Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie

Contourintegralen

Stel ik heb een functie die ik wil integreren van x = a tot x = b:

Door deze integraal op te lossen vind ik de grootte van het oppervlak tussen de functie en de x-as vanaf x = a tot x = b, het gele vlak in onderstaande figuur.

Langs de x-as staan alle reële getallen uitgezet en de grafiek die zich vormt (de blauwe lijn in bovenstaande figuur) zijn alle bijbehorende functiewaarden f (x) die we doorgaans met y aangeven. Dus x is het argument en y is de functiewaarde:

Wanneer het integreren via andere integratiemethoden niet wil lukken dan kan het helpen om de functie over te hevelen naar het complexe vlak en dat doe ik door simpelweg iedere x in het functievoorschrift te vervangen door een z:

Ik heb nu een functie f (z) en z is een complexe variabele met een reëel deel (dat deel noem ik x) en een imaginair deel (dat deel noem ik y):

Ik had dus een functie f met één argument, zijnde x, en nu heb ik een functie f met twee argumenten, zijnde x en y. Echter, niet alleen het argument bestaat uit een reëel deel en een imaginair deel, maar ook de functie als geheel bestaat uit een reëel deel (dat deel noem ik u) en een imaginair deel (dat deel noem ik v, en u en v zijn op hun beurt weer functies van x en y):

Wanneer ik deze functie ga integreren dan krijgen we te maken met een lijnintegraal langs een of ander pad door het complexe vlak van het punt A = a + ib naar het punt B = c + id:

Dit pad noemen we een contour en dat geven we doorgaans aan met de letter γ.

In deze fase is het cruciaal om te weten of de te integreren functie holomorf is (elders op het internet wordt hier altijd blind van uitgegaan, maar dat moet toch echt wel even gecheckt worden). Hierbij zijn drie mogelijkheden te onderscheiden:

de functie is overal holomorf,
de functie is in een eindig aantal punten niet holomorf,
de functie is nergens holomorf.

Voordat je écht begint met je contourintegraal gaan er dus altijd al twee stappen aan vooraf:

Hevel de functie over naar het complexe vlak door iedere x in het functievoorschrift te vervangen door een z:
Kijk in de holomorfietabel van complexe functies of en waar de functie holomorf is.

Wanneer je deze twee stappen hebt uitgevoerd dan kun je pas echt aan de slag. Op deze pagina heb ik de hele uitleg staan over het integreren van complexe functies en dat bracht drie verschillende situaties aan het licht.

Situatie 1

Cauchy

Goursat

In de eerste situatie heb ik een gesloten contour waarbij alle punten op het contour én binnen het contour regulier zijn. Het hele omsloten gebied inclusief het contour is dus holomorf. De Cauchy-Goursat-stelling vertelt mij dan dat het antwoord van mijn contourintegraal altijd gelijk aan nul is:

Dirichlet

Een voorbeeld hiervan is de Dirichlet-integraal:

Ik kies mijn contour als volgt.

De grafiek van f (z) = sin (az)/z (genormaliseerd) voor a = 1,
de enige pool (de blauwe stip)
en het gesloten contour (de rode lijn)

Ik omzeil met dit contour het enige niet-reguliere punt (x = z = 0, de oorsprong) en vind vervolgens het correcte antwoord. Voor alle details klik op onderstaande uitwerking.

Integrand	Primitieve
		Toon uitwerking

Situatie 2

Cauchy

In de tweede situatie heb ik een gesloten contour waarbij een eindig aantal punten binnen het contour niet-regulier zijn. Verder is het hele omsloten gebied inclusief het contour holomorf. De Cauchy-residustelling vertelt mij dan dat het antwoord van mijn contourintegraal gelijk is aan de som van de functiewaarden in die niet-reguliere punten (de residuen) maal 2πi:

Een voorbeeld hiervan is de volgende integraal:

Ik kies mijn contour als volgt.

De grafiek van f (z) = 1/(az² + bz + c) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 1, c = 1,
de beide polen (de blauwe stippen)
en het gesloten contour (de rode lijn)

Dit contour omsluit één niet-regulier punt en de Cauchy-residustelling leidt mij vervolgens naar het antwoord. Voor alle details klik op onderstaande uitwerking.

Integrand	Primitieve
		Toon uitwerking

Een variant hierop is deze integraal:

Ik kies mijn contour als volgt.

De grafiek van f (z) = 1/((a² + z²) (b² + z²)) (genormaliseerd) voor a = 1, b = 1.5
de vier polen (de blauwe stippen)
en het gesloten contour (de rode lijn)

Nu omsluit het contour twee niet-reguliere punten en de Cauchy-residustelling leidt mij vervolgens weer naar het antwoord. Voor alle details klik op onderstaande uitwerking.

Integrand	Primitieve
		Toon uitwerking

Een variant hier weer op is deze integraal:

Ik kies mijn contour als volgt.

De grafiek van f (z) = 1/(a² + z²)² (genormaliseerd) voor a = 1
de vier polen (de blauwe stippen)
en het gesloten contour (de rode lijn)

Nu omsluit het contour wederom twee polen (die samenvallen), maar er is maar één niet-regulier punt en dus ook maar één residu.

De l’Hôpital

De oplossing gaat weer via de Cauchy-residustelling, maar omdat er twee samenvallende polen zijn ontstaat er wel een probleem. Voor het bepalen van het residu wil ik naar dat niet-reguliere punt toe en dan word ik geconfronteerd met een noemer die nul wordt. In dit soort gevallen maken we gebruik van de regel van De l’Hôpital:

Door zowel van de teller als de noemer de afgeleide te bepalen en dáárna de limiet te nemen is het probleem opgelost. En de regel van De l’Hôpital mag ook meerdere malen achter elkaar toegepast worden, bijvoorbeeld wanneer er drie of meer polen op elkaar liggen. Voor alle details klik op onderstaande uitwerking.

Integrand	Primitieve
		Toon uitwerking

Had ik het contour van f (x) = sin (ax)/x (de Dirichlet-integraal) zo kunnen kiezen dat dat ene niet-reguliere punt (x = z = 0, de oorsprong) wél omsloten was en vervolgens met de Cauchy-residustelling verder werken? In die situatie heb ik het volgende contour.

De grafiek van f (z) = sin (az)/z (genormaliseerd) voor a = 1,
de enige pool (de blauwe stip)
en het gesloten contour (de rode lijn)

Nee, dat gaat niet werken, omdat het residu in dit geval nul oplevert. De oorzaak daarvan is dat de functie voor x = z = 0 wél gedefinieerd is, je zou kunnen stellen dat de pool een soort valse pool is. Toch mag je er niet doorheen met je contour, want het is wel een pool. Voor alle details klik op onderstaande uitwerking.

Integrand	Primitieve
		Toon uitwerking

Situatie 3

In de derde situatie (oftewel: in alle andere gevallen), de gevallen waarbij geen sprake is van een holomorf gebied of het contour is niet te sluiten, ben ik gedwongen om de contourintegraal helemaal uit te werken als volgt:

Dit klinkt dramatisch, maar door een handige/slimme parametrisatie kan dit ineens heel goed uitpakken. In dat geval spreken we van directe parametrisatie. De uitdaging is om een functie z = f (t) te vinden waarmee de contourintegraal geparametriseerd kan worden als volgt:

Sterker nog, deze methode kan de voorkeur hebben boven situatie 1 of situatie 2, omdat je dan sneller en/of gemakkelijker bij het antwoord komt. Een voorbeeld hiervan is de volgende integraal:

Deze integraal is op te lossen zonder te parametriseren, maar in dit geval is dat niet de voorkeursmethode. Voor alle details klik op onderstaande uitwerking.

Integrand	Primitieve
		Toon uitwerking

Integralen waarbij deze integratiemethode is toegepast:

Integrand	Primitieve
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking
		Toon uitwerking