Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie

De massa van de atmosfeer

Bereken de massa van de atmosfeer van de Aarde.

De Aarde wordt omgeven door allerlei gassen die we samen de atmosfeer noemen. Deze atmosfeer maakt het leven hier op Aarde mogelijk, want de atmosfeer voedt ons en beschermt ons. De zwaartekracht die de Aarde genereert zorgt dat de atmosfeer bij de Aarde blijft en niet vervliegt in de ruimte (waarbij de temperatuur ook een rol speelt, want hoe hoger de temperatuur hoe gemakkelijker de atmosfeer ‘er vandoor gaat’).

Zonder atmosfeer zouden we niet dit soort
spectaculaire zonsondergangen hebben
Maan

De Maan heeft geen atmosfeer, omdat de Maan onvoldoende
zwaartekracht genereert om een atmosfeer te behouden
Pluto

De dwergplaneet Pluto heeft nog minder zwaartekracht
dan de Maan, maar door de zeer lage temperatuur
is er toch een (zeer ijle) atmosfeer
(Credits: NASA)

De planeet Saturnus heeft geen vast oppervlak en
bestaat feitelijk alleen uit atmosfeer
(Credits: NASA)

De vraag waar het hier om gaat is wat de massa is van de aardse atmosfeer. Stel dat we omringd worden door meetinstrumenten en een rekenmachine, kunnen we dan ter plekke de massa van de totale atmosfeer bepalen? Ja, dat kan.

De definitie van dichtheid is massa gedeeld door het volume van die massa:

Of iets anders opgeschreven:

Ik neem links en rechts de differentiaal:

Het infinitesimale volume dV is het boloppervlak maal een infinitesimaal afstandje dr:

Vervolgens ga ik links en rechts integreren (r_A is de straal van de Aarde):

De dichtheid van de atmosfeer neemt uiteraard af met de hoogte, en omdat alle natuurlijke processen als e-macht verlopen geldt dat ook hier. Met de index “0” geef ik telkens het aardoppervlak aan en τ is een nog te bepalen constante:

Dit vul ik in in vergelijking (5):

Deze integraal zoek ik op in de tabel met integralen:

Hiermee wordt vergelijking (7):

Omdat τ veel kleiner zal zijn dan r_A mag ik dit vereenvoudigen tot:

Nu moet ik de constante τ nog bepalen. Voor de luchtdruk aan het aardoppervlak geldt:

Newton

g is de valversnelling als gevolg van de zwaartekracht en die volgt uit de gravitatiewet van Newton:

De vergelijkingen (7) en (12) vul ik in in vergelijking (11) en die ga ik vervolgens uitwerken:

Oftewel:

Waarmee vergelijking (10) tenslotte wordt:

Vervolgens gebruik ik mijn meetinstrumenten (of ik raadpleeg de tabel met fysische gegevens) en vind ik:

Gravitatieconstante	G	6.67428 ∙ 10⁻¹¹	m³/(kg s²)
Luchtdruk	p₀	1.01325 ∙ 10⁵	kg/(m s²)
Massa van de Aarde	M_A	5.9742 ∙ 10²⁴	kg
Straal van de Aarde (bij de evenaar)	r_A	6.378137 ∙ 10⁶	m

Waarna een rekenmachine mij vertelt:

Deze waarde ligt maar 2.7% (!) boven de waarde die Wikipedia geeft (5.1480 ∙ 10¹⁸ kg), terwijl ik helemaal geen rekening houd met het feit dat de Aarde niet vlak is, dat de Aarde niet homogeen is, dat de Aarde niet perfect bolvormig is en zo zijn er nog wel wat dingetjes op te noemen.