Fourier-analyse
DEFINITIES
Als f (x) een periodieke functie is met een periodetijd T, dan is de Fourier-reeks van die functie:
De term a0 is te bepalen door in de an-reeks n = 0 in te vullen of de limiet te nemen voor n nadert naar nul, maar dit hoeft lang niet altijd te werken. In die gevallen dat het invullen van n = 0 of de limiet van n nadert naar nul niet werkt zal de term 1/2 a0 apart berekend moeten worden:
EIGENSCHAPPEN
Indien we te maken hebben met een periodieke functie dan geldt:
Gegeven de volgende functie:
De grafiek van f (x) = px voor p = 1 (de rode lijn),
p = 2 (de groene lijn) en p = 3 (de blauwe lijn)
Voor de periodetijd geldt T = 2π en daarom kunnen we gebruik maken van (13) en (14). Omdat f (−x) = − f (+x) hebben we te maken met een oneven functie en zijn alle an gelijk aan nul. Dit kunnen we nog even controleren:
Gegeven de volgende functie, een parabool:
De grafiek van f (x) = px2 voor p = 1 (de rode lijn),
p = 2 (de groene lijn) en p = 3 (de blauwe lijn)
Voor de periodetijd geldt T = 2π en daarom kunnen we gebruik maken van (13) en (14). Omdat f (−x) = f (+x) hebben we te maken met een even functie en zijn alle bn gelijk aan nul. Dit kunnen we nog ‘even’ controleren:
Gegeven de volgende functie, wederom een parabool:
De grafiek van f (x) = px2 voor p = 1 (de rode lijn),
p = 2 (de groene lijn) en p = 3 (de blauwe lijn)
Voor de periodetijd geldt T = 2π en daarom kunnen we gebruik maken van (13) en (14). Deze functie is noch even noch oneven en daarom moeten zowel de an als de bn uitgerekend worden. Eerst berekenen we de an (waarbij ik de hele integraaluitwerking vanaf nu weglaat):
En vervolgens berekenen we de bn:
Nu dienen we a0 nog te berekenen:
Gegeven de volgende functie:
De grafiek van f (x) = px3 voor p = 1 (de rode lijn),
p = 2 (de groene lijn) en p = 3 (de blauwe lijn)
Voor de periodetijd geldt T = 2π en daarom kunnen we gebruik maken van (13) en (14). Omdat f (−x) = − f (+x) hebben we te maken met een oneven functie en zijn alle an gelijk aan nul. Dan dienen we alleen nog de bn uit te rekenen:
Daarmee komen we tot de Fourier-reeks:
Gegeven de volgende functie:
De grafiek van f (x) = p, q voor p = 0.75 en q = 1.75 (de rode lijn),
p = 2.25 en q = 3.50 (de groene lijn) en p = 4.75 en q = 3.75 (de blauwe lijn)
De periodetijd T = x3 − x1 is niet exact bekend en daarom moeten we gebruik maken van (2) en (3). We rekenen eerst de an uit:
VOORBEELD 5a
Ik stel p = −q, x1 = −x3 en x2 = 0. Dan heb ik een symmetrische blokgolf ten opzichte van de oorsprong met amplitude | p | = | q | en periodetijd T = 2x3.
De grafiek van f (x) = p, q voor p = −0.75 en q = 0.75 (de rode lijn),
p = −1.25 en q = 1.25 (de groene lijn) en p = −3.50 en q = 3.50 (de blauwe lijn)
Een andere variant is door te stellen dat q = 0, een pulsgenerator. Verder stel ik x1 = 0 en x3 = kx2 (k is een geheel getal).
De grafiek van f (x) = p, q voor p = 0.75 (de rode lijn),
p = 2.25 (de groene lijn) en p = 4.75 (de blauwe lijn), q = 0
Laten we even voortborduren op de pulsgenerator van voorbeeld 5b en stellen dat k = 4, dan is de duty cycle 25 procent.
De grafiek van f (x) = p, q voor p = 0.75 (de rode lijn),
p = 2.25 (de groene lijn) en p = 4.75 (de blauwe lijn), q = 0
Ik kan de puls van voorbeeld 5c ook iets naar links schuiven door te stellen dat x1 = − x2 en k = 8 (x3 = 8x2). De helft van de puls ligt nu links van de y-as. Op deze manier is de y-as symmetrie-as geworden en hebben we een even functie verkregen en zijn alle bn daarom gelijk aan nul.
De grafiek van f (x) = p, q voor p = 0.75 (de rode lijn),
p = 2.25 (de groene lijn) en p = 4.75 (de blauwe lijn), q = 0
Gegeven de volgende functie:
De grafiek van f (x) = p sin x, 0 voor p = 1 (de rode lijn),
p = 2 (de groene lijn) en p = 3 (de blauwe lijn)
Voor de periodetijd geldt T = 2π en daarom kunnen we gebruik maken van (13) en (14). We berekenen eerst de an:
Gegeven de volgende functie:
De grafiek van f (x) = p | sin x | voor p = 1 (de rode lijn),
p = 2 (de groene lijn) en p = 3 (de blauwe lijn)
Voor de periodetijd geldt T = 2π en daarom kunnen we gebruik maken van (13) en (14). We berekenen eerst de an (en ik maak daarbij gebruik van de tussenresultaten van voorbeeld 6):