De faculteit van een getal x is het product van alle gehele getallen, te beginnen met 1, tot en met het getal x. Dit geven we aan met een uitroepteken achter het getal: In principe is de faculteit alleen gedefinieerd voor positieve gehele getallen. Dit heeft geleid tot een definitie voor het bijzondere geval van de faculteit van 0: Het kan ook met alleen de even of oneven termen: Met wederom het speciale geval: Dubbele faculteiten kan ik omschrijven naar enkele faculteiten als volgt: De faculteitsfunctie f (x) = x! komt vaak voor binnen de wiskunde, maar is helaas ook een bijzonder problematische functie om de volgende redenen:

• de functiewaarde laat zich moeilijk berekenen, zeker voor (hele) grote waarden van x,
• de functie is niet zoals andere functies ‘zomaar effe’ te differentiëren of te integreren.

In principe kun je de faculteit van ieder getal exact uitrekenen, want we hebben het immers over het product van gehele getallen. Echter, de faculteit van een getal exact uitrekenen loopt al heel snel uit de hand, zoals onderstaande tabel laat zien, omdat je in de grote getallen terecht komt.

x	x!
100	1
101	3628800
102	93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
103	402387260077093773543702433923003985719374864210714632543799910429938512398629020592044208486969404800479988610197196058631666872994808558901323829669944590997424504087073759918823627727188732519779505950995276120874975462497043601418278094646496291056393887437886487337119181045825783647849977012476632889835955735432513185323958463075557409114262417474349347553428646576611667797396668820291207379143853719588249808126867838374559731746136085379534524221586593201928090878297308431392844403281231558611036976801357304216168747609675871348312025478589320767169132448426236131412508780208000261683151027341827977704784635868170164365024153691398281264810213092761244896359928705114964975419909342221566832572080821333186116811553615836546984046708975602900950537616475847728421889679646244945160765353408198901385442487984959953319101723355556602139450399736280750137837615307127761926849034352625200015888535147331611702103968175921510907788019393178114194545257223865541461062892187960223838971476088506276862967146674697562911234082439208160153780889893964518263243671616762179168909779911903754031274622289988005195444414282012187361745992642956581746628302955570299024324153181617210465832036786906117260158783520751516284225540265170483304226143974286933061690897968482590125458327168226458066526769958652682272807075781391858178889652208164348344825993266043367660176999612831860788386150279465955131156552036093988180612138558600301435694527224206344631797460594682573103790084024432438465657245014402821885252470935190620929023136493273497565513958720559654228749774011413346962715422845862377387538230483865688976461927383814900140767310446640259899490222221765904339901886018566526485061799702356193897017860040811889729918311021171229845901641921068884387121855646124960798722908519296819372388642614839657382291123125024186649353143970137428531926649875337218940694281434118520158014123344828015051399694290153483077644569099073152433278288269864602789864321139083506217095002597389863554277196742822248757586765752344220207573630569498825087968928162753848863396909959826280956121450994871701244516461260379029309120889086942028510640182154399457156805941872748998094254742173582401063677404595741785160829230135358081840096996372524230560855903700624271243416909004153690105933983835777939410970027753472000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
(Voor meer faculteiten zie deze pagina)

Maar al die decimalen hebben we natuurlijk helemaal niet nodig, dit was alleen om te demonstreren hoe snel de functiewaarde oploopt. De faculteitsfunctie laat zelfs de e-macht al snel achter zich. Om nogmaals te laten zien hoe snel de functiewaarde oploopt geeft de volgende tabel de faculteit voor diverse waarden van x = 1 tot en met x = 10¹⁰ met vijftig cijfers achter de komma.

x	x!
100	1.00000000000000000000000000000000000000000000000000 ∙ 100
101	3.62880000000000000000000000000000000000000000000000 ∙ 106
102	9.33262154439441526816992388562667004907159682643816 ∙ 10157
103	4.02387260077093773543702433923003985719374864210715 ∙ 102567
104	2.84625968091705451890641321211986889014805140170280 ∙ 1035659
105	2.82422940796034787429342157802453551847749492609122 ∙ 10456573
106	8.26393168833124006237664610317266629113534797896387 ∙ 105565708
107	1.20242340051590345614015348794430756976768018249476 ∙ 1065657059
108	1.61720379492146238633877318561280404329237453064874 ∙ 10756570556
109	9.90462657922299373728082110506570432171722139002931 ∙ 108565705522
1010	2.32579620567308336510494471994987880539801406752884 ∙ 1095657055186
(Voor meer faculteiten en meer decimalen zie deze pagina)

Laat ik bovenstaande tabel ook even grafisch weergeven (met verschillende verticale schaalverdelingen). We hebben nu een gevoel gekregen van wat de faculteitsfunctie behelst, maar graag zouden we daar gemakkelijker mee kunnen werken. Zoals ik aan het begin van deze pagina al aangaf is x! gedefinieerd als volgt: Door links en rechts de natuurlijke logaritme te nemen ontstaat: Dit kunnen we ook, als benadering, schrijven als een integraal en die vervolgens uitwerken met behulp van partieel integreren: Vaak wordt dat eentje, de rechterterm, weggelaten (verwaarloosd):

Deze benadering staat nu in de boeken als de formule van Stirling (en vooruitlopend op wat nog komen gaat noem ik dit Stirling-I):

Of anders geschreven: Hoe goed is deze benadering? In onderstaande tabel vergelijk ik exacte waarden van x! met de Stirling-I-formule:

x	x! (exact)	x! (Stirling-I)	Stirling-I/Exact
100	1.000000000000000 ∙ 100	3.678794411714423 ∙ 10−1	0.367879441171442
101	3.628800000000000 ∙ 106	4.539992976248485 ∙ 105	0.125110035721133
102	9.332621544394415 ∙ 10157	3.720075976020836 ∙ 10156	0.039860996809147
103	4.023872600770938 ∙ 102567	5.075958897549457 ∙ 102565	0.012614611348721
104	2.846259680917055 ∙ 1035659	1.135483865314736 ∙ 1035657	0.003989389558963
105	2.824229407960348 ∙ 10456573	3.562949565309373 ∙ 10456570	0.001261565209705
106	8.263931688331240 ∙ 105565708	3.296831478088559 ∙ 105565705	0.000398942247156
107	1.202423400515903 ∙ 1065657059	1.516936780898734 ∙ 1065657055	0.000126156625050
108	1.617203794921462 ∙ 10756570556	6.451709692821766 ∙ 10756570551	0.000039894228007
109	9.904626579222994 ∙ 108565705522	1.249534271921013 ∙ 108565705518	0.000012615662609
1010	2.325796205673083 ∙ 1095657055186	9.278584420324873 ∙ 1095657055180	0.000003989422804
Vergelijkingstabel voor Stirling-I

Voor een eerste ruwe benadering van x! is de Stirling-I-formule wel okee, maar ook niet meer dan dat. Ik bereik een kleine verbetering door dat eentje weer aan boord te halen en dat noem ik de Stirling-II-formule: Of anders geschreven: Hoe goed is deze benadering? In onderstaande tabel vergelijk ik exacte waarden van x! met de Stirling-II-formule:

x	x! (exact)	x! (Stirling-II)	Stirling-II/Exact
100	1.000000000000000 ∙ 100	1.000000000000000 ∙ 100	1.000000000000000
101	3.628800000000000 ∙ 106	1.234098040866795 ∙ 106	0.340084336658619
102	9.332621544394415 ∙ 10157	1.011221492610449 ∙ 10157	0.108353423290569
103	4.023872600770938 ∙ 102567	1.379788683321370 ∙ 102566	0.034290068802303
104	2.846259680917055 ∙ 1035659	3.086565157593485 ∙ 1035657	0.010844285144773
105	2.824229407960348 ∙ 10456573	9.685101059096523 ∙ 10456570	0.003429289784958
106	8.263931688331240 ∙ 105565708	8.961717098379904 ∙ 105565705	0.001084437461049
107	1.202423400515903 ∙ 1065657059	4.123461686438190 ∙ 1065657055	0.000342929261412
108	1.617203794921462 ∙ 10756570556	1.753756522049050 ∙ 10756570552	0.000108443755052
109	9.904626579222994 ∙ 108565705522	3.396586305399694 ∙ 108565705518	0.000034292926424
1010	2.325796205673083 ∙ 1095657055186	2.522180742359230 ∙ 1095657055181	0.000010844375514
Vergelijkingstabel voor Stirling-II

Er is duidelijk nog veel ruimte voor verbetering. Hierboven, vergelijking (9), heb ik simpelweg recht-toe-recht-aan geïntegreerd. Nu pak ik de vergelijking erbij voor de trapeziummethode: Voor de linkerterm kan ik de Stirling-II-formule invullen: En ik kan nog meer invullen: Hetgeen ons na een kleine herschikking van termen brengt bij de Stirling-III-formule: Of anders geschreven: Hoe goed is deze benadering? In onderstaande tabel vergelijk ik exacte waarden van x! met de Stirling-III-formule:

x	x! (exact)	x! (Stirling-III)	Stirling-III/Exact
100	1.000000000000000 ∙ 100	1.000000000000000 ∙ 100	1.000000000000000
101	3.628800000000000 ∙ 106	3.902560665090631 ∙ 106	1.075441100388732
102	9.332621544394415 ∙ 10157	1.011221492610449 ∙ 10158	1.083534232905686
103	4.023872600770938 ∙ 102567	4.363274929020310 ∙ 102567	1.084347185391592
104	2.846259680917055 ∙ 1035659	3.086565157593485 ∙ 1035659	1.084428514477289
105	2.824229407960348 ∙ 10456573	3.062697871565405 ∙ 10456573	1.084436647721645
106	8.263931688331240 ∙ 105565708	8.961717098379904 ∙ 105565708	1.084437461049435
107	1.202423400515903 ∙ 1065657059	1.303953077358372 ∙ 1065657059	1.084437542382248
108	1.617203794921462 ∙ 10756570556	1.753756522049050 ∙ 10756570556	1.084437550515530
109	9.904626579222994 ∙ 108565705522	1.074094899439930 ∙ 108565705523	1.084437551328858
1010	2.325796205673083 ∙ 1095657055186	2.522180742359230 ∙ 1095657055186	1.084437551410191
Vergelijkingstabel voor Stirling-III

Dit ziet er al een stuk beter uit, maar we willen het natuurlijk nog nauwkeuriger. Daartoe pak ik de Euler-Maclaurin-formule erbij:

Voor het probleem dat we hier bij de hand hebben wordt vergelijking (19): Het linkerdeel van de vergelijking is onze probleemfunctie: De oplossing van de integraal kan ik wederom rechtstreeks opschrijven vanuit vergelijking (9): En ik kan een paar haken wegwerken: Het is de hoogste tijd om eens wat afgeleiden te bepalen (y⁽⁰⁾ is de functie zelf): De regelmaat zal inmiddels duidelijk zijn: Hiermee wordt vergelijking (21):

De B’s in bovenstaande vergelijking zijn de Bernoulli-getallen. In onderstaande tabel staan de eerste elf Bernoulli-getallen (er zijn er oneindig veel).

n	Bn (als breuk)	Bn (decimaal)
0	1	1.00000
1	−1/2	−0.50000
2	1/6	0.16667
3	0	0.00000
4	−1/30	−0.03333
5	0	0.00000
6	1/42	0.02381
7	0	0.00000
8	−1/30	−0.03333
9	0	0.00000
10	5/66	0.07576
Bernoulli-getallen (voor meer Bernoulli-getallen zie deze pagina)

Merk op dat de Bernoulli-getallen steeds groter worden, een punt van aandacht! Met dit gegeven in mijn achterhoofd werk ik verder en ik pak even een stukje uit vergelijking (24): Deze breuk ga ik uitrekenen voor k = 1 tot en met k = 10: Dit vul ik in in vergelijking (26): Of anders geschreven: Die eerste reeks tussen haken is overduidelijk een divergerende reeks, omdat de Bernoulli-getallen steeds groter worden. Echter, via andere methoden is te bewijzen dat: Dit was al te voorzien in de vergelijkingstabel voor Stirling-III, want daar vormde zich in de laatste kolom een constante factor ter grootte van 1.0844375514... En het geval wil dat: Om vergelijking (31) te laten kloppen moet het deel tussen haken, de exponent van e, gelijk zijn aan: Laten we eens wat termen gaan uitrekenen:

1.0000000000xx
1/12 =	0.0833333333xx
---------------------------------------- −
0.9166666667xx
1/360 =	0.0027777778xx
---------------------------------------- +
0.9194444444xx
1/1260 =	0.0007936508xx
---------------------------------------- −
0.9186507937xx
1/1680 =	0.0005952381xx
---------------------------------------- +
0.9192460317xx

Dit marcheert heel lekker richting de 0.9189385332 van vergelijking (33), maar door de groter wordende Bernoulli-getallen ontstaat er helaas een divergerende reeks. Maar, zoals ik al zei, via andere methoden is vergelijking (31) waterdicht te bewijzen. Met deze nieuwe kennis wordt vergelijking (30): Omdat we vooral geïnteresseerd zijn in een benaderingsformule voor grote waarden van x is die reeks tussen de haken bij zeer goede benadering gelijk aan nul (als we even vergeten dat de groter wordende Bernoulli-getallen roet in het eten gooien) en dat brengt ons bij de Stirling-IV-formule: Of anders geschreven: Hoe goed is deze benadering? In onderstaande tabel vergelijk ik exacte waarden van x! met de Stirling-IV-formule:

x	x! (exact)	x! (Stirling-IV)	Stirling-IV/Exact
100	1.000000000000000 ∙ 100	9.221370088957891 ∙ 10−1	0.922137008895789
101	3.628800000000000 ∙ 106	3.598695618741036 ∙ 106	0.991704039556061
102	9.332621544394415 ∙ 10157	9.324847625269343 ∙ 10157	0.999167016567843
103	4.023872600770938 ∙ 102567	4.023537292036775 ∙ 102567	0.999916670141570
104	2.846259680917055 ∙ 1035659	2.846235962185216 ∙ 1035659	0.999991666701392
105	2.824229407960348 ∙ 10456573	2.824227054436822 ∙ 10456573	0.999999166667014
106	8.263931688331240 ∙ 105565708	8.263930999670295 ∙ 105565708	0.999999916666670
107	1.202423400515903 ∙ 1065657059	1.202423390495708 ∙ 1065657059	0.999999991666667
108	1.617203794921462 ∙ 10756570556	1.617203793573793 ∙ 10756570556	0.999999999166667
109	9.904626579222994 ∙ 108565705522	9.904626578397608 ∙ 108565705522	0.999999999916667
1010	2.325796205673083 ∙ 1095657055186	2.325796205653702 ∙ 1095657055186	0.999999999991667
Vergelijkingstabel voor Stirling-IV

Dit ziet er toch bijzonder netjes uit! En merk op dat voor x = ∞ deze formule een exact antwoord oplevert! De ultieme fijnslijperij kunnen we uitvoeren door een aantal termen met machten van x mee te nemen die in de exponent van e staan. Dat brengt ons de volgende varianten:

Stirling-Va
Stirling-Vb
Stirling-Vc
Stirling-Vd
Stirling-Ve
Stirling-Vf
Stirling-Vg
Stirling-Vh

Of anders geschreven:

Stirling-Va
Stirling-Vb
Stirling-Vc
Stirling-Vd
Stirling-Ve
Stirling-Vf
Stirling-Vg
Stirling-Vh

Hoe goed zijn deze benaderingen? In onderstaande tabellen vergelijk ik exacte waarden van x! met de Stirling-V-formules:

x	x! (Stirling-Va)	Stirling-Va/Exact
100	1.0022744491822266585050638782324150044574 ∙ 100	1.0022744491822266585050638782324150044574
101	3.6288100514269335299411653167543839286126 ∙ 106	1.0000027699038066385419877967246428374704
102	9.3326215703176234098961919514613631560755 ∙ 10157	1.0000000027776984225077563476976798584726
103	4.0238726007821151561345229580267911281287 ∙ 102567	1.0000000000027777769841314373867243941825
104	2.8462596809170624251832820590310248074933 ∙ 1035659	1.0000000000000027777777698412737588183193
105	2.8242294079603478821385032665791344335418 ∙ 10456573	1.0000000000000000027777777776984127022767
106	8.2639316883312400623996014689735798437438 ∙ 105565708	1.0000000000000000000027777777777769841270
107	1.2024234005159034561401568280093090028233 ∙ 1065657059	1.0000000000000000000000027777777777777698
108	1.6172037949214623863387731901050368069631 ∙ 10756570556	1.0000000000000000000000000027777777777778
109	9.9046265792229937372808211050932171733262 ∙ 108565705522	1.0000000000000000000000000000027777777778
1010	2.3257962056730833651049447199498852659430 ∙ 1095657055186	1.0000000000000000000000000000000027777778
Vergelijkingstabel voor Stirling-Va

x	x! (Stirling-Vb)	Stirling-Vb/Exact
100	9.9949421671174128182948246075532992779661 ∙ 10−1	0.9994942167117412818294824607553299277966
101	3.6287999714130129253859122394111082325785 ∙ 106	0.9999999921221927153290102070687577801418
102	9.3326215443936746394638335662416445682372 ∙ 10157	0.9999999999999206408721743170116764800411
103	4.0238726007709377322434770512373772464140 ∙ 102567	0.9999999999999999992063498015864598386923
104	2.8462596809170545189063906227574913496146 ∙ 1035659	0.9999999999999999999999920634921230158722
105	2.8242294079603478742934215778003903273863 ∙ 10456573	0.9999999999999999999999999999206349206409
106	8.2639316883312400623766461031726597324594 ∙ 105565708	0.9999999999999999999999999999999992063492
107	1.2024234005159034561401534879443075697581 ∙ 1065657059	0.9999999999999999999999999999999999999921
108	1.6172037949214623863387731856128040432924 ∙ 10756570556	1.0000000000000000000000000000000000000000
109	9.9046265792229937372808211050657043217172 ∙ 108565705522	1.0000000000000000000000000000000000000000
1010	2.3257962056730833651049447199498788053980 ∙ 1095657055186	1.0000000000000000000000000000000000000000
Vergelijkingstabel voor Stirling-Vb

x	x! (Stirling-Vc)	Stirling-Vc/Exact
100	1.0002877809548753304345848149429906385784 ∙ 100	1.0002877809548753304345848149429906385784
101	3.6288000002130128127907761286232130807197 ∙ 106	1.0000000000587006208087456262740335870590
102	9.3326215443944153237133886491766912834041 ∙ 10157	1.0000000000000000059515393932278202782042
103	4.0238726007709377354370267343889151304142 ∙ 102567	1.0000000000000000000000005952372534891710
104	2.8462596809170545189064132121200383103648 ∙ 1035659	1.0000000000000000000000000000000595238087
105	2.8242294079603478742934215780245355184943 ∙ 10456573	1.0000000000000000000000000000000000000060
106	8.2639316883312400623766461031726662911353 ∙ 105565708	1.0000000000000000000000000000000000000000
107	1.2024234005159034561401534879443075697677 ∙ 1065657059	1.0000000000000000000000000000000000000000
108	1.6172037949214623863387731856128040432924 ∙ 10756570556	1.0000000000000000000000000000000000000000
109	9.9046265792229937372808211050657043217172 ∙ 108565705522	1.0000000000000000000000000000000000000000
1010	2.3257962056730833651049447199498788053980 ∙ 1095657055186	1.0000000000000000000000000000000000000000
Vergelijkingstabel voor Stirling-Vc

x	x! (Stirling-Vd)	Stirling-Vd/Exact
100	9.9969254873147189836206474815135913547459 ∙ 10−1	0.9996925487314718983620647481513591354746
101	3.6287999999970128127845253659573452641293 ∙ 106	0.9999999999991768112832135598427428527693
102	9.3326215443944152681620699325432669028223 ∙ 10157	0.9999999999999999999991584408468678795414
103	4.0238726007709377354370243392266527667608 ∙ 102567	0.9999999999999999999999999999991582510758
104	2.8462596809170545189064132121198688901457 ∙ 1035659	0.9999999999999999999999999999999999999992
105	2.8242294079603478742934215780245355184775 ∙ 10456573	1.0000000000000000000000000000000000000000
106	8.2639316883312400623766461031726662911353 ∙ 105565708	1.0000000000000000000000000000000000000000
107	1.2024234005159034561401534879443075697677 ∙ 1065657059	1.0000000000000000000000000000000000000000
108	1.6172037949214623863387731856128040432924 ∙ 10756570556	1.0000000000000000000000000000000000000000
109	9.9046265792229937372808211050657043217172 ∙ 108565705522	1.0000000000000000000000000000000000000000
1010	2.3257962056730833651049447199498788053980 ∙ 1095657055186	1.0000000000000000000000000000000000000000
Vergelijkingstabel voor Stirling-Vd

x	x! (Stirling-Ve)	Stirling-Ve/Exact
100	1.0005343950385703428198608886290340726035 ∙ 100	1.0005343950385703428198608886290340726035
101	3.6288000000000673582390695916185504806820 ∙ 106	1.0000000000000185621249640629460291227629
102	9.3326215443944152681699256745840029426104 ∙ 10157	1.0000000000000000000000001916886187212923
103	4.0238726007709377354370243392300398649096 ∙ 102567	1.0000000000000000000000000000000000019175
104	2.8462596809170545189064132121198688901481 ∙ 1035659	1.0000000000000000000000000000000000000000
105	2.8242294079603478742934215780245355184775 ∙ 10456573	1.0000000000000000000000000000000000000000
106	8.2639316883312400623766461031726662911353 ∙ 105565708	1.0000000000000000000000000000000000000000
107	1.2024234005159034561401534879443075697677 ∙ 1065657059	1.0000000000000000000000000000000000000000
108	1.6172037949214623863387731856128040432924 ∙ 10756570556	1.0000000000000000000000000000000000000000
109	9.9046265792229937372808211050657043217172 ∙ 108565705522	1.0000000000000000000000000000000000000000
1010	2.3257962056730833651049447199498788053980 ∙ 1095657055186	1.0000000000000000000000000000000000000000
Vergelijkingstabel voor Stirling-Ve

x	x! (Stirling-Vf)	Stirling-Vf/Exact
100	9.9861768166621314121424712215264977935205 ∙ 10−1	0.9986176816662131412142471221526497793520
101	3.6287999999999977750222863742108597880833 ∙ 106	0.9999999999999993868557887935986716788148
102	9.3326215443944152681699238850287006958180 ∙ 10157	0.9999999999999999999999999999359269686005
103	4.0238726007709377354370243392300398571937 ∙ 102567	1.0000000000000000000000000000000000000000
104	2.8462596809170545189064132121198688901481 ∙ 1035659	1.0000000000000000000000000000000000000000
105	2.8242294079603478742934215780245355184775 ∙ 10456573	1.0000000000000000000000000000000000000000
106	8.2639316883312400623766461031726662911353 ∙ 105565708	1.0000000000000000000000000000000000000000
107	1.2024234005159034561401534879443075697677 ∙ 1065657059	1.0000000000000000000000000000000000000000
108	1.6172037949214623863387731856128040432924 ∙ 10756570556	1.0000000000000000000000000000000000000000
109	9.9046265792229937372808211050657043217172 ∙ 108565705522	1.0000000000000000000000000000000000000000
1010	2.3257962056730833651049447199498788053980 ∙ 1095657055186	1.0000000000000000000000000000000000000000
Vergelijkingstabel voor Stirling-Vf

x	x! (Stirling-Vg)	Stirling-Vg/Exact
100	1.0050396382651597092464658001088904577011 ∙ 100	1.0050396382651597092464658001088904577011
101	3.6288000000000001011761325280563329286022 ∙ 106	1.0000000000000000278814298192395097356157
102	9.3326215443944152681699238856269456666125 ∙ 10157	1.0000000000000000000000000000000295327031
103	4.0238726007709377354370243392300398571937 ∙ 102567	1.0000000000000000000000000000000000000000
104	2.8462596809170545189064132121198688901481 ∙ 1035659	1.0000000000000000000000000000000000000000
105	2.8242294079603478742934215780245355184775 ∙ 10456573	1.0000000000000000000000000000000000000000
106	8.2639316883312400623766461031726662911353 ∙ 105565708	1.0000000000000000000000000000000000000000
107	1.2024234005159034561401534879443075697677 ∙ 1065657059	1.0000000000000000000000000000000000000000
108	1.6172037949214623863387731856128040432924 ∙ 10756570556	1.0000000000000000000000000000000000000000
109	9.9046265792229937372808211050657043217172 ∙ 108565705522	1.0000000000000000000000000000000000000000
1010	2.3257962056730833651049447199498788053980 ∙ 1095657055186	1.0000000000000000000000000000000000000000
Vergelijkingstabel voor Stirling-Vg

x	x! (Stirling-Vh)	Stirling-Vh/Exact
100	9.7577459030245882262249835141660209899275 ∙ 10−1	0.9757745903024588226224983514166020989927
101	3.6287999999999999939427207633504491702488 ∙ 106	0.9999999999999999983307762244682675182564
102	9.3326215443944152681699238856266698815461 ∙ 10157	0.9999999999999999999999999999999999820495
103	4.0238726007709377354370243392300398571937 ∙ 102567	1.0000000000000000000000000000000000000000
104	2.8462596809170545189064132121198688901481 ∙ 1035659	1.0000000000000000000000000000000000000000
105	2.8242294079603478742934215780245355184775 ∙ 10456573	1.0000000000000000000000000000000000000000
106	8.2639316883312400623766461031726662911353 ∙ 105565708	1.0000000000000000000000000000000000000000
107	1.2024234005159034561401534879443075697677 ∙ 1065657059	1.0000000000000000000000000000000000000000
108	1.6172037949214623863387731856128040432924 ∙ 10756570556	1.0000000000000000000000000000000000000000
109	9.9046265792229937372808211050657043217172 ∙ 108565705522	1.0000000000000000000000000000000000000000
1010	2.3257962056730833651049447199498788053980 ∙ 1095657055186	1.0000000000000000000000000000000000000000
Vergelijkingstabel voor Stirling-Vh

Dit ziet er absoluut geweldig uit! Echter, we worden op dit punt verblind door ons eigen succes, want doordat de verhouding Stirling/Exact nu tot op heel veel cijfers achter de komma gelijk is aan één hebben we er geen zicht meer op hoe goed de Stirling-benadering echt is. Daarom ga ik vanaf nu kijken naar de relatieve fout: Of deze relatieve fout positief is (de Stirling-benadering zit dan boven de exacte waarde) of negatief is (de Stirling-benadering zit dan onder de exacte waarde) is nu even niet belangrijk en daarom neem ik de absolute waarde: En om direct te kunnen zien tot op hoeveel decimalen nauwkeurig de Stirling-benadering is, is het handig om ook nog de logaritme te nemen: Het resultaat van vergelijking (41) staat in onderstaande tabel:

x	Aantal termen
	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	Stirling-IV	Stirling-Va	Stirling-Vb	Stirling-Vc	Stirling-Vd	Stirling-Ve	Stirling-Vf	Stirling-Vg	Stirling-Vh
100	−1.11	−2.64	−3.30	−3.54	−3.51	−3.27	−2.86	−2.30	−1.62
101	−2.08	−5.56	−8.10	−10.23	−12.08	−13.73	−15.21	−16.55	−17.78
102	−3.08	−8.56	−13.10	−17.23	−21.07	−24.72	−28.19	−31.53	−34.75
103	−4.08	−11.56	−18.10	−24.23	−30.07	−35.72	−41.19	−46.53	−51.75
104	−5.08	−14.56	−23.10	−31.23	−39.07	−46.72	−54.19	−61.53	−68.75
105	−6.08	−17.56	−28.10	−38.23	−48.07	−57.72	−67.19	−76.53	−85.75
106	−7.08	−20.56	−33.10	−45.23	−57.07	−68.72	−80.19	−91.53	−102.75
107	−8.08	−23.56	−38.10	−52.23	−66.07	−79.72	−93.19	−106.53	−119.75
108	−9.08	−26.56	−43.10	−59.23	−75.07	−90.72	−106.19	−121.53	−136.75
109	−10.08	−29.56	−48.10	−66.23	−84.07	−101.72	−119.19	−136.53	−153.75
1010	−11.08	−32.56	−53.10	−73.23	−93.07	−112.72	−132.19	−151.53	−170.75
De logaritme van de absolute waarde van de relatieve fout

In bovenstaande tabel wordt duidelijk een lineair verband zichtbaar, dus de hoogste tijd voor een grafiek. Hier kunnen we natuurlijk rechte lijnen doorheen trekken. Voor een rechte lijn geldt in het algemeen: Omdat in bovenstaande grafiek een logaritmische horizontale schaalverdeling gebruikt is moeten we uitgaan van de logaritme van x: a is de richtingscoëfficiënt en een blik op de voorgaande tabel maakt duidelijk dat voor a moet gelden (n = het aantal termen): En daar moet dan ook nog een minteken voor, want we hebben te maken met dalende lijnen. Voor de y-waarde schrijven we tenslotte de relatieve fout E: De waarde van b lezen we af uit de voorgaande tabel (in combinatie met wat denkwerk) en dat levert dit resultaat op:

n	b
0	−1.08
1	−2.56
2	−3.10
3	−3.23
4	−3.07
5	−2.72
6	−2.19
7	−1.53
8	−0.75
b als functie van n

Hier maak ik ook even een grafiek van: Deze informatie over b stelt ons in staat om rechte lijnen toe te voegen in de voorgaande grafiek van de relatieve fout. In bovenstaande grafiek loopt x van 1 tot en met 10¹⁰ en het is wellicht illustratief om even in te zoomen op het linkerdeel van x = 1 tot en met x = 10. Voor grote waarden van x is b te verwaarlozen en kunnen we bij goede benadering stellen (waaruit nogmaals overduidelijk blijkt dat voor x = ∞ het antwoord exact wordt): Al dit rekenwerk brengt ons tenslotte bij het volgende eindoverzicht, een reeks benaderingen die uitstekende resultaten geeft en bestaande uit functies waarmee gemakkelijk en snel te werken is en die probleemloos differentieerbaar zijn:

Stirling-I
Stirling-II
Stirling-III
Stirling-IV
Stirling-Va
Stirling-Vb
Stirling-Vc
Stirling-Vd
Stirling-Ve
Stirling-Vf
Stirling-Vg
Stirling-Vh