De Euler-Lagrange-vergelijking
Stel we hebben een functie f
1 die bepaald wordt door drie variabelen x, y
1 en dy
1/dx:
Waarbij y
1 een functie van x is, want anders zou dy
1/dx gelijk aan nul zijn.
Dus in essentie is x de enige variabele die de functie f
1 bepaalt.
Ik ga de functie f
1 integreren
van x
1 tot x
2:
Ik ga ervan uit dat I
1 een extreme waarde is (een minimum of een maximum), met andere woorden:
Naast de kromme die beschreven wordt door y
1 (x) ligt een andere kromme y
2 (x, λ):
Hierin is λ een parameter die
niet afhankelijk is van x.
Verder eis ik dat y
1 (x) en y
2 (x) voor x
1 en x
2 samenvallen
(lees: door hetzelfde punt gaan), oftewel:
De
integraal
I
2 voor de naastliggende kromme is:
Hier ga ik vergelijking (4) in invullen:
Aangezien I
1 een extreme waarde is, is I
2 dat ook voor λ = 0:
Een extreme waarde vinden we door de
afgeleide te bepalen en die nul te stellen:
Dit combineer ik met vergelijking (6):
Omdat we hier te maken hebben met het product van twee functies, f
2 en dx, ga ik gebruik maken van
de
productregel:
De variabelen x en λ zijn onafhankelijk van elkaar en daarom is de
afgeleide van x naar λ (of vice versa)
gelijk aan nul:
Dit ga ik vervolgens
partieel differentiëren:
Omdat x en λ onafhankelijk zijn van elkaar is de eerste term gelijk aan nul:
Bovendien geldt:
Hiermee wordt vergelijking (14):
De rechter
integraal ga ik
partieel integreren:
De
afgeleide
van y
2 naar λ vind ik door vergelijking (4) te
differentiëren:
En omdat de functie ξ (x) nul is bij de
grenzen van de
integraal (zie de vergelijkingen (5)) valt de
linkerterm van het rechterlid van vergelijking (17) weg (die is nul):
Dit resultaat stop ik weer terug in vergelijking (16) en ik ga wat reorganiseren:
En nu komt de grote klapper, want ik kan nu stellen:
En zo ben ik λ helemaal kwijt en heb ik een algemene uitdrukking voor de voorwaarde die een functie moet hebben
zodat de
integraal I een extreme waarde is.
Ik had helemaal aan het begin ook de volgende functie als uitgangspunt kunnen nemen:
Dan had vergelijking (21) er nu zo uitgezien:
Of met een kleine wijziging in notatie en reorganisatie van termen:
Bovenstaande vergelijking, de
Euler-Lagrange-vergelijking, is de voorwaarde voor een functie zodat de
integraal I een extreme waarde is.
Omdat deze vergelijking vooral toepassing vindt in variatieproblemen en daar vaak
wortels voorkomen is het
tenslotte van belang om op te merken dat f probleemloos door √f mag worden vervangen.