Om te beginnen gooi ik de volgende integraal erin: Ik ga deze integraal eens uitrekenen voor verschillende waarden van x, ik begin met x = 0: Nu ga ik de integraal uitrekenen voor x = 1, x = 2, x = 3 en x = 4 waarbij ik gebruik maak van partieel integreren: De regelmaat moge duidelijk zijn: Hierin is x! de faculteitsfunctie: Ik stel: Hiermee wordt vergelijking (1): Om allerlei goede en slechte redenen heeft vergelijking (6) tot de definitie van de gammafunctie geleid (en niet vergelijking (3)): Je zult dus altijd even moeten nadenken in verband met dat eentje, want voor de functie G (x) geldt: Terwijl voor de gammafunctie geldt: Uit de definitie van de gammafunctie volgt direct: Oftewel: De gammafunctie is dus een mooie vervanger voor de faculteitsfunctie: Ik zet er de faculteitsfunctie even onder: De faculteitsfunctie volgens vergelijking (11) is lastig, het is een buitenbeentje, omdat die zich niet zomaar laat differentiëren of integreren zoals bijvoorbeeld een sinus of een logaritme. De faculteitsfunctie bestaat alleen voor positieve gehele getallen terwijl de gammafunctie ook alle tussenliggende gaten opvult (voor alle argumenten die geen geheel positief getal zijn). Dat gezegd hebbende wil ik direct opmerken dat we voor het uitrekenen van de gammafunctie, voor een argument dat geen positief geheel getal is, terug moeten vallen op numerieke methoden (bijvoorbeeld de trapeziummethode). Dus, stel dat ik de gammafunctie wil uitrekenen voor z = 6.378 (ik noem maar wat), dan geldt (zie vergelijking (8)): Ik kan dus altijd op een simpele manier het probleem reduceren tot de berekening van de gammafunctie met een argument in het interval [1, 2]. Wanneer ik een tabel aanleg met ‘alle’ getallen van één tot en met twee (met een gewenste nauwkeurigheid) en de bijbehorende waarden van de gammafunctie (met een gewenste nauwkeurigheid) dan kan ik met behulp van die tabel (zie deze pagina) in een handomdraai de gammafunctie uitrekenen voor andere argumenten (waarbij het niet letterlijk altijd in een handomdraai gaat, want indien z = 1000000000.378 (dus heel groot) dan heeft ook een computer wel even tijd nodig). Laat ik eens een grafiek maken van de gammafunctie voor dit belangrijke interval [1, 2]. De waarde van Γ (1.378) = 0.88868490439649763942, dus Γ (6.378) = 260.625717668398368 × 0.88868490439649763942 = 231.61414098940918932750. En dit ligt ergens tussen 5! (= 120) en 6! (= 720) in zoals het zou moeten. Volgens de methode van vergelijking (12) kan ik bovenstaande grafiek heel eenvoudig naar rechts uitbreiden. Een bijzonder geval is Γ (1.5): Ik stel: Hiermee wordt vergelijking (13): Deze integraal is bekend, die zoek ik op in de tabel met integralen:

Dit is de enige waarde tussen z = 1 en z = 2 die exact te bepalen is, voor alle andere waarden van z moet ik toch echt terugvallen op numerieke methoden. Ik noemde al de trapeziummethode, maar beter is het om de integraal van de gammafunctie aan te pakken door de e-macht om te zetten in een Taylor-reeks. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

Hiermee wordt de gammafunctie: In eerste instantie lijkt dit wellicht een hopeloze zaak, want ik heb oneindig veel termen waarin ik tot overmaat van ramp ook nog voor t oneindig in moet vullen. Echter, zo hopeloos is de situatie niet want de reeks convergeert en het aantal termen die ik mee moet nemen is afhankelijk van de nauwkeurigheid die ik wens. Het convergeren van de reeks begint wanneer de termen uitdoven als het ware, dus als een term voor grote waarden van n kleiner is dan de voorgaande term (in absolute waarden gesproken uiteraard): Dit moet kleiner dan één zijn, dus het aantal termen (= n) moet de waarde van t zeker overstijgen. Verder weet ik dat z maximaal gelijk aan twee is (voor alle hogere waarden van z kan ik de gammafunctie immers uitrekenen volgens vergelijking (12)): De integrand van de gammafunctie is: De afgeleide hiervan is: Deze afgeleide stel ik gelijk aan nul om het maximum te bepalen: De tweede en de derde oplossing zijn minima, maar de eerste oplossing is die waar ik naar op zoek ben. De functiewaarde van de integrand ter plaatse van het maximum is: Dus de integrand voor z = 2 is maximaal e⁻¹ = 1/e = 0.367879. Wanneer ik t dan laat lopen van nul tot 250 (e⁻²³⁰ ≈ 10⁻¹⁰⁰, dus met t = 250 zit ik ruimschoots onder de 10⁻¹⁰⁰) en ik ga vervolgens met n daar ruim boven zitten (bijvoorbeeld n = 1000) dan zit ik gebeiteld.

Met het resultaat van vergelijking (18) kan ik nog meer zinvolle dingen doen, ik kan bijvoorbeeld de afgeleide bepalen: Want zoals onderstaande grafiek aangeeft heeft de gammafunctie een (lokaal) minimum in de buurt van z = 1.46.

Door mijn computer weer aan het werk te zetten vind ik dat het minimum ligt bij z = 1.46163214496836234126265954232572132846819620400645 en de functiewaarde daar is 0.8856031944108887002788159005825887332079515336699034488712001658751362274173963466647982802142035948.

Een logische vraag is waarom we de gammafunctie doorgaans aangeven met een z als argument en niet met een x. Dat komt omdat, in tegenstelling tot de officiële faculteitsfunctie, het argument niet beperkt is tot de positieve gehele getallen. Ieder positief reëel getal kan als argument dienen, maar ook ieder negatief getal. Dus, stel dat ik de gammafunctie wil uitrekenen voor z = −6.378 (ik noem maar wat), dan geldt (zie vergelijking (8)): Dit alles samengevoegd geeft: De waarde van Γ (1.622) = 0.89618159003596643527, dus Γ (−6.378) = 0.89618159003596643527 / (−390.826467828891055105208064) = −0.0022930422164456028334. Op deze manier kan ik de grafiek van de gammafunctie ook heel eenvoudig naar links uitbreiden. Of met een wat andere verticale schaalverdeling. Zoals bovenstaande grafiek laat zien is voor gehele negatieve getallen de uitkomst altijd oneindig: Hoe je het ook wendt of keert, voor ieder geheel negatief getal krijg je gedeeld door nul en dat levert oneindig op.

En tot slot, de gammafunctie kan zelfs met complexe getallen als argument overweg: Dan is het vervolgens weer een kwestie van de computer aan het werk zetten om de goede uitkomsten te vinden.

Ik noemde al dat de gammafunctie een mooie vervanger is voor de faculteitsfunctie: Dat is op zich waar, want de faculteitsfunctie volgens vergelijking (11) laat zich niet zomaar differentiëren of integreren en bovendien is de faculteitsfunctie niet continu (hij bestaat alleen voor positieve gehele getallen).

De andere kant van het verhaal is dat ook de gammafunctie voor grote getallen een heleboel rekenwerk met zich meebrengt, terwijl de formule van Stirling altijd snel tot een antwoord leidt:

De formule van Stirling is probleemloos te differentiëren en het aantal juiste decimalen is 17 log x (indien je alle bovenstaande termen meeneemt, dus voor x = 1000 heb je al een nauwkeurigheid van 17 log 1000 = 17 ∙ 3 = meer dan vijftig cijfers goed!).