Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De energie van zwaartekrachtgolven

De energie van zwaartekrachtgolven

Bereken de energie die twee hemellichamen, die om elkaar heen draaien in een elliptische baan, uitzenden middels zwaartekrachtgolven:

als functie van de hoek,
en gemiddeld per omloop.

Ga ervanuit dat het zwaartekrachtveld zwak is en dat de snelheden niet-relativistisch zijn (v Symbool

c).

Een druppel veroorzaakt golven (golfjes) wanneer die in het water valt, zie het plaatje hieronder.

Een druppel veroorzaakt golven in het water
wanneer die in het water valt

Zo is het ook met objecten die zich bewegen door de ruimtetijd, zij veroorzaken golven in de ruimtetijd. Een hemellichaam dat valt in de ruimtetijd, of als een jojo op en neer gaat, veroorzaakt golven (nou niet erover nadenken hoe je een hemellichaam laat vallen of als een jojo op en neer laat gaan, dat doet even niet ter zake).

Een hemellichaam veroorzaakt golven in de ruimtetijd
wanneer die in de ruimte ‘valt’ of op en neer gaat

Middels de zwaartekrachtgolven wordt er energie weggevoerd uit het systeem. Op deze pagina heb ik het vermogen dat in die zwaartekrachtgolven zit uitgerekend:

Voor het vermogen geldt tevens:

Oftewel:

Dit combineer ik met vergelijking (1), het vermogen:

Omdat P een functie is van de hoek θ ga ik over van de integratievariabele t naar θ:

Omdat het zwaartekrachtveld zwak is én omdat de snelheden niet-relativistisch zijn mag ik Newtonse hemelmechanica gebruiken. Daarom haal ik even wat vergelijkingen op van de pagina hemelmechanica, om te beginnen die breuk dt/dθ (vergelijking (91) op die pagina):

Hiermee wordt vergelijking (5):

Nu moet ik r nog schrijven als functie van de hoek θ. Daarvoor gebruik ik vergelijking (58) van de pagina hemelmechanica:

Hiermee wordt vergelijking (7):

Nu ga ik haakjes wegwerken:

De oplossing van de integraal van cos² x kun je vinden in de tabel met integralen, de oplossing van de integraal van cos³ x kun je vinden in de tabel met integralen en de oplossing van de integraal van cos⁴ x kun je ook vinden in de tabel met integralen. Dat brengt ons bij dit resultaat:

Aldus heb ik de uitgezonden energie als functie van de hoek θ gevonden. De eerste term aan de rechterkant bevat alleen maar constanten, en daarom is het wel zinvol om de overige termen even onder te brengen in een aparte functie:

De grafiek van f (e, θ) voor e = 0 (de rode lijn),
in stappen van 0.001 oplopend tot e = 0.01 (de lichtblauwe lijn)
Grafiek

De grafiek van f (e, θ) voor e = 0 (de rode lijn),
in stappen van 0.01 oplopend tot e = 0.1 (de lichtblauwe lijn)
Grafiek

De grafiek van f (e, θ) voor e = 0 (de rode lijn),
in stappen van 0.1 oplopend tot e = 0.99 (de lichtblauwe lijn)
Grafiek

De grafiek van f (e, θ) voor e = 0 (de rode lijn),
in stappen van 0.1 oplopend tot e = 0.99 (de lichtblauwe lijn),
logaritmische verticale schaalverdeling

De grafieken laten duidelijk zien dat:

de energie lineair toeneemt voor een cirkelvormige baan (e = 0, de rode lijn in bovenstaande grafieken),
de energie zeer sterk toeneemt bij θ = 0 = 2π, dus tijdens de passage van het periapsis waar de snelheid het hoogst is,
de energie nagenoeg constant is bij θ = π, dus tijdens de passage van het apoapsis waar de snelheid het laagst is,
de energie zeer sterk toeneemt wanneer de excentriciteit van de baan toeneemt.

De grafiek van f (e, θ) voor θ = 0.001
Grafiek

De grafiek van f (e, θ) voor θ = 0.001,
logaritmische verticale schaalverdeling
Grafiek

De grafiek van f (e, θ) voor θ = π
Grafiek

De grafiek van f (e, θ) voor θ = π,
logaritmische verticale schaalverdeling

Om de energie te vinden die gemiddeld per omloop uitgezonden wordt moet ik de energie, vergelijking (11), sommeren én middelen over één omlooptijd:

De omlooptijd T vind ik ook op de pagina hemelmechanica (vergelijking (61) op die pagina):

Dit vul ik in in vergelijking (13), de energie haal ik uit vergelijking (11), en omdat de energie een functie is van θ verander ik de grenzen in 0 en 2π:

Al die sinustermen zijn gemiddeld over een hele periode nul en mag ik daarom probleemloos verwijderen:

De eerste term aan de rechterkant bevat alleen maar constanten, en daarom is het weer zinvol om de overige termen onder te brengen in een aparte functie:

De grafiek van g (e)
Grafiek

De grafiek van g (e),
logaritmische verticale schaalverdeling

Tot slot geef ik nog wat vergelijkingen voor het bijzondere geval dat de baan perfect circulair is, dan geldt e = 0 en worden de vergelijkingen (11) en (16):