De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax2 + bx + c)

Trefwoorden/keywords: contourintegraal/contourintegral, integreren/integrate, f (x) = 1/(ax2 + bx + c)

De grafiek van f (x) = 1/(ax2 + bx + c) voor a = 1, b = 1, c = 1 (de rode lijn),
a = 2, b = 2, c = 2 (de groene lijn) en a = 3, b = 3, c = 3 (de blauwe lijn)
Deze integraal ga ik oplossen als contourintegraal. Zoals gebruikelijk begin ik door mijn probleem over te hevelen naar het complexe vlak en dat doe ik door simpelweg iedere x in het functievoorschrift te vervangen door een z:
Ik ga een plaatje maken van f (z) en daarom ga ik de functie eerst anders opschrijven:

De grafiek van f (z) = 1/(az2 + bz + c) voor a = 1, b = 1, c = 1
Ik maak de grafiek nog een keer, maar dan met eenheidsvectoren, dat ziet er wat duidelijker uit.




De grafiek van f (z) = 1/(az2 + bz + c) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 1, c = 1
Ik zoek de functie op in de holomorfietabel van complexe functies en ik vind dat de functie overal holomorf is, behalve voor z = p1 en z = p2 (de beide polen, daar waar de noemer van de functie nul wordt):

Er zijn dus twee polen en die teken ik erbij in de grafiek. Voor a = 1, b = 1 en c = 1 bevinden de polen zich op −0.5 + 0.866 i en −0.5 − 0.866 i.

De grafiek van f (z) = 1/(az2 + bz + c) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 1, c = 1
en de beide polen (de blauwe stippen)
Vervolgens ga ik een contour aanleggen en een onderdeel daarvan moet zijn van x = −∞ tot x = +∞, want dat is immers de probleemstelling waar ik mee begon.

De grafiek van f (z) = 1/(az2 + bz + c) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 1, c = 1,
de beide polen (de blauwe stippen)
en het contour van x = −∞ tot x = +∞ (de rode lijn)
Nu moet ik het contour nog wel sluiten (want om redenen die weldra duidelijk worden wil ik graag een gesloten contour) en dat doe ik met een halve cirkel die de beide uiteinden van het contour van x = +∞ tot x = −∞ met elkaar verbindt.

De grafiek van f (z) = 1/(az2 + bz + c) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 1, c = 1,
de beide polen (de blauwe stippen)
en het gesloten contour (de rode lijn)
De contourintegraal is de som van de integralen over alle deelcontouren:

Cauchy

Volgens de Cauchy-residustelling geldt:

Waarbij voor het residu geldt:
Hiermee wordt het linkerlid van de contourintegraal:
De eerste term van het rechterlid is mijn oorspronkelijke probleem (want voor dat deel van het contour is het imaginaire deel nul en geldt dus dat z = x):
Dan rest mij nog om de laatste term aan te pakken:
Omdat z over het hele contour γ2 oneindig is mag ik schrijven:
Voor z kan ik schrijven (met r een oneindige constante, en φ varieert van 0 tot π):
Hiermee wordt de vorige vergelijking:
De bijdrage aan de integraal van het contour γ2 is dus nul.

Ik vond voor de beide polen:

De pool p1 wordt omsloten door het contour en daarom ga ik die pool buiten de functie brengen:
Waaruit volgt:
Hetgeen mij bij het eindantwoord brengt:
Hier is nog wel een kanttekening op zijn plaats, want ik ben er zomaar vanuitgegaan dat p1 de pool is boven de x-as en p2 de pool onder de x-as. Dit deed ik, omdat bij het imaginaire deel van p1 een plusteken staat en bij het imaginaire deel van p2 een minteken. Echter, dat is alleen waar wanneer a > 0, want indien a < 0 dan ligt p1 onder de x-as en p2 boven de x-as. Met andere woorden: wanneer a < 0 dan wisselt het antwoord van teken en dat moet ik wel aangeven: