Stel ik heb een functie die ik wil integreren van x = a tot x = b: Door deze integraal op te lossen vind ik de grootte van het oppervlak tussen de functie en de x-as vanaf x = a tot x = b, het gele vlak in figuur 1. Langs de x-as staan alle reële getallen uitgezet en de grafiek die zich vormt (de blauwe lijn in figuur 1) zijn alle bijbehorende functiewaarden f (x) die we doorgaans met y aangeven. Dus x is het argument en y is de functiewaarde: Wanneer ik een complexe functie wil integreren dan is mijn argument niet meer een reële variabele, de x in vergelijking (2), maar een complexe variabele en die geven we aan met z: Ik heb nu een functie f (z) en z is een complexe variabele met een reëel deel (dat deel noem ik x) en een imaginair deel (dat deel noem ik y): Ik had dus een functie f met één argument, zijnde x, en nu heb ik een functie f met twee argumenten, zijnde x en y. Echter, niet alleen het argument bestaat uit een reëel deel en een imaginair deel, maar ook de functie als geheel bestaat uit een reëel deel (dat deel noem ik u) en een imaginair deel (dat deel noem ik v, en u en v zijn op hun beurt weer functies van x en y): Wanneer ik deze functie ga integreren dan krijgen we te maken met een lijnintegraal langs een of ander pad door het complexe vlak van het punt A = a + ib naar het punt B = c + id: Dit pad noemen we een contour en dat geven we doorgaans aan met de letter γ. Ik zoom even in op een deel van het contour van figuur 2 en ik geef dz aan (een vector!) in een bepaald punt en ook de functie f (z) (ook een vector!) in datzelfde punt. Ik geef ook even de hoeken aan die deze vectoren maken met de horizontale as. Nu dienen we te bedenken dat: Met behulp van deze ingrediënten ga ik met vergelijking (6) knutselen (en ik laat voor de overzichtelijkheid de grenzen van de integraal weg): Vervolgens maak ik gebruik van de som-/verschilformules uit de goniometrie: Om redenen die weldra duidelijk zullen worden neem ik in plaats van de functie f de complex geconjugeerde van f, dat levert een sterretje op bij de functie f en een tekenwisseling bij de hoek α: In een plaatje ziet dat er zo uit. De som van −α en β vormt samen een hoek die ik φ noem: Ik heb het even opgeschreven als twee aparte integralen, want op deze manier herkennen we direct (toch?) een inwendig product en een uitwendig product: In woorden: de eerste integraal is het vectorveld dat exact met het contour meestroomt, en de tweede integraal is het vectorveld dat loodrecht op het contour er doorheen stroomt. Ik kan ook schrijven (n is een normaalvector die loodrecht op het contour staat): Stel dat ik integreer over een gesloten contour, dus dat mijn beginpunt en eindpunt samenvallen, én met de belangrijke voorwaarde dat de functie f in het gehele gebied binnen mijn contour holomorf is, dan wordt de integraal als volgt:

Volgens meneer Stokes geldt de stelling van Stokes:

Hiermee wordt vergelijking (17): De integraal helemaal rechts ga ik anders opschrijven en daarvoor grijp ik terug op vergelijking (15) en ik dien ook te bedenken dat: Vergelijking (19) wordt dan: De volgende truc is om de vector dz over een hoek van −90 graden te draaien, dus in plaats dat dz precies het contour volgt komt ie er nu loodrecht op te staan én naar buiten gericht. Wanneer ik tegelijk de hoek tussen de vectoren f^* en dz mee laat veranderen dan blijft per saldo alles hetzelfde: Volgens de divergentiestelling geldt: Hiermee wordt vergelijking (22):

Nu komt de grote klapper, want zoals we bij het differentiëren van complexe functies zagen (in een holomorf gebied) zijn zowel de divergentie als de rotatie van het Pólya-vectorveld altijd gelijk aan nul (de derde regel van vergelijking (25)), en dat is equivalent aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen (de eerste regel van vergelijking (25)):

Hiermee vereenvoudigt de integraal van vergelijking (24) tot: Ik had dit trouwens ook op een hele andere manier aan kunnen vliegen, ik begin nogmaals bij vergelijking (6): Voor de functie f neem ik weer de complex geconjugeerde van f, dat levert een sterretje op bij het imaginaire deel v en een tekenwisseling:

Zo beland ik op precies hetzelfde punt als vergelijking (16) en via de stelling van Stokes en de divergentiestelling kom ik vervolgens tot hetzelfde monumentale resultaat:

Dit resultaat staat nu in de boeken als de Cauchy-Goursat-stelling, maar meestal wordt meneer Goursat weggelaten en praat men over de Cauchy-stelling (of het Cauchy-theorema).

Oftewel:

• wanneer ik een complexe functie f (z) integreer langs een gesloten contour, waarbij alle punten op het contour én binnen het contour regulier zijn (het hele omsloten gebied inclusief het contour is holomorf), dan is het antwoord altijd nul.

Ik geef even een voorbeeld en daarvoor pak ik de functie f (z) = 1/z erbij: Ik maak een grafiek van deze functie. Ik maak de grafiek nog een keer, maar dan met eenheidsvectoren, dat ziet er wat duidelijker uit. Ik zoek de functie op in de holomorfietabel van complexe functies en ik vind dat de functie overal holomorf is, behalve in de oorsprong. Indien ik een gesloten contour aanleg en de oorsprong daarbij niet omsluit dan is de integraal langs dat contour altijd nul. Ik teken een stel contouren in die allemaal nul opleveren. En op deze manier zijn ze allemaal ongelijk aan nul. Het is een beetje een rommeltje geworden, maar het idee is hopelijk wel overgekomen: in figuur 9 omvat ieder contour de oorsprong, een niet-regulier punt. In alle andere gevallen, de gevallen waarbij geen sprake is van een holomorf gebied, ben ik gedwongen om de integraal helemaal uit te werken volgens vergelijking (6):