Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie

Fourier-analyse

De Fourier-analyse hebben wij te danken aan de Fransman Fourier. Middels de door hem ontwikkelde methodiek is iedere periodieke functie om te schrijven naar een som van sinussen en cosinussen. Of iets ingewikkelder gezegd: met Fourier-analyse kun je het frequentie-spectrum van een periodieke functie zichtbaar maken.

DEFINITIES

Als f (x) een periodieke functie is met een periodetijd T, dan is de Fourier-reeks van die functie:

Waarbij:

Hierin is n een positief geheel getal: n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

De term a₀ is te bepalen door in de a_n-reeks n = 0 in te vullen of de limiet te nemen voor n nadert naar nul, maar dit hoeft lang niet altijd te werken. In die gevallen dat het invullen van n = 0 of de limiet van n nadert naar nul niet werkt zal de term 1/2 a₀ apart berekend moeten worden:

Deze term is de gemiddelde waarde van de functie. In elektrotechnische termen gesproken is dat de gelijkspanningscomponent of de DC-component (“DC” staat voor direct current).

EIGENSCHAPPEN

Indien we te maken hebben met een periodieke functie dan geldt:

En ook:

Indien voor een functie geldt:

Dan hebben we te maken met een functie die symmetrisch is ten opzichte van de y-as. Een dergelijke functie heet een even functie. Hieruit volgt:

En dit reduceert de Fourier-reeks voor een even functie tot:

Indien voor een functie geldt:

Dan hebben we te maken met een functie die symmetrisch is ten opzichte van de oorsprong. Een dergelijke functie heet een oneven functie. Hieruit volgt:

En dit reduceert de Fourier-reeks voor een oneven functie tot:

Indien een functie een periodetijd heeft T = 2π dan gaan (2) en (3) over in:

VOORBEELD 1

Gegeven de volgende functie:

De grafiek van f (x) = px voor p = 1 (de rode lijn),
p = 2 (de groene lijn) en p = 3 (de blauwe lijn)

Beschouw het interval <−π, π> als één periode van een periodieke functie, een zaagtandfunctie.

Voor de periodetijd geldt T = 2π en daarom kunnen we gebruik maken van (13) en (14). Omdat f (−x) = − f (+x) hebben we te maken met een oneven functie en zijn alle a_n gelijk aan nul. Dit kunnen we nog even controleren:

En vervolgens berekenen we de b_n:

Daarmee komen we tot de Fourier-reeks:

VOORBEELD 2

Gegeven de volgende functie, een parabool:

De grafiek van f (x) = px² voor p = 1 (de rode lijn),
p = 2 (de groene lijn) en p = 3 (de blauwe lijn)

Beschouw het interval <−π, π> als één periode van een periodieke functie.

Voor de periodetijd geldt T = 2π en daarom kunnen we gebruik maken van (13) en (14). Omdat f (−x) = f (+x) hebben we te maken met een even functie en zijn alle b_n gelijk aan nul. Dit kunnen we nog ‘even’ controleren:

En vervolgens berekenen we de a_n:

Voor n = 0 gaat dit niet werken, dus die werken we apart uit:

Daarmee komen we tot de Fourier-reeks:

VOORBEELD 3

Gegeven de volgende functie, wederom een parabool:

De grafiek van f (x) = px² voor p = 1 (de rode lijn),
p = 2 (de groene lijn) en p = 3 (de blauwe lijn)

Beschouw het interval <0, 2π> als één periode van een periodieke functie.

Voor de periodetijd geldt T = 2π en daarom kunnen we gebruik maken van (13) en (14). Deze functie is noch even noch oneven en daarom moeten zowel de a_n als de b_n uitgerekend worden. Eerst berekenen we de a_n (waarbij ik de hele integraaluitwerking vanaf nu weglaat):

Voor het oplossen van deze integraal heb ik gebruik gemaakt van de tabel met integralen.

En vervolgens berekenen we de b_n:

Voor het oplossen van deze integraal heb ik nogmaals gebruik gemaakt van de tabel met integralen.

Nu dienen we a₀ nog te berekenen:

Daarmee komen we tot de Fourier-reeks:

VOORBEELD 4

Gegeven de volgende functie:

De grafiek van f (x) = px³ voor p = 1 (de rode lijn),
p = 2 (de groene lijn) en p = 3 (de blauwe lijn)

Beschouw het interval <−π, π> als één periode van een periodieke functie.

Voor de periodetijd geldt T = 2π en daarom kunnen we gebruik maken van (13) en (14). Omdat f (−x) = − f (+x) hebben we te maken met een oneven functie en zijn alle a_n gelijk aan nul. Dan dienen we alleen nog de b_n uit te rekenen:

Voor het oplossen van deze integraal heb ik wederom gebruik gemaakt van de tabel met integralen.

Daarmee komen we tot de Fourier-reeks:

VOORBEELD 5

Gegeven de volgende functie:

De grafiek van f (x) = p, q voor p = 0.75 en q = 1.75 (de rode lijn),
p = 2.25 en q = 3.50 (de groene lijn) en p = 4.75 en q = 3.75 (de blauwe lijn)

Beschouw het interval <x₁, x₃ als één periode van een periodieke functie, een blokgolffunctie.

De periodetijd T = x₃ − x₁ is niet exact bekend en daarom moeten we gebruik maken van (2) en (3). We rekenen eerst de a_n uit:

En vervolgens berekenen we de b_n:

Hier komen we niet veel verder mee zonder eerst wat concreter te worden met de getalswaarden voor p, q, x₁, x₂ en x₃.

VOORBEELD 5a

Ik stel p = −q, x₁ = −x₃ en x₂ = 0. Dan heb ik een symmetrische blokgolf ten opzichte van de oorsprong met amplitude | p | = | q | en periodetijd T = 2x₃.

De grafiek van f (x) = p, q voor p = −0.75 en q = 0.75 (de rode lijn),
p = −1.25 en q = 1.25 (de groene lijn) en p = −3.50 en q = 3.50 (de blauwe lijn)

Tevens heb ik nu een oneven functie en de a_n zijn dan nul:

De b_n worden:

Daarmee komen we tot de Fourier-reeks:

VOORBEELD 5b

Een andere variant is door te stellen dat q = 0, een pulsgenerator. Verder stel ik x₁ = 0 en x₃ = kx₂ (k is een geheel getal).

De grafiek van f (x) = p, q voor p = 0.75 (de rode lijn),
p = 2.25 (de groene lijn) en p = 4.75 (de blauwe lijn), q = 0

We rekenen eerst de a_n uit:

De b_n worden:

Indien k = 2 is de duur van de puls de helft van de periodetijd, dan is de duty cycle 50 procent. De a_n worden dan:

Deze functie is niet symmetrisch ten opzichte van de oorsprong en het is daarom geen even functie. Dat de a_n nul zijn wil daarom nog niet zeggen dat a₀ dat ook is. We kunnen a₀ vinden als volgt:

Oftewel:

Of op een andere manier:

En de b_n worden:

Daarmee komen we tot de Fourier-reeks:

VOORBEELD 5c

Laten we even voortborduren op de pulsgenerator van voorbeeld 5b en stellen dat k = 4, dan is de duty cycle 25 procent.

De grafiek van f (x) = p, q voor p = 0.75 (de rode lijn),
p = 2.25 (de groene lijn) en p = 4.75 (de blauwe lijn), q = 0

De a_n worden dan:

We kunnen a₀ vinden als volgt:

Oftewel:

Of op een andere manier:

En de b_n worden:

Daarmee komen we tot de Fourier-reeks:

VOORBEELD 5d

Ik kan de puls van voorbeeld 5c ook iets naar links schuiven door te stellen dat x₁ = − x₂ en k = 8 (x₃ = 8x₂). De helft van de puls ligt nu links van de y-as. Op deze manier is de y-as symmetrie-as geworden en hebben we een even functie verkregen en zijn alle b_n daarom gelijk aan nul.

De grafiek van f (x) = p, q voor p = 0.75 (de rode lijn),
p = 2.25 (de groene lijn) en p = 4.75 (de blauwe lijn), q = 0

De gemiddelde waarde verandert hier niet door, oftewel:

Nu moeten alleen nog de a_n berekend worden:

Daarmee komen we tot de Fourier-reeks:

VOORBEELD 6

Gegeven de volgende functie:

De grafiek van f (x) = p sin x, 0 voor p = 1 (de rode lijn),
p = 2 (de groene lijn) en p = 3 (de blauwe lijn)

Beschouw het interval <0, 2π> als één periode van een periodieke functie, een sinus met enkelfasige gelijkrichting.

Voor de periodetijd geldt T = 2π en daarom kunnen we gebruik maken van (13) en (14). We berekenen eerst de a_n:

Hieruit volgt:

Waaruit volgt voor de a_n:

Vervolgens berekenen we de b_n:

Hieruit volgt:

En daardoor zijn alle b_n gelijk aan nul. Tenslotte berekenen we nog de gemiddelde waarde van de functie:

Daarmee komen we tot de Fourier-reeks:

VOORBEELD 7

Gegeven de volgende functie:

De grafiek van f (x) = p | sin x | voor p = 1 (de rode lijn),
p = 2 (de groene lijn) en p = 3 (de blauwe lijn)

Beschouw het interval <0, 2π> als één periode van een periodieke functie, een sinus met dubbelfasige gelijkrichting.

Voor de periodetijd geldt T = 2π en daarom kunnen we gebruik maken van (13) en (14). We berekenen eerst de a_n (en ik maak daarbij gebruik van de tussenresultaten van voorbeeld 6):

Vervolgens berekenen we de b_n:

Tenslotte berekenen we nog de gemiddelde waarde van de functie:

Daarmee komen we tot de Fourier-reeks: