Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 6
Trefwoorden: algemene relativiteitstheorie, Annalen der Physik, Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie/De grondslag van de algemene relativiteitstheorie, Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften/Koninklijke Pruisische Academie der Wetenschappen
Hoofdstuk B:
Wiskundige hulpmiddelen voor de opstelling van algemeen covariante vergelijkingen.
Paragraaf 6:
Tensoren van tweede en hogere rang.
In paragraaf 5
hebben we het uitgebreid gehad over vectoren en hoe die transformeren als we overgaan van het ene
coördinatenstelsel naar het andere coördinatenstelsel.
In paragraaf 4
heb ik al verteld wat een vector is en wat die voorstelt, maar over bewerkingen met vectoren heb ik tot nu toe nog
met geen woord gerept.
Nu is het een goed moment om dat te gaan veranderen.
Stel dat ik twee vectoren heb, A (a1, a2, a3, a4) en B (b1,
b2, b3, b4) (vectoren worden vet gedrukt en tussen haakjes staan de componenten).
Vervolgens kunnen we uit die twee vectoren A en B de tensor C bouwen als volgt (tensoren worden normaliter niet
vet gedrukt):
Wiskundige hulpmiddelen voor de opstelling van algemeen covariante vergelijkingen.
Paragraaf 6:
Tensoren van tweede en hogere rang.

Allereerst is er het inwendig product, ook wel genoemd het inproduct, scalair product of het cosinus product. Dit product wordt aangegeven met een punt tussen de vectoren (daarom lees je in Engelse literatuur ook wel de term dot product, dot is Engels voor punt). Het resultaat van het inwendig product is simpelweg een getal, en omdat scalar een ander woord voor getal is praten we ook wel over scalair product. De definitie van het inwendig product is:

Hierin is φ de hoek tussen de twee vectoren. Als α de hoek is die A met de x-as maakt en β de hoek die B met de x-as maakt, dan is φ = α − β. | A | is de lengte van de vector A, dus wat je meet als je er een duimstok langs legt. Of netjes gezegd: | A | is de absolute waarde van de vector A. En | B | is dan uiteraard de absolute waarde van de vector B. Met behulp van de stelling van Pythagoras volgt dan (ervan uitgaande dat we een orthogonaal assenstelsel hebben, dus dat de assen loodrecht op elkaar staan, want anders mogen we Pythagoras niet gebruiken):




Figuur 6.1


Vervolgens is er het uitwendig product, ook wel genoemd het uitproduct, vector product of het sinus product. Dit product wordt aangegeven met een kruisje tussen de vectoren (daarom lees je in Engelse literatuur ook wel de term cross product). Het resultaat van het uitwendig product is een vector, vandaar de naam vector product. De definitie van het uitwendig product is:

De logische volgende vraag is dan natuurlijk hoe je het uitwendig product in de praktijk uitrekent, want je weet sin φ niet (maar die is eventueel te berekenen met vergelijking (6.5)) en je weet n niet.
Wel, kijk en huiver (dit ziet er best wel ingewikkeld uit), maar we hoeven dit maar één keer te doen. Daarna weten we het voor alle volgende keren. Het uitgangspunt bestaat uit twee vectoren A en B met ieder drie componenten, (a1, a2, a3) en (b1, b2, b3), in een orthogonale vectorbasis i, j, k. Deze i, j, k kun je zien als de assen van het coördinatenstelsel en orthogonaal wil zeggen dat ze allemaal loodrecht op elkaar staan. Ik dien hier nog wel te vermelden dat bij een vectorbasis bestaande uit eenheidsvectoren officieel de term orthonormaal gebruikt wordt, maar bij het woord orthogonaal weet iedereen ook heus wel waarover je het hebt. Orthogonaal betekent dat de assen loodrecht op elkaar staan en dit is ook het geval bij een orthonormaal stelsel, maar een orthonormaal stelsel kent tevens de eis dat de basisvectoren allemaal eenheidsvectoren zijn. Het uitwendig product is dan:










Symbolische aanduiding | Naam | Resultaat |
![]() |
inwendig product of inproduct of scalair product of cosinus product of dot product (Engels) |
Scalar (getal):![]() |
![]() |
uitwendig product of uitproduct of vector product of sinus product of cross product (Engels) |
Vector:![]() |
![]() |
dyadisch product of directe product of tensor product of outer product (Engels) |
Tensor:![]() |
Tabel 6.1 |
Maar wat heb je hier nou allemaal aan? Laten we om te beginnen eens een plaatje bekijken om het inwendig product aanschouwelijk te maken.

Figuur 6.2
Laten we nu eens naar een plaatje kijken om meer inzicht te krijgen in het uitwendig product.

Figuur 6.3
Tja, en dan die tensoren, hoe maak je die nou duidelijk? Stel je wilt ergens op een bepaald punt in huis de temperatuur weergeven. Nou, dat is simpelweg een getalletje. En als je dat voor de hele keukentafel zou willen doen, dan kun je de hele keukentafel volschrijven met getalletjes en ieder getalletje geeft aan wat op dat punt de temperatuur is van het tafelblad. En stel je vervolgens eens voor dat je ergens de zwaartekracht wilt weergeven. Zwaartekracht heeft een bepaalde sterkte maar ook een richting. Zwaartekracht geef je dus aan met een vector. De richting van de vector geeft aan in welke richting de zwaartekracht werkt en de lengte van de vector geeft aan hoe sterk de zwaartekracht daar is. En als je dat wilt doen voor de keukentafel, dan teken je de hele keukentafel vol met pijltjes en kun je trots tegen je moeder vertellen hoe de zwaartekracht in jullie keuken zich gedraagt daar waar de keukentafel staat (al vrees ik dat je moeder daar niet blij mee zal zijn). Wellicht is de keukentafel een houten tafel waarvan het tafelblad bestaat uit afzonderlijke planken. Omdat er weleens met eten wordt gemorst zijn de planken hier en daar vochtig en er ontstaan daardoor spanningen in het tafelblad. De planken schuren langs elkaar, werken zich omhoog of gaan juist krom staan naar beneden toe. Elk punt van het tafelblad is een mini-wereldje op zich waar getrokken, geduwd en langs elkaar geschuurd wordt. Dit krachtenspel leggen we systematisch vast middels een tensor.

Figuur 6.4

Het gaat te ver om hier de complete tensorwiskunde te behandelen, daarom laat ik het hier bij voor wat betreft het tensor product. Geloof me, het tensor product is waardevol.
Maar dit is wel een goed moment om naar de essentie van tensoren toe te gaan. De spanningstensor die ik net beschreven heb geeft de spanningen weer onafhankelijk van het coördinatenstelsel. De componenten van de tensor zijn natuurlijk wel afhankelijk van het coördinatenstelsel, maar wanneer ik overstap van het ene coördinatenstelsel naar het andere dan kan ik die componenten volgens de transformatieregels uit paragraaf 5 omrekenen. Indien de componenten niet op deze manier transformeren dan heb ik niet te maken met een tensor! Ik vertelde net dat een scalar (een getal) te zien is als een tensor van rang nul. Hierbij moet de belangrijke aantekening gemaakt worden dat een tensor van rang nul altijd een scalar is, maar een scalar niet altijd een tensor is.
Neem bijvoorbeeld de temperatuur. De temperatuur is ‘gewoon’ een getal (temperatuur heeft geen richting), een scalar dus. Waarnemer Jan staat voor een spoorwegovergang te wachten en waarnemer Piet zit in de trein die langskomt. Dit zijn twee coördinatenstelsels die bewegen ten opzichte van elkaar, maar de temperatuur die Jan en Piet meten op een bepaald punt is precies gelijk, dus de temperatuur is een tensor van rang nul. De spoorbomen zijn dicht, omdat de trein met Piet erin langskomt, en de bellen bij de spoorwegovergang rinkelen. De frequentie van het geluid van die bellen is ook een scalar, maar Jan hoort een constante frequentie terwijl Piet de frequentie eerst hoort toenemen (wanneer de trein de spoorwegovergang nadert) en daarna hoort hij de frequentie afnemen (wanneer de trein de spoorwegovergang gepasseerd is en zich van de spoorwegovergang verwijdert). Frequentie is dus geen tensor van rang nul.
De afstand tussen de spoorbomen aan weerszijden van de spoorwegovergang is voor te stellen als een vector, maar dit is geen tensor van de eerste rang omdat deze afstand voor Jan en Piet niet gelijk is (lengtecontractie). De ruimtetijdafstand tussen Jan en Piet is ook voor te stellen als een vector en dit is wel een tensor van de eerste rang, want die is voor Jan en Piet gelijk. Als een beschrijving van ‘iets’ onafhankelijk is van het coördinatenstelsel van waaruit beschreven wordt, dan hebben we te maken met een tensor. In alle andere gevallen degradeert de beschrijving tot slechts een getal of een matrix.
Nu kunnen we de draad weer oppakken van het artikel van Einstein. Hij laat het tensor product los op twee viervectoren (vectoren met vier componenten):

Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:


Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:


Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:


Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:

Het begint een beetje flauw te worden, maar een tensor van de tweede rang kan natuurlijk ook gevormd worden door het tensor product van een covariante vector en een contravariante vector:

Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:


Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:

Een tensor waarbij twee willekeurige indices verwisseld kunnen worden, zonder dat de inhoud verandert, heet een symmetrische tensor. Voor een tensor van de tweede rang betekent dit dat de componenten gespiegeld kunnen worden ten opzichte van de hoofddiagonaal (of kortweg: diagonaal). In formulevorm ziet een dergelijke spiegelsymmetrie er als volgt uit:

Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:


Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:






Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:


Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:


Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:






Bij anti-symmetrische tensoren zijn de componenten met twee gelijke indices dus altijd nul. Einstein noemt het dat die componenten ‘verdwijnen’. Ze zijn er natuurlijk wel, maar ze hebben de waarde nul. Van de 16 componenten van een anti-symmetrische tensor zijn er dus vier componenten gelijk aan nul (de componenten op de hoofddiagonaal), en de overige twaalf componenten bestaan uit zes paren waarbij voor elk componentenpaar geldt Aωλ = − Aλω. Einstein zegt dat er aldus (maximaal) slechts zes numeriek verschillende componenten zijn (zes getallen die gelijk zijn afgezien van hun teken).
Het aantal componenten van een tensor is ‘het aantal dimensies’ tot de macht ‘de rang van de tensor’. In de ruimtetijd zijn er vier dimensies. Een tensor van de tweede rang heeft dus 42 = 16 componenten. Een tensor van de derde rang heeft dan 43 = 64 componenten. Einstein beweert dat een dergelijke tensor, indien die anti-symmetrisch is, slechts vier numeriek verschillende componenten bezit. Dat gaan we natuurlijk effe checken. Ja, ik weet het, dit is totaal niet relevant voor ons verhaal over relativiteitstheorie, maar wij laten ons toch niet kisten door zo’n wiskundig geintje van Einstein? En we kunnen dit nu wel laten zitten, maar dan liggen we er vannacht toch wakker van, daarom los ik het nu maar gelijk op.
Laat ik eerst alle componenten ‘even’ opschrijven:






Vervolgens roept Einstein ook nog dat een anti-symmetrische tensor van de vierde rang met vier dimensies slechts één numerieke waarde kent. Dat controleren we dan ook nog maar even (want we willen vannacht wel lekker slapen toch?). Ik schrijf eerst alle 44 = 256 componenten op:



En voor anti-symmetrische tensoren met een rang hoger dan vier? Niet schrikken, dat ga ik heus niet uitschrijven. Omdat we het hier over vier dimensies hebben is er in dat geval geen enkele component waarvan er niet minstens twee indices gelijk zijn. Oftewel, een dergelijke tensor bestaat niet (alle componenten zijn nul). Pas als het aantal dimensies minstens zo groot is als de rang van de tensor wordt het pas weer een zinvolle oefening. Maar zoals je hebt gezien neemt het schrijfwerk exponentieel toe met het aantal dimensies. Een tensor van de vijfde rang met vijf dimensies heeft 55 = 3125 componenten...