Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De integraal van<br>f (x) = 1/(ax^2 + bx + c)

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De grafiek van f (x) = 1/(ax² + bx + c) voor a = 1, b = 1, c = 1 (de rode lijn),
a = 2, b = 2, c = 2 (de groene lijn) en a = 3, b = 3, c = 3 (de blauwe lijn)

Deze integraal ga ik oplossen als contourintegraal. Om te beginnen hevel ik mijn probleem over naar het complexe vlak en dat doe ik door simpelweg iedere x in het functievoorschrift te vervangen door een z:

Ik ga een plaatje maken van f (z) en daarom ga ik de functie eerst anders opschrijven:

De grafiek van f (z) = 1/(az² + bz + c) voor a = 1, b = 1, c = 1

Ik maak de grafiek nog een keer, maar dan met eenheidsvectoren, dat ziet er wat duidelijker uit.

De grafiek van f (z) = 1/(az² + bz + c) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 1, c = 1

Ik zoek de functie op in de holomorfietabel van complexe functies en ik vind dat de functie overal holomorf is, behalve voor z = p₁ en z = p₂ (de beide polen):

Er zijn dus twee polen en die teken ik erbij in de grafiek. Voor a = 1, b = 1 en c = 1 bevinden de polen zich op −0.5 + 0.866 i en −0.5 − 0.866 i.

De grafiek van f (z) = 1/(az² + bz + c) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 1, c = 1
en de beide polen (de blauwe stippen)

Vervolgens ga ik een contour aanleggen en een onderdeel daarvan moet zijn van x = −∞ tot x = +∞, want dat is immers de probleemstelling waar ik mee begon.

De grafiek van f (z) = 1/(az² + bz + c) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 1, c = 1,
de beide polen (de blauwe stippen)
en het contour van x = −∞ tot x = +∞ (de rode lijn)

Nu moet ik het contour nog wel sluiten en dat doe ik met een halve cirkel die de beide uiteinden van het contour van x = −∞ tot x = +∞ met elkaar verbindt.

De grafiek van f (z) = 1/(az² + bz + c) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 1, c = 1,
de beide polen (de blauwe stippen)
en het gesloten contour (de rode lijn)

De contourintegraal wordt dan:

Cauchy

Volgens de Cauchy-residustelling geldt:

Waarbij voor het residu geldt:

Hiermee kan ik het linkerlid van de contourintegraal omschrijven als volgt:

De eerste term van het rechterlid is mijn oorspronkelijke probleem:

Dan rest mij nog om de laatste term aan te pakken:

Omdat z over het hele contour γ₂ oneindig is mag ik schrijven:

Voor z kan ik schrijven (met r een oneindige constante):

Hiermee wordt de vorige vergelijking:

Ik vond voor de beide polen:

De pool p₁ wordt omsloten door het contour en daarom ga ik die pool buiten de functie brengen:

Waaruit volgt:

Hetgeen mij bij het eindantwoord brengt:

Hier is nog wel een kanttekening op zijn plaats, want ik ben er zomaar vanuitgegaan dat p₁ de pool is boven de x-as en p₂ de pool onder de x-as. Dit deed ik, omdat bij het imaginaire deel van p₁ een plusteken staat en bij het imaginaire deel van p₂ een minteken. Echter, dat is alleen waar wanneer a > 0, want indien a < 0 dan ligt p₁ onder de x-as en p₂ boven de x-as. Met andere woorden: wanneer a < 0 dan wisselt het antwoord van teken en dat moet ik wel aangeven:

De integraal vanf (x) = 1/(ax2 + bx + c)

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)