Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie

De astroïde

De astroïde is, in parametervorm, als volgt gegeven:

De grafiek van f (x (t), y (t)) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De uiterste waarden op de x-as bevinden zich bij y = 0:

Waaruit volgt voor x:

De uiterste waarden op de y-as bevinden zich bij x = 0:

Waaruit volgt voor y:

De punten van de astroïde bevinden zich dus bij (a, 0), (0, a), (−a, 0) en (0, −a). Daaruit volgt dat de lange diameter van de astroïde, van punt tot punt, gelijk is aan: d₁ = 2a.

Precies tussen de punten is de diameter het kleinst. Die punten vormen het snijpunt met de lijn y = x, dus ik kan de vergelijkingen (1) aan elkaar gelijk stellen:

De x-waarden (en dus ook de y-waarden) die hierbij horen zijn:

De afstand tot de oorsprong van deze punten is:

De korte diameter van de astroïde, van bocht tot bocht, is het dubbele hiervan: d₂ = a.

Ik ga de afgeleiden bepalen:

De grafiek van f' (x' (t), y' (t)) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

Vervolgens ga ik de booglengte berekenen:

Met behulp van de afgeleiden die ik net bepaald heb wordt dat:

Wanneer ik mij dan richt op de booglengte in het eerste kwadrant kom ik tot dit resultaat:

De totale omtrek van de astroïde verkrijg ik door met vier te vermenigvuldigen: s = 6a.

Ik ga de raaklijn bepalen in een willekeurig punt P van de astroïde:

De groene lijn is een raaklijn in het punt P

De richtingscoëfficiënt p vormt zich uit de afgeleiden in het punt P:

Door de coördinaten van het punt P in te vullen kan ik q bepalen:

Aldus wordt de vergelijking van de raaklijn:

Vervolgens ga ik de snijpunten van de raaklijn met de beide assen bepalen. Voor het snijpunt met de x-as geldt y = 0, en voor het snijpunt met de y-as geldt x = 0:

Tenslotte reken ik de afstand uit tussen deze beide snijpunten:

Het maakt niet uit waar ik mijn punt P kies, de afstand tussen de snijpunten van de raaklijn met de beide assen is altijd gelijk aan a. Dat is toch wel bijzonder.

De afstand AB is altijd gelijk aan a

Bij de astroïde doet de omstandigheid zich voor dat de parameter t te elimineren is:

Ik ga nogmaals de afgeleide bepalen:

Nu wordt het een herhaling van zetten, ik ga weer de raaklijn bepalen in een willekeurig punt P van de astroïde:

De richtingscoëfficiënt p vormt zich uit de afgeleide in het punt P:

Door de coördinaten van het punt P in te vullen kan ik q bepalen:

Aldus wordt de vergelijking van de raaklijn:

Vervolgens ga ik de snijpunten van de raaklijn met de beide assen bepalen. Voor het snijpunt met de x-as geldt y = 0, en voor het snijpunt met de y-as geldt x = 0:

En ik reken de afstand uit tussen deze beide snijpunten:

Via een hele andere route krijg ik (uiteraard) hetzelfde antwoord, de afstand tussen de snijpunten van de raaklijn met de beide assen is altijd gelijk aan a.

Vergelijking (19b) stelt mij in staat de oppervlakte uit te rekenen (van één kwadrant):

De oplossing van de integraal van (1 − (x/a)^2/3)^3/2 zoek ik op in de tabel met integralen:

De totale oppervlakte van de astroïde verkrijg ik door A met vier te vermenigvuldigen:

Ik bepaal ook de tweede afgeleiden:

De grafiek van f'' (x'' (t), y'' (t)) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

Dit stelt mij in staat om de kromming te bepalen:

Alle ingrediënten heb ik beschikbaar en kan ik zo invullen:

In de laatste stap ben ik van teken gewisseld, omdat er in de afleiding van de kromming het kwadraat genomen wordt van dx/dt waardoor het antwoord van teken moet wisselen (in dit geval, want dx/dt is negatief). De kromtestraal is de reciproke van de kromming:

En die wordt dan:

De kromming kan ik ook uitrekenen zonder de parameter t:

Dan moet ik eerst de tweede afgeleide bepalen van y als functie van x:

Hiermee wordt de kromming:

En de kromtestraal:

De grafiek van κ (x) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De grafiek van ρ (x) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

Ik ga vergelijking (32), de kromming met parameter t, omschrijven naar x en y:

Hetgeen overeenkomt met vergelijking (37), hetzelfde antwoord via een andere route.

Alles samengevat:

Astroïde
Lange diameter
Korte diameter
Omtrek
Oppervlakte
Kromming
Kromtestraal