De gammafunctie
- Definitie van de gammafunctie
- De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
- Het bijzondere geval z = 1.5
- Numerieke bepaling van de gammafunctie
- Minima en maxima
- Negatieve argumenten
- Complexe argumenten
- Vergelijking met de formule van Stirling
- Eigenschappen van de gammafunctie
Definitie van de gammafunctie
- Definitie van de gammafunctie
- De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
- Het bijzondere geval z = 1.5
- Numerieke bepaling van de gammafunctie
- Minima en maxima
- Negatieve argumenten
- Complexe argumenten
- Vergelijking met de formule van Stirling
- Eigenschappen van de gammafunctie
Om te beginnen gooi ik de volgende
integraal erin:
Ik ga deze
integraal eens uitrekenen voor
verschillende waarden van x, ik begin met x = 0:
Nu ga ik de
integraal
uitrekenen voor x = 1, x = 2, x = 3 en x = 4 waarbij ik gebruik maak van
partieel integreren:
De regelmaat moge duidelijk zijn:
Hierin is x! de
faculteitsfunctie:
Ik stel:
Hiermee wordt vergelijking (1):
Om allerlei goede en slechte redenen heeft vergelijking (6) tot de definitie van de gammafunctie geleid
(en niet vergelijking (3)):
Je zult dus altijd even moeten nadenken in verband met dat eentje, want voor de functie G (x) geldt:
Terwijl voor de gammafunctie geldt:
De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
- Definitie van de gammafunctie
- De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
- Het bijzondere geval z = 1.5
- Numerieke bepaling van de gammafunctie
- Minima en maxima
- Negatieve argumenten
- Complexe argumenten
- Vergelijking met de formule van Stirling
- Eigenschappen van de gammafunctie
Uit de definitie van de gammafunctie volgt direct:
Oftewel:
De gammafunctie is dus een mooie vervanger voor de
faculteitsfunctie:
Ik zet er de
faculteitsfunctie even onder:
De
faculteitsfunctie
volgens vergelijking (11) is lastig, het is een buitenbeentje, omdat die zich niet zomaar laat
differentiëren
of
integreren
zoals bijvoorbeeld een
sinus
of een
logaritme.
De
faculteitsfunctie
bestaat alleen voor positieve gehele getallen terwijl de gammafunctie ook alle tussenliggende gaten opvult (voor alle
argumenten
die geen geheel positief getal zijn).
Dat gezegd hebbende wil ik direct opmerken dat we voor het uitrekenen van de gammafunctie, voor een
argument
dat geen positief geheel getal is, terug moeten vallen op numerieke methoden (bijvoorbeeld de
trapeziummethode).
Dus, stel dat ik de gammafunctie wil uitrekenen voor z = 6.378 (ik noem maar wat), dan geldt (zie vergelijking (8)):
Ik kan dus altijd op een simpele manier het probleem reduceren tot de berekening van de gammafunctie met een
argument
in het interval [1, 2].
Wanneer ik een tabel aanleg met ‘alle’ getallen van één tot en met twee (met een gewenste nauwkeurigheid) en de
bijbehorende waarden van de gammafunctie (met een gewenste nauwkeurigheid) dan kan ik met behulp van die tabel
(zie
deze pagina) in een handomdraai de gammafunctie uitrekenen
voor andere
argumenten
(waarbij het niet letterlijk altijd in een handomdraai gaat, want indien z = 1000000000.378
(dus heel groot) dan heeft ook een computer wel even tijd nodig).
Laat ik eens een grafiek maken van de gammafunctie voor dit belangrijke interval [1, 2].
De grafiek van Γ (z)
De waarde van Γ (1.378) = 0.88868490439649763942, dus Γ (6.378) = 260.625717668398368 × 0.88868490439649763942 =
231.61414098940918932750.
En dit ligt ergens tussen 5! (= 120) en 6! (= 720) in zoals het zou moeten.
Volgens de methode van vergelijking (12) kan ik bovenstaande grafiek heel eenvoudig naar rechts uitbreiden.
De grafiek van Γ (z)
Het bijzondere geval z = 1.5
- Definitie van de gammafunctie
- De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
- Het bijzondere geval z = 1.5
- Numerieke bepaling van de gammafunctie
- Minima en maxima
- Negatieve argumenten
- Complexe argumenten
- Vergelijking met de formule van Stirling
- Eigenschappen van de gammafunctie
Een bijzonder geval is Γ (1.5):
Ik stel:
Hiermee wordt vergelijking (13):
Deze
integraal is bekend, die zoek ik op in de
tabel met integralen:
Numerieke bepaling van de gammafunctie
- Definitie van de gammafunctie
- De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
- Het bijzondere geval z = 1.5
- Numerieke bepaling van de gammafunctie
- Minima en maxima
- Negatieve argumenten
- Complexe argumenten
- Vergelijking met de formule van Stirling
- Eigenschappen van de gammafunctie
z = 1.5 is de enige waarde tussen z = 1 en z = 2 waarvoor de gammafunctie exact te bepalen is, voor alle andere
waarden van z moet ik toch echt terugvallen op numerieke methoden.
Ik noemde al de trapeziummethode, maar beter is het om
de integraal van de gammafunctie aan te pakken
door de e-macht om te zetten in een
Taylor-reeks.
In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:
Hiermee wordt de gammafunctie:
In eerste instantie lijkt dit wellicht een hopeloze zaak, want ik heb oneindig veel termen waarin ik tot overmaat
van ramp ook nog voor t oneindig in moet vullen.
Echter, zo hopeloos is de situatie niet want de reeks
convergeert
en het aantal termen die ik mee moet nemen is afhankelijk van de nauwkeurigheid die ik wens.
Het
convergeren van de reeks begint wanneer de termen uitdoven
als het ware, dus als een term voor grote waarden van n kleiner is dan de voorgaande term (in
absolute waarden gesproken uiteraard):
Dit moet kleiner dan één zijn, dus het aantal termen (= n) moet de waarde van t zeker overstijgen.
Verder weet ik dat z maximaal gelijk aan twee is (voor alle hogere waarden van z kan ik de gammafunctie
immers uitrekenen volgens vergelijking (12)):
Minima en maxima
- Definitie van de gammafunctie
- De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
- Het bijzondere geval z = 1.5
- Numerieke bepaling van de gammafunctie
- Minima en maxima
- Negatieve argumenten
- Complexe argumenten
- Vergelijking met de formule van Stirling
- Eigenschappen van de gammafunctie
De
integrand van de gammafunctie is:
De grafiek van f (t) = t
z − 1 e
−t voor z = 1.0 (de rode lijn),
z = 1.1 (de lichtgroene lijn), z = 1.2 (de oranje lijn),
z = 1.3 (de paarse lijn), z = 1.4 (de blauwe lijn),
z = 1.5 (de grijze lijn), z = 1.6 (de bruine lijn),
z = 1.7 (de lichtbruine lijn), z = 1.8 (de donkergroene lijn),
z = 1.9 (de gele lijn) en z = 2.0 (de lichtblauwe lijn)
De
afgeleide hiervan is:
Deze
afgeleide stel ik gelijk aan nul
om het
maximum te bepalen:
De tweede en de derde oplossing zijn
minima, maar de eerste oplossing is die
waar ik naar op zoek ben.
De
functiewaarde
van de
integrand
ter plaatse van het
maximum
is:
Dus de
integrand voor z = 2 is maximaal
e
−1 = 1/e = 0.367879.
Wanneer ik t dan laat lopen van nul tot 250 (e
−230 ≈ 10
−100,
dus met t = 250 zit ik ruimschoots onder de 10
−100) en ik ga vervolgens met n daar
ruim boven zitten (bijvoorbeeld n = 1000) dan zit ik gebeiteld.
Met het resultaat van vergelijking (18) kan ik nog meer zinvolle dingen doen, ik kan bijvoorbeeld de
afgeleide bepalen:
Want zoals onderstaande grafiek aangeeft heeft de gammafunctie een
(lokaal) minimum
in de buurt van z = 1.46.
De grafiek van Γ (z)
Door mijn computer weer aan het werk te zetten vind ik dat het
minimum
ligt bij z =
1.46163214496836234126265954232572132846819620400645 en de
functiewaarde
daar is
0.8856031944108887002788159005825887332079515336699034488712001658751362274173963466647982802142035948.
Negatieve argumenten
- Definitie van de gammafunctie
- De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
- Het bijzondere geval z = 1.5
- Numerieke bepaling van de gammafunctie
- Minima en maxima
- Negatieve argumenten
- Complexe argumenten
- Vergelijking met de formule van Stirling
- Eigenschappen van de gammafunctie
Een logische vraag is waarom we de gammafunctie doorgaans aangeven met een z als
argument
en niet met een x.
Dat komt omdat, in tegenstelling tot de officiële
faculteitsfunctie,
het
argument
niet beperkt is tot de positieve gehele getallen.
Ieder positief
reëel
getal kan als
argument
dienen, maar ook ieder negatief getal.
Dus, stel dat ik de gammafunctie wil uitrekenen voor z = −6.378 (ik noem maar wat), dan geldt
(zie vergelijking (8)):
Dit alles samengevoegd geeft:
De waarde van Γ (1.622) = 0.89618159003596643527, dus Γ (−6.378) = 0.89618159003596643527 / (−390.826467828891055105208064) =
−0.0022930422164456028334.
Op deze manier kan ik de grafiek van de gammafunctie ook heel eenvoudig naar links uitbreiden.
De grafiek van Γ (z)
Of met een wat andere verticale schaalverdeling.
De grafiek van Γ (z)
Zoals bovenstaande grafiek laat zien is voor gehele negatieve getallen de uitkomst altijd oneindig:
Hoe je het ook wendt of keert, voor ieder geheel negatief getal krijg je gedeeld door nul en dat levert oneindig op.
Complexe argumenten
- Definitie van de gammafunctie
- De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
- Het bijzondere geval z = 1.5
- Numerieke bepaling van de gammafunctie
- Minima en maxima
- Negatieve argumenten
- Complexe argumenten
- Vergelijking met de formule van Stirling
- Eigenschappen van de gammafunctie
De gammafunctie kan niet alleen met negatieve
argumenten
overweg, maar het
argument
mag ook een
complex getal
zijn:
Dan is het vervolgens weer een kwestie van de computer aan het werk zetten om de goede uitkomsten te vinden.
Vergelijking met de formule van Stirling
- Definitie van de gammafunctie
- De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
- Het bijzondere geval z = 1.5
- Numerieke bepaling van de gammafunctie
- Minima en maxima
- Negatieve argumenten
- Complexe argumenten
- Vergelijking met de formule van Stirling
- Eigenschappen van de gammafunctie
Ik noemde al dat de gammafunctie een mooie vervanger is voor de
faculteitsfunctie:
Dat is op zich waar, want de
faculteitsfunctie
volgens vergelijking (11) laat zich niet zomaar
differentiëren
of
integreren en bovendien is de
faculteitsfunctie niet continu (hij bestaat alleen voor
positieve gehele getallen).
De andere kant van het verhaal is dat ook de gammafunctie voor grote getallen een heleboel rekenwerk met zich
meebrengt, terwijl de formule van Stirling
altijd snel tot een antwoord leidt:
De
formule van Stirling is probleemloos
te
differentiëren en het aantal juiste decimalen is 17 log x
(indien je alle bovenstaande termen meeneemt, dus voor x = 1000 heb je al een nauwkeurigheid van 17 log 1000 =
17 ∙ 3 = meer dan vijftig cijfers goed!).
Eigenschappen van de gammafunctie
- Definitie van de gammafunctie
- De gammafunctie als vervanger voor de faculteitsfunctie
- Het bijzondere geval z = 1.5
- Numerieke bepaling van de gammafunctie
- Minima en maxima
- Negatieve argumenten
- Complexe argumenten
- Vergelijking met de formule van Stirling
- Eigenschappen van de gammafunctie
We vonden al deze essentiële eigenschap van de gammafunctie:
Maar de gammafunctie kent meer eigenschappen en de volgende is een hele belangrijke.
Dit is de definitie van de gammafunctie:
Dan geldt uiteraard:
De variabele t is een dummy variabele, ik mag daarvoor ook iedere andere naam gebruiken, bijvoorbeeld ut:
En ik mag probleemloos doen alsof t een of andere constante is en u de
integratievariabele:
Vervolgens ga ik de vergelijkingen (31) en (34) met elkaar vermenigvuldigen:
Integreren naar t is nu simpel dus dat ga ik doen:
De oplossing van deze
integraal
zoek ik op in de
tabel met integralen.
Dat brengt ons bij dit resultaat:
Wanneer ik vervolgens nog bedenk dat (voortbordurend op vergelijking (9)):
Hiermee kan ik vergelijking (37) anders opschrijven en kom ik tot de reflectieformule van Euler:
Dit heet een reflectieformule, omdat het een relatie geeft tussen twee
functiewaarden
(van dezelfde functie) indien het
argument
van teken wisselt.
Indien z een
complex getal is dan
wordt de gammafunctie:
Voor de
complex geconjugeerde
van z wordt de gammafunctie:
Ik vergelijk de bovenstaande twee vergelijkingen:
Hieruit blijkt dat de gammafunctie van het
complex geconjugeerde
argument
gelijk is aan de
complex geconjugeerde
gammafunctie van het
niet-
complex geconjugeerde
argument.
Of anders gezegd: wanneer het
argument
complex conjugeert
dan doet de
functiewaarde
dat ook:
Dit leidt ons naar de volgende eigenschap indien z zuiver
imaginair is (het
reële deel van z is dan nul):
In dat geval wordt de reflectieformule van Euler:
En wanneer ik daar de
absolute waarde
van neem krijg ik:
Samengevat, dit is de essentiële eigenschap van de gammafunctie:
De reflectieformule van Euler:
Die zie je vaak in deze vorm, maar dan is het strikt genomen geen reflectieformule meer:
De gammafunctie van het
complex geconjugeerde
argument
is gelijk aan de
complex geconjugeerde
gammafunctie van het
niet-
complex geconjugeerde
argument:
Indien z zuiver
imaginair is geldt:
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integralen van
De integralen van
Vectoren, vraagstuk 16
Vectoren, vraagstuk 61
Vraagstukken xref voor de UT
De Taylor-reeks van
De Taylor-reeks van
De stelling van Stokes
De gammafunctie
Holomorfie van de functie
Relativiteitstheorie rekenkundig, hoofdstuk 2: de lichtsnelheid
De snelheid van een meertrapsraket
Optellen van snelheden zonder invariantie van de lichtsnelheid
De tweelingparadox
Het Casimir-effect
Als je je hart laat spreken én je luistert, wat hoor je dan?
De illusie dat het allemaal niet zo’n vaart zal lopen
Voorouderschap
De Natuur spreekt: Sky/De Lucht
Reacties op lezingen
Gravitationele rood-/blauwverschuiving
Getijdenkrachten
Zijn wij vroeg of laat?
De Einstein-Rosen-brug
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt
De buitenkant van een wormgat
De integraal van
De astroïde
Het waarneembare universum
Wat is een wormgat?
Overzichtspagina wiskunde
Overzichtspagina natuurkunde
Overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen