Vectoren, vraagstuk 42

Gegeven D:
Vergelijking
  1. Maak een schets van D.
  2. Schrijf de volgende integraal als herhaalde integraal:
    Vergelijking
  1. Maak een schets van D.

    Een plaatje van het integratiegebied D ziet er als volgt uit, allereerst bekijken we de doorsnede y-z voor enkele x-waarden (x = 0, x = 1, x = √2):
    Grafiek
    Dit is de doorsnede x-y voor enkele z-waarden (z = 0.01, z = 1, z = 4):
    Grafiek
    Het is een soort omgekeerde kegel (met de punt dus naar beneden) met de top in de oorsprong (dus de straal van de kegel is nul voor z = 0) en een straal van √2 voor z = 2. De wanden van de kegel zijn niet recht maar worden beschreven door een parabool. We hebben dus niet te maken met een kegel maar met een paraboloïde. Datgene wat groen is is het integratiegebied (alleen het eerste kwadrant, dus het is een kwart paraboloïde).
    Grafiek
    Een paraboloïde
  2. Schrijf de volgende integraal als herhaalde integraal:
    Vergelijking
    Alle grenzen zijn al gegeven, en door de integratievolgorde om te keren wordt de integraal:
    Vergelijking
    Het is natuurlijk wel leuk om de integraal dan ook ‘effe’ uit te rekenen:
    Vergelijking
    De oplossing van de integraal van (2 − x2)1/2 kun je vinden in de tabel met integralen en de oplossing van de integraal van x2 (2 − x2)1/2 kun je ook vinden in de tabel met integralen. Het eindresultaat wordt dan:
    Vergelijking
    Dit is waarschijnlijk veel handiger in cilindercoördinaten:
    Vergelijking
    Vergelijking
    Vergelijking
    Vergelijking
    Voor de bovengrens van r geldt:
    Vergelijking
    Waarmee de integratiegrenzen worden:
    Vergelijking
    Vergelijking
    Vergelijking
    De integraal wordt dan:
    Vergelijking