De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax2 + bx + c)
Trefwoorden/keywords: contourintegraal/contourintegral, integreren/integrate, f (x) = 1/(ax2 + bx + c)

De grafiek van f (x) = 1/(ax
2 + bx + c) voor a = 1, b = 1, c = 1 (de rode lijn),
a = 2, b = 2, c = 2 (de groene lijn) en a = 3, b = 3, c = 3 (de blauwe lijn)
Deze
integraal ga ik oplossen als
contourintegraal.
Zoals gebruikelijk begin ik door mijn probleem over te hevelen naar het
complexe vlak en dat doe ik door
simpelweg iedere x in het functievoorschrift te vervangen door een z:
Ik ga een plaatje maken van f (z) en daarom ga ik de functie eerst anders opschrijven:

De grafiek van f (z) = 1/(az
2 + bz + c) voor a = 1, b = 1, c = 1
Ik maak de grafiek nog een keer, maar dan met
eenheidsvectoren, dat ziet er wat duidelijker uit.

De grafiek van f (z) = 1/(az
2 + bz + c) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 1, c = 1
Ik zoek de functie op in de
holomorfietabel van complexe functies
en ik vind dat de functie overal
holomorf is, behalve
voor z = p
1 en z = p
2 (de beide
polen,
daar waar de noemer van de functie nul wordt):
Er zijn dus twee
polen
en die teken ik erbij in de grafiek.
Voor a = 1, b = 1 en c = 1 bevinden de
polen
zich op −0.5 + 0.866 i en −0.5 − 0.866 i.

De grafiek van f (z) = 1/(az
2 + bz + c) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 1, c = 1
en de beide
polen (de blauwe stippen)
Vervolgens ga ik een
contour aanleggen en een onderdeel
daarvan moet zijn van x = −∞ tot x = +∞, want dat is immers de probleemstelling waar ik mee begon.

De grafiek van f (z) = 1/(az
2 + bz + c) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 1, c = 1,
de beide
polen (de blauwe stippen)
en het
contour van x = −∞ tot x = +∞
(de rode lijn)
Nu moet ik het
contour nog wel sluiten (want om
redenen die weldra duidelijk worden wil ik graag een
gesloten contour) en dat doe ik met een
halve cirkel die de beide uiteinden van het
contour
van x = +∞ tot x = −∞ met elkaar verbindt.

De grafiek van f (z) = 1/(az
2 + bz + c) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 1, c = 1,
de beide
polen (de blauwe stippen)
en het
gesloten contour (de rode lijn)
De
contourintegraal is de som van de
integralen over alle
deel
contouren:
Volgens de Cauchy-residustelling
geldt:
Waarbij voor het residu geldt:
Hiermee wordt het linkerlid van de
contourintegraal:
De eerste term van het rechterlid is mijn oorspronkelijke probleem (want voor dat deel van het
contour is het
imaginaire deel nul en geldt dus dat z = x):
Dan rest mij nog om de laatste term aan te pakken:
Omdat z over het hele
contour γ
2
oneindig is mag ik schrijven:
Voor z kan ik schrijven (met r een oneindige constante, en φ varieert van 0 tot π):
Hiermee wordt de vorige vergelijking:
De bijdrage aan de
integraal van het
contour γ
2 is dus nul.
Ik vond voor de beide
polen:
De
pool p
1 wordt omsloten door het
contour en daarom ga ik die
pool buiten de functie brengen:
Waaruit volgt:
Hetgeen mij bij het eindantwoord brengt:
Hier is nog wel een kanttekening op zijn plaats, want ik ben er zomaar vanuitgegaan dat p
1 de
pool is boven de x-as en p
2 de
pool onder de x-as.
Dit deed ik, omdat bij het
imaginaire deel van
p
1 een plusteken staat en bij het
imaginaire
deel van p
2 een minteken.
Echter, dat is alleen waar wanneer a > 0, want indien a < 0 dan ligt p
1 onder de x-as en p
2
boven de x-as.
Met andere woorden: wanneer a < 0 dan wisselt het antwoord van teken en dat moet ik wel aangeven: