Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie

De Euler-Lagrange-vergelijking

Stel we hebben een functie f₁ die bepaald wordt door drie variabelen x, y₁ en dy₁/dx:

Waarbij y₁ een functie van x is, want anders zou dy₁/dx gelijk aan nul zijn. Dus in essentie is x de enige variabele die de functie f₁ bepaalt. Ik ga de functie f₁ integreren van x₁ tot x₂:

Ik ga ervan uit dat I₁ een extreme waarde is (een minimum of een maximum), met andere woorden:

Naast de kromme die beschreven wordt door y₁ (x) ligt een andere kromme y₂ (x, λ):

Hierin is λ een parameter die niet afhankelijk is van x. Verder eis ik dat y₁ (x) en y₂ (x) voor x₁ en x₂ samenvallen (lees: door hetzelfde punt gaan), oftewel:

De integraal I₂ voor de naastliggende kromme is:

Hier ga ik vergelijking (4) in invullen:

Aangezien I₁ een extreme waarde is, is I₂ dat ook voor λ = 0:

Een extreme waarde vinden we door de afgeleide te bepalen en die nul te stellen:

Dit combineer ik met vergelijking (6):

Omdat we hier te maken hebben met het product van twee functies, f₂ en dx, ga ik gebruik maken van de productregel:

De variabelen x en λ zijn onafhankelijk van elkaar en daarom is de afgeleide van x naar λ (of vice versa) gelijk aan nul:

Dit ga ik vervolgens partieel differentiëren:

Omdat x en λ onafhankelijk zijn van elkaar is de eerste term gelijk aan nul:

Bovendien geldt:

Hiermee wordt vergelijking (14):

De rechterintegraal ga ik partieel integreren:

De afgeleide van y₂ naar λ vind ik door vergelijking (4) te differentiëren:

En omdat de functie ξ (x) nul is bij de grenzen van de integraal (zie de vergelijkingen (5)) valt de linkerterm van het rechterlid van vergelijking (17) weg (die is nul):

Dit resultaat stop ik weer terug in vergelijking (16) en ik ga wat reorganiseren:

En nu komt de grote klapper, want ik kan nu stellen:

En zo ben ik λ helemaal kwijt en heb ik een algemene uitdrukking voor de voorwaarde die een functie moet hebben zodat de integraal I een extreme waarde is. Ik had helemaal aan het begin ook de volgende functie als uitgangspunt kunnen nemen:

Dan had vergelijking (21) er nu zo uitgezien:

Of met een kleine wijziging in notatie en reorganisatie van termen:

Bovenstaande vergelijking, de Euler-Lagrange-vergelijking, is de voorwaarde voor een functie zodat de integraal I een extreme waarde is. Omdat deze vergelijking vooral toepassing vindt in variatieproblemen en daar vaak wortels voorkomen is het tenslotte van belang om op te merken dat f probleemloos door √f mag worden vervangen.