Vaak wordt een functie beschreven als: Maar om verschillende redenen kan het handig zijn, of zelfs noodzakelijk, om een hulpvariabele of parameter erbij te betrekken. De functiebeschrijving wordt dan als volgt (in dit geval met gebruik van de parameter t): In dergelijke gevallen zeggen we dat de functie gegeven is in parametervorm. Wanneer we doelbewust dit proces ingaan dan spreken we over het parametriseren van een functie. Dit is een voorbeeld van een functie in parametervorm: Als je dit tekent dan krijg je een astroïde: In dit voorbeeld is de parameter t op zich niet noodzakelijk, want we kunnen t uitdrukken als functie van x: En dit kunnen we invullen in de functiebeschrijving van y: Zo zijn we de parameter t kwijtgeraakt, maar geef toe dat deze laatste vergelijking er niet zo aantrekkelijk uitziet. En er zijn genoeg gevallen waarbij het sterk gewenst is, of noodzakelijk is, om over te gaan op een functie in parametervorm. Een geparametriseerde functie is uiteraard ook te differentiëren: Het volgende onderwerp dat ik aan wil snijden is booglengte. Stel, ik heb een bepaalde functie y = f (x) (waarvan ik hier maar een stukje getekend heb): Ik kies vervolgens twee punten, A en B, die ik verbind middels een rechte lijn, een koorde. Laat ik ook even wat afstanden aangeven:

De horizontale afstand tussen A en B is ∆x, de verticale afstand tussen A en B is ∆y en de lengte van de koorde is ∆s. Dan geldt volgens de stelling van Pythagoras:

En als ik dan vervolgens ∆x en ∆y infinitesimaal klein laat worden ontstaat: In dit geval dat dx en dy infinitesimaal klein zijn valt de koorde ds samen met de kromme en is ds de lengte van dat hele kleine stukje kromme. De volgende stap is dan uiteraard om al die stukjes ds samen te nemen, door te integreren, waaruit dan de booglengte van de kromme ontstaat: Voor een geparametriseerde functie is de afleiding als volgt: Nu ga ik dit verhaal over booglengte knopen aan het verhaal over het parametriseren van functies. Voor het parametriseren van een functie mag ik met een willekeurige parameter aan komen zetten. Stel ik heb de volgende functie: En vervolgens introduceer ik de parameter t: Dit is niet echt bijzonder, maar ik kan ook het volgende doen: Wanneer ik nu 1 eenheid t ‘verder ga’, dan komt dat overeen met 0.1 eenheid x (x = 10t, dus t = 0.1x). Je zou kunnen zeggen dat ik kleinere stapjes geïntroduceerd heb, stapjes die 10 maal zo klein zijn. En zo kan ik van alles bedenken om te gebruiken als parameter. Ik zou ook de booglengte s als parameter kunnen gebruiken! Hoe moet je je dat voorstellen? Laten we eens uitgaan van de volgende functie, een parabool: De afgeleide hiervan is: En daarmee wordt de booglengte: Voor het oplossen van deze integraal heb ik gebruik gemaakt van de tabel met integralen.

Nu kan ik voor iedere waarde van x de functiewaarde y (vergelijking (31)) en de booglengte s (vergelijking (33)) uitrekenen en dat ziet er dan zo uit:

x	y	s
0.000	0.000	0.000
1.000	0.500	1.148
2.000	2.000	2.958
3.000	4.500	5.653
4.000	8.000	9.294
5.000	12.500	13.904
6.000	18.000	19.494
7.000	24.500	26.071
8.000	32.000	33.637
9.000	40.500	42.196
10.000	50.000	51.748
Tabel 1

In de bovenstaande tabel bepaalt x eigenlijk het ‘marstempo’, maar ik kan dat natuurlijk ook door y laten bepalen (y = 0.5x², dus x = √(2y)).

x	y	s
0.000	0.000	0.000
1.414	1.000	1.798
2.000	2.000	2.958
2.449	3.000	4.055
2.828	4.000	5.124
3.162	5.000	6.178
3.464	6.000	7.223
3.742	7.000	8.261
4.000	8.000	9.294
4.243	9.000	10.323
4.472	10.000	11.349
Tabel 2

En de derde variant is uiteraard dat ik s gebruik als parameter:

x	y	s
0.000	0.000	0.000
0.893	0.398	1.000
1.528	1.167	2.000
2.019	2.038	3.000
2.429	2.950	4.000
2.787	3.883	5.000
3.108	4.830	6.000
3.402	5.786	7.000
3.674	6.748	8.000
3.928	7.715	9.000
4.168	8.686	10.000
Tabel 3

Wanneer ik de booglengte s als parameter gebruik dan wordt de kromme zelf, in dit voorbeeld de parabool, een soort flexibele as waar overal markeringsstreepjes staan telkens als ik 1 eenheid s verder ga. Parametriseren met de booglengte is buitengewoon prettig, omdat dan de kromme zelf te beschouwen is als een as: de s-as. Hier zit nog wel een probleem, want vergelijking (33) geeft s als functie van x: s (x). Maar wat ik eigenlijk wil weten is hoe x zich gedraagt als functie van s: x (s). Kijk nog maar eens naar de vergelijkingen (2) en (3), daar staan x en y als functie van de parameter t. Dus eigenlijk zou vergelijking (33) omgebouwd moeten worden zodat er geen s (x) staat, maar x (s). Helaas, dat gaat mij niet lukken, en waarschijnlijk krijgt helemaal niemand dat voor elkaar. Dus we zeggen wel heel gemakkelijk dat we een functie parametriseren met de booglengte, maar heel vaak ontbreekt de exacte wiskundige beschrijving daarvoor. En ergens is dat dan ook wel weer de charme van de wiskunde, want zolang we daar geen last van hebben kunnen we gewoon doorgaan met waar we mee bezig zijn. Het is net als praten over roze olifanten met drie slurfen, ze bestaan niet maar daarom hoeft dat een goed gesprek niet in de weg te staan.

Indien ik een functie parametriseer met een willekeurige parameter t, dan vormen de afgeleiden dx/dt en dy/dt de componenten van de raakvector r. De lengte van deze raakvector is: En toen ik hierboven de afleiding deed voor de booglengte van een geparametriseerde functie kwam het volgende langs (vergelijking (23)): Wanneer ik er voor kies om als parameter s te nemen (dus in plaats van t kies ik s) dan geldt voor de raakvector: En voor de booglengte: Uit de combinatie van de vergelijkingen (35) en (37) volgt: Voor een functie die geparametriseerd is met de booglengte is de raakvector altijd een eenheidsvector. Deze eenheidsraakvector noem ik t, en er geldt dus altijd | t | = 1. In zijn algemeenheid geldt voor iedere willekeurige functie t = r/| r |.

Laten we eens kijken naar het volgende plaatje: De lijnen R_A en R_B zijn de raaklijnen in de punten A respectievelijk B. Deze raaklijnen lopen niet evenwijdig aan elkaar, ze staan allebei onder een andere hoek. Die hoeken noem ik α_A en α_B en die geef ik ook even aan in de grafiek. Ik heb ook gelijk de lengte van de koorde, ∆s, aangegeven. Het verschil tussen de hoeken α_A en α_B is een maat voor de kromming van de kromme. Dit verschil noem ik ∆α en indien die nul zou zijn dan is het vrij simpel in te zien dat er geen kromming is (wanneer ∆α = 0, dan valt de raaklijn in A samen met de raaklijn in B en is de kromme een rechte lijn, en een rechte lijn is niet-krom, de kromming is nul). Nu heb ik nog een zinvolle grootheid nodig om ∆α aan te relateren en dan is het het meest logische om daar de kromme zelf voor te nemen, met andere woorden: door ∆α te relateren aan de booglengte ∆s. Kromming geef ik aan met de letter κ. Op deze manier hebben we de gemiddelde kromming over het stukje kromme van A naar B. Indien we de kromming willen weten in een bepaald punt (en dat willen we) dan zullen we ∆ infinitesimaal klein moeten maken: De tangens van α is gelijk aan dy/dx (overstaande zijde/aanliggende zijde): Waaruit volgt voor dα: Let op: (dy/dx)² is de afgeleide in het kwadraat en d²y/dx² is de tweede afgeleide!

Hiervoor kwam tijdens de afleiding van de booglengte het volgende langs (vergelijking (17)): Als ik dit allemaal samenvoeg (vergelijkingen (17), (40) en (43)) dan ontstaat een indrukwekkende vergelijking voor de kromming: De reciproke waarde hiervan is de kromtestraal ρ: Indien ik op een willekeurig punt van een kromme een cirkel tegen die kromme aanleg met een straal die gelijk is aan de kromtestraal van de kromme in dat punt, dan komen de kromming van de cirkel en van de kromme in dat punt met elkaar overeen. Die denkbeeldige cirkel heet de kromtecirkel of raakcirkel of osculatiecirkel (osculation is het Engelse woord voor aanraking). In een plaatje ziet dat er zo uit: Het punt M heet het kromtemiddelpunt. Doorgaans zal ieder punt van een kromme een andere kromming hebben, dus ook een andere kromtestraal en dus ook een ander kromtemiddelpunt. Al die kromtemiddelpunten samen vormen uiteraard ook weer een kromme die we kunnen aangeven met m (x).

• De kromme m (x) is de evolute van f (x).
• De kromme f (x) is de involute of evolvente van m (x).

En hierbij wil ik ook nog even vermelden dat het de Nederlander Christiaan Huygens was die deze termen, evolute en involute, heeft geïntroduceerd.

Vergelijking (44) geeft de kromming van een functie y = f (x), maar hoe pakt dit nou uit voor een geparametriseerde functie? Stel dat x = f (t) en y = g (t), de afgeleide hiervan gaat volgens vergelijking (12): Maar wat wordt dan de tweede afgeleide? Die vinden we met behulp van de quotiëntregel: De vergelijkingen (12) en (46) vullen we in in vergelijking (44): Nu gaan we weer een stap verder door opnieuw een kromme te beschouwen en daar drie punten op te kiezen, A, B en C, en die verbind ik alledrie middels drie koordes. Door deze drie punten A, B en C kan ik een vlak tekenen en dat vlak wil ik gaan beschrijven. Dat is op zich simpel, ik neem A als steunvector en AB en AC allebei als richtingsvector en klaar is Kees. Maar ik wil uiteindelijk graag de beschrijving hebben van dit vlak in het punt A. Het is een (ingewikkelder) variant op het probleem van: hoe stel ik de vergelijking op van een raaklijn? Indien ik de raaklijn in het punt A wil bepalen dan ga ik uit van het lijnstuk AB en vervolgens laat ik het punt B naderen naar het punt A. Maar nu gaat het niet om een raaklijn, maar om een raakvlak. Dat betekent logischerwijs dat ik zowel het punt B als het punt C naar het punt A moet laten naderen. Om een raaklijn aan een kromme te definiëren heb ik een richtingsvector nodig en dat is dan de raakvector aan de kromme. Maar voor een raakvlak heb ik twee richtingsvectoren nodig. Een van die twee heb ik al, dat is de raakvector die ik verkrijg door het punt B naar A te laten naderen en dan wordt de vector AB de raakvector in het punt A. Indien ik dit ook zou doen voor het punt C dan schiet ik daar niets mee op, want ik volg dan hetzelfde procedé en dat levert nogmaals dezelfde raakvector op. Dit soort situaties vraagt gewoon om gebruik van de trucendoos.

We gaan gebruik maken van de reeksontwikkeling van Brook Taylor, een Engels wiskundige. Daarbij geldt dat een functie te ontwikkelen is naar een polynoom, een functie met allemaal machten van x, door de functie telkens weer te differentiëren. Dat ziet er dan als volgt uit (we ontwikkelen vanuit het startpunt x = a en we sommeren over n = 0, 1, 2, 3, 4, enzovoort):

Hierin is f ⁿ de n^e afgeleide van f (x). Wil je wat voorbeelden zien? Kijk dan in de tabel met Taylor-reeksen.

We gaan uit van een functie die geparametriseerd is met een willekeurige parameter t en als startpunt kiezen we uiteraard het punt A. De vectoren OA, OB en OC zijn plaatsvectoren vanuit de oorsprong O. Het punt B is ∆t_b verwijderd van het punt A en het punt C is ∆t_c verwijderd van het punt A. Nu kan ik de vectoren OA, OB en OC als volgt beschrijven: Hiermee ga ik de koordes AB, AC en BC beschrijven: Nu ga ik de vector AB delen door ∆t_b. Dan wordt de lengte van AB weliswaar anders, maar hij ligt nog steeds in het vlak ABC. Deze vector noem ik AB^*. In het limietgeval dat ∆t_b naar nul nadert vallen alle termen met ∆t_b eruit en gaat de vergelijking over in: En dit is de ‘gewone’ raakvector aan de kromme, dus dit levert geen extra informatie op. Voor de vector AC kunnen we dit ook doen, maar dat zal dezelfde uitkomst opleveren. Het zal daarom moeten gebeuren met de vector BC. Ik ga het AB-deel van BC delen door ∆t_b, daarnaast ga ik het AC-deel van BC delen door ∆t_c en bovendien ga ik alles vermenigvuldigen met 2. Dit zijn allemaal getallen dus dat tast alleen de lengte van de vector aan en niet de richting. Nu is het een goed moment om de haakjes weg te werken: Vervolgens ga ik alles delen door (∆t_c − ∆t_b). Dit zijn wederom allebei getallen dus dat tast alleen de lengte van de vector aan en niet de richting. Tenslotte vervang ik (∆t_c + ∆t_b) door (∆t): In het limietgeval dat ∆t_b en ∆t_c naar nul naderen vallen alle termen met ∆t eruit en gaat de vergelijking over in: Oftewel, de tweede afgeleide! De eerste richtingsvector die we zochten was de eerste afgeleide en de tweede richtingsvector is de tweede afgeleide.

Verder wil ik even de afgeleide van het inwendig product van twee vectoren V en W doornemen: Wanneer ik het inwendig product neem van een willekeurige vector met zichzelf ziet dat er zo uit: Vergelijking (60) ga ik nu differentiëren: En als ik dan V vervang door de raakvector dA/dt: Het inwendig product is alleen nul indien twee vectoren loodrecht op elkaar staan (of indien een van beide vectoren de nulvector is, de nulvector is een vector waarvan alle componenten nul zijn), oftewel de vectoren dA/dt en d²A/dt² staan loodrecht op elkaar. De raakvector aan de kromme, de eerste afgeleide dus, noem ik r. De vector d²A/dt² staat hier loodrecht op en dus ook loodrecht op de kromme, deze vector heet de hoofdnormaal h. Het raakvlak aan de kromme, waarin de raakvector en de hoofdnormaal liggen, heet het osculatievlak. Van de vectoren h en r kan ik eenheidsvectoren maken als volgt: Ik noem vanaf nu de kromme c (vet gedrukt, dus c is een vectorfunctie, ieder punt van c is een plaatsvector vanuit de oorsprong naar een punt op de kromme), en c is geparametriseerd met een willekeurige parameter t, oftewel c (t). Wat weten we inmiddels? De raakvector aan een kromme wordt gegeven door: En de hoofdnormaal volgt uit: Vergelijking (63) kan ik ook anders schrijven, waarbij ik vanaf nu nauwkeurig aangeef of ik te maken heb met de parameter s of met de parameter t, dus of het h (s) is of h (t): Ik neem aan beide zijden van vergelijking (67) het uitwendig product met t (s): De vectoren t en p zijn eenheidsvectoren en staan loodrecht op elkaar, dus | t × p | = 1: De kromme c (t) is in elk punt een vector met componenten x (t) en y (t). Hieruit volgt voor het uitwendig product van de eerste afgeleide met de tweede afgeleide: In combinatie met vergelijking (23) kan ik ook schrijven voor ds/dt: En hier staat hetzelfde als vergelijking (47)! Conclusie: Vergelijking (63) is daarmee ook te schrijven als: De normaalvector die loodrecht op het osculatievlak staat heet de binormaal b en ontstaat uit het uitwendig product van de raakvector t en de hoofdnormaal p. De vectoren t en p zijn beide eenheidsvectoren en staan loodrecht op elkaar, daardoor is b per definitie een eenheidsvector: Ik kan me voorstellen dat het nu een beetje duizelt, dus tijd voor een overzicht: Deze vectoren spannen een drietal vlakken op:

• De raakvector en de hoofdnormaal spannen het osculatievlak op. De normaalvector van dit vlak is de binormaal. Osculation (Engels) betekent aanraking.
• De hoofdnormaal en de binormaal spannen het normaalvlak op. De normaalvector van dit vlak is de raakvector. Het normaalvlak kun je zien als een soort kraagje van de kromme waar de kromme precies loodrecht doorheen prikt.
• De binormaal en de raakvector spannen het rectifiërend vlak op. De normaalvector van dit vlak is de hoofdnormaal. Rectificeren betekent rechtzetten, in de elektronica heet een gelijkrichter in het Engels rectifier.

De ruimte die door het drietal vectoren b, p en t opgespannen wordt heet de triëder.

Nu komt het allerergste: ik ga proberen het te tekenen. Allereerst het osculatievlak dat opgespannen wordt door p en t, de vector b staat hier loodrecht op. Vervolgens het normaalvlak dat opgespannen wordt door b en p, de vector t staat hier loodrecht op. En tenslotte het rectifiërend vlak dat opgespannen wordt door b en t, de vector p staat hier loodrecht op. En voor de volledigheid alle vlakken samen: Dat is inderdaad een grote puinhoop, maar het idee is overgekomen (hoop ik). Ik laat ook een keer alle vlakken weg zodat alleen de triëder zichtbaar is: De triëder is een orthonormale vectorbasis (de basisvectoren staan allemaal loodrecht op elkaar (= orthogonaal) én de basisvectoren zijn eenheidsvectoren) die in ieder punt van de kromme een andere oriëntatie kan hebben. Daarom wordt er ook vaak gesproken over de bewegende triëder.

En daar gaan we op voortborduren, waarbij we vanaf nu uitgaan van een kromme die met de booglengte s is geparametriseerd. Stel, ik zit op het osculatievlak van de kromme en ik glij al zittend op dit vlak over de kromme. Ik zie de raakvector t recht vooruit wijzen (ik zit met mijn gezicht in de richting van de raakvector), de hoofdnormaal p wijst naar links en ik houd mij stevig vast aan de binormaal b die loodrecht op het osculatievlak staat. De raakvector, de hoofdnormaal en de binormaal kun je zien als de assen waarom ik kan bewegen. Wanneer ik draai om de hoofdnormaal-as dan ga ik omhoog of omlaag, oftewel er zit buiging (kromming) in de kromme. Wanneer ik draai om de binormaal-as dan buig ik naar links of naar rechts, ook dit is buiging (kromming) van de kromme. Maar wanneer ik draai om de raakvector-as dan is het anders, want ik kan over een kaarsrechte kromme glijden en toch draaien om de raakvector-as. Dit is de draaiing die ik maak en loodrecht staat op mijn bewegingsrichting. Deze draaiing noemen we torsie en geven we aan met de letter τ. Wanneer de binormaal ‘heen en weer’ gaat dan is er mogelijk torsie, dus torsie ontstaat door een db/ds. En ik zeg mogelijk, want de db/ds die naar voren of naar achteren is gericht duidt op kromming en alleen de db/ds die naar links of rechts is gericht geeft torsie aan. Torsie is dus alleen de links-rechts gerichte component van db/ds, oftewel de projectie van db/ds op de hoofdnormaal: Omdat men torsie naar rechts als positief heeft gedefinieerd en de hoofdnormaal naar links wijst komt het minteken in de vergelijking. Gewoon een kwestie van afspraken. De reciproke waarde van de torsie is de torsiestraal σ: Door vergelijking (61) weet ik dat een vector en zijn afgeleide loodrecht op elkaar staan, dus b en db/ds staan loodrecht op elkaar. Verder weet ik dat b en t loodrecht op elkaar staan en hun inwendig product daarom nul is. Daaruit kan ik het volgende afleiden: Oftewel, db/ds staat zowel loodrecht op b als op t. Hieruit volgt dat de vectoren p en db/ds parallel lopen, waarbij db/ds het τ-de deel is van p (vergelijking (78)).

De afleiding volgens vergelijking (80) ga ik ook doen voor de vectoren p en t (die ook loodrecht op elkaar staan): En dit doen we dan ook nog maar even voor de vectoren b en p (die ook loodrecht op elkaar staan): Vergelijking (81) vertelt ons dat de projectie van dp/ds op t het −κ-de deel is van t. En vergelijking (82) vertelt ons dat de projectie van dp/ds op b het τ-de deel is van b. Verder weten we uit vergelijking (61) dat dp/ds loodrecht op p staat en dus in het rectifiërend vlak ligt. Uit al deze wijsheid samen volgt: Of via een andere weg: Dit brengt ons bij een indrukwekkend trio vergelijkingen. Uit vergelijking (73) volgt: Uit de vergelijkingen (83) en (84) volgt: En uit vergelijking (78) volgt: Deze vergelijkingen zien er in matrixvorm nog mooier uit (en de punt boven de vectoren betekent “differentiëren naar s”):

Deze drie vergelijkingen zijn de geschiedenis ingegaan als de vergelijkingen van Frenet. Maar ze worden ook vaak de vergelijkingen van Frenet-Serret genoemd. En om niemand geweld aan te doen zouden ze eigenlijk de vergelijkingen van Frenet-Pagani-Serret genoemd moeten worden. Deze drie mannen waren alledrie wiskundig (zeer) actief en hebben in de negentiende eeuw, onafhankelijk van elkaar, de triëder van een willekeurige kromme ontdekt en beschreven. Frenet staat in de geschiedenisboekjes, Serret staat in de kantlijn en Pagani ontbreekt.

Ik weet niet of het opgevallen is, maar ik begon dit wiskundehoofdstuk met de beschrijving van een kromme in twee dimensies (vergelijkingen (1), (2), (3), enzovoort). Maar gaandeweg ging ik steeds meer over vectoren praten waarvan de componenten geparametriseerd waren met t of s. En toen maakte het eigenlijk helemaal niet meer uit of de kromme zich in een plat vlak (twee-dimensionaal) bevond of vrij kronkelde in de ruimte (drie-dimensionaal). Ik kan een twee-dimensionale kromme c beschrijven als: En c is vet gedrukt, want c is een vectorfunctie. De componenten van c zijn x (t) en y (t). De uitbreiding naar drie dimensies is simpel (en voor de hand liggend): Ik kan x natuurlijk x₁ noemen, y noem ik dan x₂ en z is x₃. Voor een willeurig aantal dimensies n geldt dan: Dit verandert helemaal niets aan alles wat ik tot nu toe heb verteld. Ook al slingert de kromme door een honderd-dimensionale ruimte dan verandert dat helemaal niets aan de vergelijkingen die (bijvoorbeeld) de triëder beschrijven.

We gaan weer een stap verder. Ik neem nogmaals vergelijking (90) erbij, maar in plaats van één parameter, t, beschrijf ik c met twee parameters: t₁ en t₂. En later zal duidelijk worden waarom, maar ik heb goede redenen om de indices bij de parameters niet laag maar hoog te schrijven. Dus vanaf nu is het niet meer t₁ en t₂, maar t¹ en t². Bovendien duid ik dit nieuwe ‘ding’ niet meer aan met c maar met v (en v is vet gedrukt want dit is ook een vectorfunctie): Stel dat ik t¹ constant houd, t¹ is bijvoorbeeld 1, en t² laat ik variëren van −∞ tot +∞, dan ontstaan er allemaal punten die uiteindelijk een bepaalde kromme vormen. Wanneer ik vervolgens t¹ een beetje groter maak, bijvoorbeeld 1.001, en ik doorloop weer dezelfde procedure dan vormt zich weer een kromme die (zeer waarschijnlijk) vlakbij de kromme ligt waar gold t¹ = 1. En zo kan ik dit ook doen voor t¹ = 1.002, t¹ = 1.003, t¹ = 1.004, enzovoort. Uiteindelijk heb ik heel veel krommes die samen een vlak vormen. Vergelijking (92) is de beschrijving van een vlak!

Ik heb het vlak v visueel laten ontstaan door voor t¹ telkens een vaste waarde te nemen en t² te variëren van −∞ tot +∞. Op die manier ontstonden er allemaal krommes die samen het vlak vormden. Met andere woorden, wanneer ik één parameter ‘vastzet’ dan heb ik de vergelijking van een kromme en die kromme ligt in het vlak. Dit kan ik op de volgende manieren doen, allereerst door één van beide parameters constant te maken (a is een willekeurige constante, t is een willekeurige parameter): Of door de parameters t¹ en t² ‘aan elkaar te knopen’ zodat ze niet meer onafhankelijk van elkaar van −∞ tot +∞ kunnen gaan. Dit is het geval indien de ene parameter een functie is van de ander of ze zijn allebei een functie van een derde parameter: Net als ik voorheen met de kromme heb gedaan kan ik nu ook het vlak differentiëren. En omdat er nu twee parameters zijn kan ik differentiëren naar t¹ en t². We moeten even afspreken hoe we dat gaan noteren. De eerste afgeleide naar t¹: De eerste afgeleide naar t²: De tweede afgeleide naar t¹: De afgeleide naar t¹ en naar t²: De afgeleide naar t² en naar t¹: De tweede afgeleide naar t²: Omdat het niet uitmaakt of ik eerst naar t¹ differentieer en daarna naar t² of andersom volgt hieruit dat v₁₂ en v₂₁ gelijk zijn. Wat verder nog heel interessant is om op te merken is dat v₁ en v₂ raakvectoren zijn aan het vlak v. En die twee raakvectoren kan ik gebruiken als de richtingsvectoren van een raakvlak. De beschrijving van het raakvlak w in een punt P wordt dan (de plaatsvector P van het punt P gebruik ik als steunvector voor het raakvlak): We kunnen het vlak ook differentiëren naar een willekeurige parameter t als volgt: De vector dv is een raakvector aan het vlak en is samengesteld uit de raakvectoren v₁ en v₂. De lengte van de vector dv is | dv | en dat noem ik ds. Nu ga ik het inwendig product nemen van de vector dv met zichzelf. Die inwendige producten leveren getallen op en daar ga ik ook namen voor bedenken: Dit maakt ook duidelijk dat g₁₂ = g₂₁ en uiteindelijk ontstaat het volgende: Vooral in wat oudere literatuur zie je ook wel staan:

Dit is de notatie zoals die gebruikt werd door Gauss, de grondlegger van de differentiaal geometrie. Of nog anders opgeschreven, met indexnotatie (degenen die zich al verdiept hebben in de paragrafen over relativiteitstheorie zullen dit zeker herkennen):

Deze uitdrukking heet de eerste fundamentele vorm (en of je het opschrijft als vergelijking (100) of (101) of (102) mag je zelf weten, dat doet aan het principe niets af). De componenten g_αβ vormen samen de metrische tensor waarbij α en β beide van 1 tot n lopen en n is het aantal dimensies van de ruimte (n = 1 voor een lijn, n = 2 voor een vlak, enzovoort). En nu valt ook alles op zijn plaats voor wat betreft de indices (hoog of laag). De hoge indices staan voor contravariant en de lage indices voor covariant. In de uitleg van paragraaf 5 van het artikel van Einstein over de algemene relativiteitstheorie wordt alles precies uit de doeken gedaan over coördinatentransformaties en wat de samenhang daarvan is met het covariant of contravariant zijn van een vector (of in zijn algemeenheid: een tensor). ‘Gewone’ vectoren, zoals plaatsvectoren, steunvectoren en richtingsvectoren, zijn contravariant. Voorbeelden van covariante vectoren zijn de basisvectoren van een vectorbasis en de gradiëntvector van een scalarveld. En zoals je net hebt gezien is de metrische tensor ook covariant. Wat je verder nog kunt zien aan de vergelijkingen (99b) en (99c) is dat de metrische tensor altijd symmetrisch is: g_αβ = g_βα. En aan de vergelijking (99a) en (99d) kun je aflezen wat de lengte van de vectoren v₁ en v₂ is:

Wellicht is de vraag al opgekomen waarom je dit in het voortgezet onderwijs nooit hebt zien langskomen. Dat komt omdat alle assenstelsels samengesteld waren uit assen die allemaal loodrecht op elkaar staan. En alle coördinatenstelsels hadden mazen die allemaal even groot en vierkant zijn. Dat de assen loodrecht op elkaar staan heet orthogonaal. Een stelsel met orthogonale assen én regelmatige afstanden tussen de getallen heet Cartesisch (naar de Franse wiskundige René Descartes). De ruimte waar je dan over praat heet een Euclidische ruimte (vernoemd naar de Griek Euclides). De metrische tensor van een Euclidische ruimte is heel simpel: een hoofddiagonaal gevuld met enen en verder allemaal nullen, oftewel de eenheidsmatrix, en die kun je dus net zo goed weglaten uit de vergelijkingen. Het verschil tussen covariante vectoren en contravariante vectoren valt dan ook helemaal weg, kortom het leven wordt buitengewoon eenvoudig. In feite krijg je op school een zeer beperkte voorstelling van de werkelijkheid voorgeschoteld (en niet alleen bij wiskunde, en niet alleen op school), die je vervolgens onbewust opneemt als de absolute waarheid. Tijdens onze groei naar volwassenheid gebeurt dit talloze malen en indien we ons dat niet bewust worden leven we de rest van ons leven binnen al die illusoire beperkingen. Feitelijk leeft de overgrote meerderheid van de mensen daarom niet echt maar zijn we collectief aan het ‘slaapwandelen’ (zoals dat in spirituele teksten vaak genoemd wordt).

Maar binnen de algemene relativiteitstheorie willen we absoluut van al die beperkingen af (in ieder geval van de wiskundige beperkingen ☺). De assen van een assenstelsel hoeven niet loodrecht op elkaar te staan en de mazen van een coördinatenstelsel hoeven noch gelijk noch vierkant te zijn. De ruimte waar je dan over praat heet een Riemann-ruimte (vernoemd naar Bernhard Riemann). In een Riemann-ruimte ontkom je er niet aan om de metrische tensor aan boord te halen (en alles wat ik hier al besproken heb en nog ga bespreken).

De vectoren v₁ en v₂ zijn allebei raakvectoren aan het vlak v (vergelijkingen (95a) en (95b)). Samen spannen ze het raakvlak w op (vergelijking (96)). Door het uitwendig product te nemen van de vectoren v₁ en v₂ ontstaat een vector die loodrecht op het raakvlak staat, een normaalvector. Van deze vector maak ik gelijk een eenheidsvector: De noemer ga ik even apart uitwerken (φ is de hoek tussen de raakvectoren): En dit stop ik weer in vergelijking (104a): De vectoren v₁, v₂ en n vormen samen een soort triëder net zoals we eerder al gezien hebben bij de kromme. Maar de triëder van de kromme bestaat uit drie eenheidsvectoren die allemaal loodrecht op elkaar staan, terwijl v₁ en v₂ alleen eenheidsvectoren zijn als g₁₁ respectievelijk g₂₂ gelijk aan één zijn (vergelijkingen (103a) en (103b)). Bovendien staan v₁ en v₂ alleen loodrecht op elkaar indien g₁₂ en g₂₁ nul zijn (vergelijkingen (99b) en (99c)).

Volgens vergelijking (89) kan ik een kromme beschrijven als volgt: Deze kromme kan ik differentiëren en dat ziet er dan zo uit: Of iets anders opgeschreven: Van deze vector ga ik het inwendig product nemen met zichzelf: Ik haal ook even vergelijking (24) terug in herinnering: De vergelijkingen (24) en (107) ga ik combineren: Ongemerkt doen we hier iets heel belangrijks. De vergelijkingen (24) en (108) beschrijven allebei ds, maar vergelijking (24) is afgeleid van vergelijking (13) waarbij ik gebruik heb gemaakt van de stelling van Pythagoras. Dat is op zich prima, maar dat mag alleen als ∆x en ∆y loodrecht op elkaar staan en voor vergelijking (24) geldt dat dx/dt en dy/dt loodrecht op elkaar moeten staan. Dus zonder het expliciet te vermelden ben ik uitgegaan van een Cartesisch coördinatenstelsel, maar vergelijking (108) is uitgedrukt in vectoren. Vectoren staan ‘los’ van coördinatenstelsels. Hun componenten niet maar daar heeft vergelijking (108) geen boodschap aan. Heel belangrijk om je dit te realiseren, vergelijking (108) geldt altijd, ongeacht het coördinatenstelsel en ongeacht het aantal dimensies. Wanneer ik overga van twee naar drie of vier of honderd dimensies dan moet ik vergelijking (24) herschrijven terwijl er aan vergelijking (108) helemaal niets verandert.

Vergelijking (97) kan ik ook schrijven als: De combinatie van de vergelijkingen (108) en (109) levert op: De metrische tensor maakt het ons dus ook mogelijk om stukjes booglengte van een oppervlak te berekenen.

We gaan nog steeds uit van een willekeurig vlak v volgens vergelijking (92). En door (of over?) dat vlak kronkelt een willekeurige kromme c. Vervolgens beschouwen we een punt Ж ergens op de kromme en dus ook ergens op het vlak. In het punt Ж is uiteraard de triëder aanwezig met de eenheidsvectoren t, p en b die allemaal onderling loodrecht op elkaar staan. En in het punt Ж is er uiteraard ook een normaalvector n die loodrecht op het vlak staat. We weten inmiddels dat de vector p in de richting wijst waar de kromme heenbuigt. En we weten ook dat de vectoren n en p allebei in het normaalvlak van de kromme liggen. Het normaalvlak is een soort kraagje om de kromme dat opgespannen wordt door de hoofdnormaal p en de binormaal b. In het willekeurige punt Ж staat de normaalvector n loodrecht op het vlak v en daardoor ook loodrecht op de kromme c die door het punt Ж kronkelt, dus n ligt in het normaalvlak. Allereerst nemen we nu het inwendig product van de eenheidsvectoren p en n (φ is de hoek tussen de vectoren): Indien we een punt Ж beschouwen op een vlak dat ook ‘echt vlak is’, bijvoorbeeld de tafel waaraan je nu zit te werken, dan steekt de normaalvector n recht omhoog. Hoe de kromme door het punt Ж kronkelt maakt dan helemaal niets uit, want de vector p ligt dan altijd in het vlak en de hoek φ is dan altijd 90° en cos φ = 0. Uit vergelijking (66) weten we dat h de tweede afgeleide is van de kromme en vergelijking (73) vertelt ons hoe we daar de eenheidsvector p van hebben gemaakt. Daarmee kunnen we vergelijking (112) ook schrijven als: In lijn met de notatie van de vergelijkingen (95c/d/e/f) kan ik de tweede afgeleide van het vlak schrijven als: En dit kan ik net zoals in vergelijking (97) omschrijven in het geval dat we differentiëren naar een willekeurige parameter t: Vervolgens nemen we aan beide zijden het inwendig product met de normaalvector n: Nu introduceer ik een nieuw ‘ding’ genaamd b: Dit nieuwe ‘ding’ b bestaat uit de tweede afgeleide van het vlak (v_αβ) en de normaalvector van het vlak (n), oftewel b wordt volledig bepaald door het vlak en is onafhankelijk van de kromme die over het vlak kronkelt. Ik kan nu het rechterlid van vergelijking (116) schrijven als: Deze uitdrukking noemen we de tweede fundamentele vorm. In wat oudere literatuur zie je ook wel staan: Tenslotte pakken we de vergelijkingen (113), (116) en (117) samen: In vergelijking (115) heb ik gedifferentieerd naar een willekeurige parameter t, maar ik kan natuurlijk ook differentiëren naar de parameter s (de booglengte). Vergelijking (120) gaat dan over in: En ik introduceer de normale kromming κ_n: Zodat we na al dit geknutsel het volgende resultaat hebben: De teller van deze vergelijking, b_αβ dt^α dt^β, wordt volledig bepaald door het vlak en de noemer van deze vergelijking, g_αβ dt^α dt^β, wordt volledig bepaald door de kromme die over het vlak kronkelt.

De raaklijnen v_α van het vlak v (zie vergelijkingen (95a) en (95b)) staan uiteraard loodrecht op de normaalvector n van het vlak. Er geldt dus: Door vergelijking (124) te differentiëren ontstaat: Met gebruikmaking van vergelijking (117) kan ik ook schrijven: Aldus geldt volgens de vergelijkingen (98) en (102): En volgens de vergelijkingen (116), (118) en (126) geldt: