Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De minimale straal van een holle bol

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

De minimale straal van een holle bol

Een planeettijdreismachine

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

De Einstein-Rosen-brug

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De buitenkant van een wormgat

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Het waarneembare universum

Wat is een wormgat?

Het traagheidsmoment van twee hemellichamen

De tweelingparadox

De energie van zwaartekrachtgolven

Een dag zonder verjaardagen

Het vermogen van zwaartekrachtgolven

Tijdsvertraging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Tijdsvertraging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal volgens Einstein

De integralen van
f (x) = xⁿ/(a² + x²)^5/2

Een andere manier van leven

Een reeks afsplitsen van een functie

Afbuiging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Bewerkingen met reeksen

De Taylor-reeksen van
f (x) = x/(a ± x)²

De integralen van
f (x) = 1/((x + a)ⁿ (x² − a²))^1/2)

De integralen van
f (x) = cos^m (ax)/(1 + cos (ax))ⁿ

De integralen van
f (x) = (x²/(a² − x²))ⁿ

De massa van de atmosfeer

Hyper-Catalan-getallen

Een ontmoeting met aliens

Catalan-getallen

De Taylor-reeks van
f (x) = ln x

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = oneven)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = oneven)

De geodetische lijn van een lichtstraal bij een massa

De integralen van
f (x) = xⁿ/(x − a)

De integraal van
f (x) = 1/ln (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁵ (ax)

Een botsing met een zandkorrel

De opwarming van de Aarde

De integraal van
f (x) = cot¹⁰ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁸ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁶ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁴ (ax)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De gammafunctie

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

De contourintegraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

Holomorfie van de functie f (z) = z^p

Het grote filter

De integraal van
f (x) = tan⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁵ (ax)

Het getal e met een miljoen decimalen

De complete complementaire elliptische integraal van de derde soort

De complete complementaire elliptische integraal van de tweede soort

De complete complementaire elliptische integraal van de eerste soort

De complementaire elliptische integraal van de derde soort (vereenvoudigde vorm)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De contourintegraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De integraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

Contourintegralen

Integreren van complexe functies

Het spectrum van een zwart gat

De convergentie van een reeks

De Taylor-reeks van
f (x) = arctan (ax)

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van
f (x) = sin (ax)/x

De integraal van
f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

De minimale straal van een holle bol

Wat is de minimale straal die een holle bol kan hebben, zodat de bol nog net niet implodeert (en instort tot een zwart gat)? Ga uit van een perfect homogene ideale holle bol.

Schwarzschild

Om te beginnen breng ik de Schwarzschild-straal in herinnering, de horizon van een zwart gat:

Vergelijking

Er is een holle bol die zichzelf moet ‘dragen’ om te voorkomen dat ie instort.

Opengewerkte holle bol

Opengewerkte afbeelding van de helft van de holle bol

De mantel van de bol heeft een bepaalde dichtheid, en dan bedoelen we automatisch de massadichtheid. Door met c² te vermenigvuldigen vormt zich daaruit de energiedichtheid van de mantel (want E = mc²):

Vergelijking

De laterale druk in de mantel is:

Vergelijking

De dominante energievoorwaarde [Engels: dominant energy condition = DEC] zegt dat voor iedere tijdachtige vector V moet gelden (T is de energietensor):

Vergelijking

Dat was de technische definitie, en concreet betekent dit (in dit geval) dat de energiedichtheid (maal c²) minstens gelijk moet zijn aan de absolute waarde van de druk:

Vergelijking

De druk moet positief zijn, want die moet immers voorkomen dat de bol implodeert. Dus ik kan de absolute waarde weglaten uit vergelijking (5):

Vergelijking

Vervolgens ga ik de vergelijkingen (2) en (3) invullen in vergelijking (6):

Vergelijking

Ik stel:

Vergelijking

Dit betekent voor de verhouding R_s/R:

Vergelijking

Hiermee wordt vergelijking (7):

Vergelijking

Dit los ik uiteraard op met de abc-formule:

Vergelijking

Nu ga ik x weer vervangen door R_s en R:

Vergelijking

De rechter oplossing geeft de maximale straal van de bol. Indien de straal oneindig wordt dan wordt de massa ook oneindig, en is er geen houden meer aan en stort de bol in. De linker oplossing is waar ik naar op zoek ben, de minimale bolstraal, en die is 25/24 R_s ≈ 1.042 R_s. Wanneer de bolstraal onder deze waarde komt dan is de bol niet meer te redden en is instorting onvermijdelijk.

Implosie

Wanneer de bolstraal onder 25/24 R_s komt is implosie onvermijdelijk

Miniatuur

Door naar het volgende vraagstuk: relativistische slakken

Miniatuur

Terug naar het vorige vraagstuk: een planeettijdreismachine

Miniatuur

Overzichtspagina met vraagstukken

Miniatuur

Overzichtspagina relativiteitstheorie

Miniatuur

De integraal van
f (x) = x/(ax + b)^1/2

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/(1 − a² sin² x)^1/2

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/sin⁸ (ax)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = tan⁷ (ax)

Miniatuur

De integralen van
f (x) = cos^m x sinⁿ x/(1 − a² cos² x)^p

Miniatuur

De integralen van
f (x) = tanⁿ (ax) versus f (x) = cotⁿ (ax)

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 28

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 73

Miniatuur

Christoffel-symbolen van de tweede soort bij een diagonale metriek

Miniatuur

De Taylor-reeks van
f (x) = 1/(1 − a² sin² x)^1/2

Miniatuur

De Taylor-reeksen van
f (x) = (a + x)^p

Miniatuur

Miniatuur

De gammafunctie

Miniatuur

Holomorfie van de functie
f (z) = (1 + i) (x + y)²

Miniatuur

Relativiteitstheorie rekenkundig, hoofdstuk 6: voelen

Miniatuur

Driedimensionale - en vierdimensionale snelheid

Miniatuur

Een ruimtereis naar het sterrenstelsel Andromeda

Miniatuur

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

Miniatuur

De energie die een zwart voorwerp uitstraalt

Miniatuur

Wanneer heb je voor het laatst écht iets meegemaakt?

Miniatuur

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

Miniatuur

Miniatuur

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

Miniatuur

Miniatuur

De minimale straal van een holle bol

Miniatuur

Een planeettijdreismachine

Miniatuur

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Miniatuur

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Miniatuur

Getijdenkrachten

Miniatuur

Zijn wij vroeg of laat?

Miniatuur

Overzichtspagina wiskunde

Miniatuur

Overzichtspagina natuurkunde

Miniatuur

Overzichtspagina filosofie

Miniatuur

Doneer enkele euro’s

Miniatuur

Wetenschappelijke boeken te koop

Miniatuur

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2026