Christoffel-symbolen van de eerste soort bij een diagonale metriek

Welke Christoffel-symbolen van de eerste soort worden nul wanneer de metrische tensor diagonaal is? Ga uit van een vierdimensionale ruimte.
Dit is de metrische tensor:
Dat een tensor diagonaal is wil zeggen dat alle componenten, behalve die op de hoofddiagonaal, nul zijn:

Christoffel

De definitie van de Christoffel-symbolen van de eerste soort is:

Een Christoffel-symbool heeft drie indices en in een vierdimensionale ruimte bestaan er dus 43 = 64 Christoffel-symbolen. Ik ga ze allemaal uitschrijven:







Vervolgens ga ik de componenten uit de metrische tensor van vergelijking (2) invullen en de nul-termen laat ik gelijk weg:







De laatste stap is om termen samen te nemen en haakjes weg te werken. De Christoffel-symbolen die nul zijn laat ik vanaf nu weg uit de lijst:




Zo zijn er dus van de 64 oorspronkelijke Christoffel-symbolen nog 40 over. Merk op dat:

Inhoudelijk, en afgezien van het teken, zijn er in essentie nog maar 16 verschillende Christoffel-symbolen over.