De contourintegraal van
f (x) = sin (ax)/x
Trefwoorden/keywords: contourintegraal/contourintegral, integreren/integrate, f (x) = sin (ax)/x

De grafiek van f (x) = sin (ax)/x voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)
Deze integraal,
de Dirichlet-integraal, ga ik oplossen als
contourintegraal.
Zoals gebruikelijk begin ik door mijn probleem over te hevelen naar het
complexe vlak en dat doe ik door
simpelweg iedere x in het functievoorschrift te vervangen door een z:
Ik ga een plaatje maken van f (z) en daarom ga ik de functie eerst anders opschrijven (waarbij ik gebruik
maak van de
som-/verschilformules
uit de
goniometrie):

De grafiek van f (z) = sin (az)/z voor a = 1
Ik maak de grafiek nog een keer, maar dan met
eenheidsvectoren, dat ziet er een stuk duidelijker uit.

De grafiek van f (z) = sin (az)/z (genormaliseerd) voor a = 1
Ik zoek de functie f (z) = sin z op in de
holomorfietabel van complexe functies en ik zoek ook
de functie f (z) = z op in de
holomorfietabel van complexe functies
en ik vind dat beide functies overal
holomorf zijn.
Ik vind ook in de
holomorfietabel van complexe functies dat indien
f (z) = sin z
holomorf is dat f (z) = sin (az) dan ook
holomorf is.
Verder leert de
holomorfietabel van complexe functies mij dat het
quotiënt van twee
holomorfe functies ook
holomorf is.
Oftewel, f (z) = sin (az)/z is een
holomorfe functie (elders op het internet wordt hier
altijd blind van uitgegaan, maar dat moet toch echt wel even gecheckt worden).
Hier hoort wel een kanttekening bij, want voor z = 0 is de noemer gelijk aan nul en ontstaat er een
pool, en in dat ene punt is de functie dan niet
gedefinieerd en daarom ook niet
holomorf.
Er is dus één
pool en die teken ik erbij in de grafiek.

De grafiek van f (z) = sin (az)/z (genormaliseerd) voor a = 1
en de enige
pool (de blauwe stip)
Vervolgens ga ik een
contour aanleggen en een onderdeel
daarvan moet zijn van x = −∞ tot x = +∞, want dat is immers de probleemstelling waar ik mee begon.

De grafiek van f (z) = sin (az)/z (genormaliseerd) voor a = 1,
de enige
pool (de blauwe stip)
en het
contour van x = −∞ tot x = +∞
(de rode lijn)
Zoals je ziet ga ik met het
contour dwars door de
pool in de oorsprong heen en dat is zeer ongewenst.
Daarom maak ik een minimale omtrekkende beweging om die
pool
heen en ik ga dat rechtvaardigen door straks de limiet te nemen waarin die omtrekkende beweging naar nul nadert.

De grafiek van f (z) = sin (az)/z (genormaliseerd) voor a = 1,
de enige
pool (de blauwe stip)
en het
contour van x = −∞ tot x = +∞
met de omtrekkende beweging
om de
pool in de oorsprong (de rode lijn)
Nu moet ik het
contour nog wel sluiten (want om
redenen die weldra duidelijk worden wil ik graag een
gesloten contour) en dat doe ik met een
halve cirkel die de beide uiteinden van het
contour
van x = +∞ tot x = −∞ met elkaar verbindt.

De grafiek van f (z) = sin (az)/z (genormaliseerd) voor a = 1,
de enige
pool (de blauwe stip)
en het
gesloten contour (de rode lijn)
Ik ga alle deel
contouren even nummeren en ik geef ook
aan waar de omtrekkende beweging begint en eindigt:

De grafiek van f (z) = sin (az)/z (genormaliseerd) voor a = 1,
de enige
pool (de blauwe stip)
en het
gesloten contour (de rode lijn)
De
contourintegraal is de som van de
integralen over alle
deel
contouren:
Omdat alle punten op en binnen het contour
holomorf
zijn, het is een holomorf gebied,
geldt volgens de Cauchy-Goursat-stelling:
Om deze reden wordt het linkerlid van de
contourintegraal
gelijk aan nul:
De eerste term en de derde term van het rechterlid vormen samen mijn oorspronkelijke probleem (want voor dat
deel van het
contour is het
imaginaire deel nul en geldt dus dat z = x):
Die twee
integralen ga ik even apart bekijken
en ik ga wat manipuleren met de
grenzen:
De functie f (x) = sin (ax)/x is voor x = 0 wel gedefinieerd, zoals de grafiek bovenaan deze pagina laat zien,
en daarom gaat de rechterterm van bovenstaande vergelijking naar nul in de limiet dat ε naar nul gaat.
Om dit beter te illustreren ga ik gebruik maken van de
reeksontwikkeling van de
sinus.
In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:
Waaruit volgt:
In de limiet dat ε naar nul gaat, dus x wordt infinitesimaal klein, kan ik volstaan met de eerste term:
Dit is inderdaad wat we zien in de grafiek bovenaan deze pagina en dit rechtvaardigt ook (achteraf...) dat ik hierboven,
toen ik ging manipuleren met de
grenzen,
de
grens x = 0 mocht gebruiken.
Afijn, hiermee wordt de
integraal van
f (x) = sin (ax)/x rondom de oorsprong:
Met dit alles vereenvoudigt mijn oorspronkelijke probleem als volgt:
Ik heb nu nog twee
integralen op te lossen
die de
contouren γ
2 en
γ
4 beschrijven.
Voordat ik dat in detail ga doen werk ik dat eerst in een algemene vorm uit, want beide
contouren vormen immers een halve cirkel.
Dit is de
integraal die voor beide
contouren geldt:
Volgens de formules van Euler geldt:
Door deze beide vergelijkingen van elkaar af te trekken krijg ik:
Dit ga ik gebruiken in de
integraal van
γ
2 en γ
4:
Bij de linker
integraal in het rechterlid
stel ik:
En bij de rechter
integraal in het rechterlid
stel ik:
Zodat het volgende ontstaat:
De oplossing van deze
bepaalde integralen
is simpelweg een getal waarin u slechts een dummy variabele is die ik iedere willekeurige naam mag geven, bijvoorbeeld z:
De
contouren γ
2 en
γ
4 vormen beide een halve cirkel die ik kan beschrijven als volgt (hierin is r de straal van
de cirkel):
Hiermee wordt de
integraal:
Nu ga ik dit verder uitwerken per
contour,
allereerst γ
2:
En vervolgens het
contour γ
4:
Hiet zit nog wel een addertje onder het gras, want de
integrand kent drie punten waar die niet
nul wordt, namelijk voor φ = −π, φ = 0 en φ = π (precies de
grenzen van de
integralen).
Ik dien daarom behoedzamer te werk te gaan dan ik zojuist heb gedaan en daartoe ga ik beide
integralen opsplitsen in drie delen
waarbij ik deze punten afsplits:
Je zou in de verleiding kunnen komen om te denken dat die
e-
machten exploderen wanneer
r naar oneindig gaat, maar we hebben toch echt te maken met eenheidscirkels in het
complexe vlak en dat heb ik daarom
onderweg nog een paar maal expliciet aangegeven.
Dit alles brengt mij bij het eindantwoord:
Merk op dat de constante a niet in het antwoord voorkomt.
Een interessante vraag is natuurlijk hoe het gelopen zou zijn indien het
contour γ
2 niet aan de bovenkant
om de
pool heen was gegaan, maar aan de onderkant.

De grafiek van f (z) = sin (az)/z (genormaliseerd) voor a = 1,
de enige
pool (de blauwe stip)
en het
gesloten contour (de rode lijn)
Nu is het niet meer zo dat integreren over het totale
contour nul oplevert, omdat er nu een
niet-holomorf punt binnen het
contour ligt (zijnde de
pool).
Nu moet ik gebruik maken van de
Cauchy-residustelling:
Waarbij voor het residu geldt:
Ik ga die
pool buiten de functie brengen:
Waaruit volgt:
Dat dit het antwoord nul oplevert duidt erop dat de
pool verwijderbaar is, het is geen onoverkomelijk
obstakel.
Dat is direct zichtbaar in de grafiek bovenaan deze pagina waar de functie gewoon een waarde heeft voor x = 0
en dat hebben we ook gezien toen ik de Taylor-reeks erbij haalde, er ontstond toen een polynoom waar geen
pool in voorkwam:
Daarom exit
Cauchy-residustelling.
Kan ik deze Taylor-reeks dan niet gelijk vanaf het begin gebruiken?
Helaas, dat levert problemen op voor de
convergentie,
want de belangrijkste voorwaarde voor
convergentie is
indien de termen uitdoven als het ware, dus als een term voor grote waarden van n kleiner is dan de voorgaande term
(in
absolute waarden gesproken uiteraard):
Voor deze reeks ziet dat er als volgt uit:
Dit moet kleiner dan één zijn, oftewel | x | < 2n en dat gaat dus niet lukken voor x = ±∞.