x)²

Miniatuur

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Miniatuur

De integralen van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

Miniatuur

De integralen van
f (x) = xⁿ ∙ 1/(a² ± x²)^3/2

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 24

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 69

Miniatuur

Uitschrijven van de sommatieconventie

Miniatuur

De Taylor-reeks van
f (x) = (1 − x²)^1/2

Miniatuur

Tabellen met Taylor-reeksen

Miniatuur

Lijnen trekken door negen punten

Miniatuur

De gammafunctie

Miniatuur

Holomorfie van de functie
f (z) = Σ a_nzⁿ

Miniatuur

Relativiteitstheorie rekenkundig, hoofdstuk 2: de lichtsnelheid

Miniatuur

De snelheid van een meertrapsraket

Miniatuur

Optellen van snelheden zonder invariantie van de lichtsnelheid

Miniatuur

De tweelingparadox

Miniatuur

Het Casimir-effect

Miniatuur

Als je je hart laat spreken én je luistert, wat hoor je dan?

Miniatuur

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

Miniatuur

Miniatuur

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

Miniatuur

Miniatuur

De minimale straal van een holle bol

Miniatuur

Een planeettijdreismachine

Miniatuur

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Miniatuur

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Miniatuur

Getijdenkrachten

Miniatuur

Zijn wij vroeg of laat?

Miniatuur

Overzichtspagina wiskunde

Miniatuur

Overzichtspagina natuurkunde

Miniatuur

Overzichtspagina filosofie

Miniatuur

Doneer enkele euro’s

Miniatuur

Wetenschappelijke boeken te koop

Miniatuur

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2026