De integraal van
f (x) = 1/(ax2 + bx + c)

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(ax2 + bx + c)

De grafiek van f (x) = 1/(ax2 + bx + c) voor a = 1, b = 1, c = 1 (de rode lijn),
a = 2, b = 2, c = 2 (de groene lijn) en a = 3, b = 3, c = 3 (de blauwe lijn)
Deze integraal ga ik oplossen als contourintegraal. Om te beginnen hevel ik mijn probleem over naar het complexe vlak en dat doe ik door simpelweg iedere x in het functievoorschrift te vervangen door een z:
Ik ga een plaatje maken van f (z) en daarom ga ik de functie eerst anders opschrijven:

De grafiek van f (z) = 1/(az2 + bz + c) voor a = 1, b = 1, c = 1
Ik maak de grafiek nog een keer, maar dan met eenheidsvectoren, dat ziet er wat duidelijker uit.




De grafiek van f (z) = 1/(az2 + bz + c) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 1, c = 1
Ik zoek de functie op in de holomorfietabel van complexe functies en ik vind dat de functie overal holomorf is, behalve voor z = p1 en z = p2 (de beide polen):

Er zijn dus twee polen en die teken ik erbij in de grafiek. Voor a = 1, b = 1 en c = 1 bevinden de polen zich op −0.5 + 0.866 i en −0.5 − 0.866 i.

De grafiek van f (z) = 1/(az2 + bz + c) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 1, c = 1
en de beide polen (de blauwe stippen)
Vervolgens ga ik een contour aanleggen en een onderdeel daarvan moet zijn van x = −∞ tot x = +∞, want dat is immers de probleemstelling waar ik mee begon.

De grafiek van f (z) = 1/(az2 + bz + c) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 1, c = 1,
de beide polen (de blauwe stippen)
en het contour van x = −∞ tot x = +∞ (de rode lijn)
Nu moet ik het contour nog wel sluiten en dat doe ik met een halve cirkel die de beide uiteinden van het contour van x = −∞ tot x = +∞ met elkaar verbindt.

De grafiek van f (z) = 1/(az2 + bz + c) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 1, c = 1,
de beide polen (de blauwe stippen)
en het gesloten contour (de rode lijn)
De contourintegraal wordt dan:

Cauchy

Volgens de Cauchy-residustelling geldt:

Waarbij voor het residu geldt:
Hiermee kan ik het linkerlid van de contourintegraal omschrijven als volgt:
De eerste term van het rechterlid is mijn oorspronkelijke probleem:
Dan rest mij nog om de laatste term aan te pakken:
Omdat z over het hele contour γ2 oneindig is mag ik schrijven:
Voor z kan ik schrijven (met r een oneindige constante):
Hiermee wordt de vorige vergelijking:
Ik vond voor de beide polen:

De pool p1 wordt omsloten door het contour en daarom ga ik die pool buiten de functie brengen:
Waaruit volgt:
Hetgeen mij bij het eindantwoord brengt:
Hier is nog wel een kanttekening op zijn plaats, want ik ben er zomaar vanuitgegaan dat p1 de pool is boven de x-as en p2 de pool onder de x-as. Dit deed ik, omdat bij het imaginaire deel van p1 een plusteken staat en bij het imaginaire deel van p2 een minteken. Echter, dat is alleen waar wanneer a > 0, want indien a < 0 dan ligt p1 onder de x-as en p2 boven de x-as. Met andere woorden: wanneer a < 0 dan wisselt het antwoord van teken en dat moet ik wel aangeven: