De Euler-Lagrange-vergelijking
Stel we hebben een functie f
1 die bepaald wordt door drie variabelen x, y
1 en dy
1/dx:
Waarbij y
1 een functie van x is, want anders zou dy
1/dx gelijk aan nul zijn.
Dus in essentie is x de enige variabele die de functie f
1 bepaalt.
Ik ga de functie f
1 integreren
van x
1 tot x
2:
Ik ga ervan uit dat I
1 een extreme waarde is (een minimum of een maximum), met andere woorden:
Naast de kromme die beschreven wordt door y
1 (x) ligt een andere kromme y
2 (x, λ):
Hierin is λ een parameter die
niet afhankelijk is van x.
Verder eis ik dat y
1 (x) en y
2 (x) voor x
1 en x
2 samenvallen
(lees: door hetzelfde punt gaan), oftewel:
De
integraal
I
2 voor de naastliggende kromme is:
Hier ga ik vergelijking (4) in invullen:
Aangezien I
1 een extreme waarde is, is I
2 dat ook voor λ = 0:
Een extreme waarde vinden we door de
afgeleide te bepalen en die nul te stellen:
Dit combineer ik met vergelijking (6):
Omdat we hier te maken hebben met het product van twee functies, f
2 en dx, ga ik gebruik maken van
de
productregel:
De variabelen x en λ zijn onafhankelijk van elkaar en daarom is de
afgeleide van x naar λ (of vice versa)
gelijk aan nul:
Dit ga ik vervolgens
partieel differentiëren:
Omdat x en λ onafhankelijk zijn van elkaar is de eerste term gelijk aan nul:
Bovendien geldt:
Hiermee wordt vergelijking (14):
De rechter
integraal ga ik
partieel integreren:
De
afgeleide
van y
2 naar λ vind ik door vergelijking (4) te
differentiëren:
En omdat de functie ξ (x) nul is bij de
grenzen van de
integraal (zie de vergelijkingen (5)) valt de
linkerterm van het rechterlid van vergelijking (17) weg (die is nul):
Dit resultaat stop ik weer terug in vergelijking (16) en ik ga wat reorganiseren:
En nu komt de grote klapper, want ik kan nu stellen:
En zo ben ik λ helemaal kwijt en heb ik een algemene uitdrukking voor de voorwaarde die een functie moet hebben
zodat de
integraal I een extreme waarde is.
Ik had helemaal aan het begin ook de volgende functie als uitgangspunt kunnen nemen:
Dan had vergelijking (21) er nu zo uitgezien:
Of met een kleine wijziging in notatie en reorganisatie van termen:
Bovenstaande vergelijking, de
Euler-Lagrange-vergelijking, is de voorwaarde voor een functie zodat de
integraal I een extreme waarde is.
Omdat deze vergelijking vooral toepassing vindt in variatieproblemen en daar vaak
wortels voorkomen is het
tenslotte van belang om op te merken dat f probleemloos door √f mag worden vervangen.
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
Vectoren
Vectoren, vraagstuk 78
De covariante metrische tensor naar contravariant en vice versa
De Taylor-reeks van
De Taylor-reeksen van
De stelling van Green
Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 1
De invariante lichtsnelheid en tijddilatatie
Relativistische afleiding van de formule van Heaviside
Fotogallerij
Het magnetische veld van een lange rechte geleider
Wat doe je wanneer je uitstelgedrag vertoont?
De illusie dat het allemaal niet zo’n vaart zal lopen
Gebogen wetenschap
De Liefde
Reacties op lezingen
LaTeX
Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen
Kalender van de jaren 0371 − 0380 met weekdagen
Kalender van de jaren 0751 − 0760 met weekdagen
De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)
De integralen van f (x) = sin2 x/(1 + a cos x)2
De integraal van f (x) = 1/(x2 (ax2 + bx + c))
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt
De integraal van f (x) = xm ln (ax)
De integraal van f (x) = xp ln (ax)
De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt
De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt
De naam van een zwart gat
De integraal van f (x) = xp cos (ax)
Naar de overzichtspagina wiskunde
Naar de overzichtspagina natuurkunde
Naar de overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen