Christoffel-symbolen van de eerste soort bij een diagonale metriek
Welke Christoffel-symbolen van de eerste soort worden nul wanneer de metrische tensor
diagonaal is?
Ga uit van een vierdimensionale ruimte.
Dit is de metrische tensor:
Dat een tensor
diagonaal is
wil zeggen dat alle componenten, behalve die op de
hoofddiagonaal, nul zijn:
De definitie van de Christoffel-symbolen van de eerste soort is:
Een Christoffel-symbool heeft drie indices en in een vierdimensionale ruimte bestaan er dus 4
3 = 64
Christoffel-symbolen.
Ik ga ze allemaal uitschrijven:
Vervolgens ga ik de componenten uit de metrische tensor van vergelijking (2) invullen en de nul-termen
laat ik gelijk weg:
De laatste stap is om termen samen te nemen en haakjes weg te werken.
De Christoffel-symbolen die nul zijn laat ik vanaf nu weg uit de lijst:
Zo zijn er dus van de 64 oorspronkelijke Christoffel-symbolen nog 40 over.
Merk op dat:
Inhoudelijk, en afgezien van het teken, zijn er in essentie nog maar 16 verschillende Christoffel-symbolen over.