Dit is de differentiaalvergelijking van de geodetische lijn van een lichtstraal rondom een puntmassa (voor de afleiding zie dit vraagstuk): Hierin is u de reciproke van de radiële afstand r:

En R_s is de Schwarzschild-straal, de horizon van een zwart gat:

Het slechte nieuws is: er is geen exacte oplossing bekend van deze differentiaalvergelijking. Het goede nieuws is: in de wiskunde zijn we niet voor één gat te vangen. Wanneer ik in vergelijking (1) de term aan de rechterkant weglaat dan blijft dit over:

Vergelijking (4) is het newtoniaanse equivalent en de term aan de rechterkant is dus een relativistische correctie. Relativistische correcties zijn doorgaans (heel) klein en worden pas significant in extreme situaties zoals bij neutronensterren en zwarte gaten. We zien het ook aan de aanwezigheid van R_s in die term, want R_s is in ‘gewone’ gevallen heel klein zoals uit onderstaande tabel blijkt (R is de straal van het betreffende hemellichaam, voor de gegevens van de hemellichamen zie de tabel met fysische gegevens).

Gerangschikt naar oplopende waarden van Rs/R
Hemellichaam:	Rs/R:
Baksteen	≈ 0.00000000000000000000000003 = 3 ∙ 10−26
Rotsblok van 100 kg, (diameter = 1 meter)	≈ 0.0000000000000000000000003 = 3 ∙ 10−25
Pluto	0.0000000000163 = 1.63 ∙ 10−11
Maan	0.0000000000628 = 6.28 ∙ 10−11
Mercurius	0.000000000201 = 2.01 ∙ 10−10
Mars	0.000000000281 = 2.81 ∙ 10−10
Venus	0.00000000119 = 1.19 ∙ 10−9
Aarde	0.00000000139 = 1.39 ∙ 10−9
Uranus	0.00000000504 = 5.04 ∙ 10−9
Neptunus	0.00000000614 = 6.14 ∙ 10−9
Saturnus	0.0000000140 = 1.40 ∙ 10−8
Jupiter	0.0000000394 = 3.94 ∙ 10−8
Canis Majoris	≈ 0.00000005 = 5 ∙ 10−8
Betelgeuse	≈ 0.0000001 = 1 ∙ 10−7
Aldebaran	≈ 0.0000001 = 1 ∙ 10−7
Zon	0.00000425 = 4.25 ∙ 10−6
Andromeda	≈ 0.000006 = 6 ∙ 10−6
Witte dwerg	≈ 0.0005 = 5 ∙ 10−4
Neutronenster	≈ 0.5 = 5 ∙ 10−1
Zwart gat	1 = 1 ∙ 100
(Credits voor de foto’s van de hemellichamen: NASA)

De oplossing van vergelijking (4) is simpel en overbekend, dat is de sinus, of de cosinus, of een combinatie van beide, dat is een kwestie van je assenstelsel roteren, maar dat maakt hier niet uit want we hebben bolsymmetrie. De lichtstraal komt ergens van ‘ver weg’ en de loodrechte afstand van dit begintraject tot een as precies door het middelpunt van het hemellichaam is de impactparameter (of in beter Nederlands: inslagparameter) b. Aldus kan ik als newtoniaanse oplossing of niet-relativistische oplossing of nulde orde oplossing (net hoe je het noemen wilt) schrijven: Merk op dat dit de vergelijking is van een rechte lijn, want in poolcoördinaten geldt: De sinus kan ik schrijven als functie van de tangens: Met al deze ingrediënten wordt vergelijking (5): Hetgeen een perfecte horizontale rechte lijn is. Omdat de term aan de rechterkant van vergelijking (1) klein is zal het exacte antwoord maar een klein beetje afwijken van vergelijking (5) en dus is het een goed idee om vergelijking (5) als startpunt te nemen en vervolgens naar een nauwkeuriger antwoord toe te werken. Daarom ga ik eerst een sinus invullen aan de rechterkant in vergelijking (1): Vervolgens ga ik wat proberen, zoals meestal met differentiaalvergelijkingen, met een antwoord dat in de buurt ligt van vergelijking (5) door nog wat termen toe te voegen (met A, B en C als nog te bepalen parameters): De afgeleide hiervan is: En de tweede afgeleide is: De vergelijkingen (10) en (12) vul ik in in vergelijking (9): Hieruit volgt door termen met gelijke exponenten te vergelijken: De waarde van B maakt uiteraard niets uit, want dat is de term die er per definitie uitvalt (de rechte lijn). Door de gevonden waarden van A en C in te vullen (voor B vul ik simpelweg nul in) in vergelijking (10) heb ik een nauwkeuriger antwoord gevonden (nauwkeuriger dan alleen maar de sinus van vergelijking (5)). Het eindresultaat is dus de combinatie van de vergelijkingen (5) en (10): Dit ga ik wat reorganiseren: Met behulp van de abc-formule vind ik een oplossing voor sin φ:

Ik ga de wortel ontwikkelen in een reeks. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

Dit vul ik in in vergelijking (17), waarbij ik alleen de eerste twee termen meeneem (want ik zoek een eerste orde benadering): Moet ik nu het plusteken gebruiken of het minteken? Ik keer daarvoor terug naar vergelijking (16) en ik laat de kwadratische term even weg: Door de vergelijkingen (19) en (20) te vergelijken is het duidelijk dat ik het minteken moet gebruiken. Vergelijking (19) wordt dus: Hiervan neem ik de limiet voor r gaat naar oneindig: Zoals vergelijking (6a) al aangaf is φ de boogtangens van y/x: En vergelijking (7) liet zien dat ik de sinus kan schrijven als functie van de tangens: Hiermee wordt vergelijking (22): R_s en r zijn beide per definitie positief, en b kies ik positief, dus aan beide ‘uiteinden’ (waar r naar oneindig gaat) is y negatief (logisch, want de lichtstraal buigt af richting de massa in de oorsprong). Of anders gezegd: sin φ is negatief en daarmee ook de hoek φ, want waar r naar oneindig gaat zit φ in de buurt van nul respectievelijk π. Ik ga de sinus ook ontwikkelen in een reeks. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we: In een eerste orde benadering is sin φ dus gelijk aan φ: De afbuiging van de lichtstraal is dus tweemaal het resultaat van vergelijking (22): Of iets anders opgeschreven (en het teken interesseert me nu even niet):