Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie

De cycloïde

Een cirkel heeft als vergelijking:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(1)} \qquad (x - a)^{2} + (y - b)^{2} & = & R^{2} \\ \end{eqnarray*} \]

Hierin is R de straal van de cirkel en het middelpunt M = (a, b). Ik kan y als functie van x schrijven:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(2)} \qquad (x - a)^{2} + (y - b)^{2} & = & R^{2} \\ (y - b)^{2} & = & R^{2} - (x - a)^{2} \\ y - b & = & \sqrt{R^{2} - (x - a)^{2}} \\ y & = & \sqrt{R^{2} - (x - a)^{2}} + b \\ \end{eqnarray*} \]

De positieve wortel is de helft van de cirkel die boven het middelpunt ligt, en de negatieve wortel is de helft van de cirkel die onder het middelpunt ligt. Om volledig te zijn moet ik vergelijking (2) dus als volgt schrijven:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(3)} \qquad y & = & \pm \sqrt{R^{2} - (x - a)^{2}} + b \\ \end{eqnarray*} \]

Voor de booglengte geldt:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(4)} \qquad s & = & \int \sqrt{1 + \left ( \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \right )^{2}} \, \mbox{d}x \\ \end{eqnarray*} \]

Daarom ga ik nu eerst de afgeleide bepalen (ik ga de booglengte uitrekenen in het eerste kwadrant, dus ik ga uit van de positieve wortel):

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(5)} \qquad \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} & = & \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} (\sqrt{R^{2} - (x - a)^{2}} + b) \\ & = & \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{R^{2} - (x - a)^{2}}} (0 - 2 (x - a) \cdot 1) + 0 \\ & = & \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{R^{2} - (x - a)^{2}}} (- 2 (x - a)) \\ & = & - \frac{x - a}{\sqrt{R^{2} - (x - a)^{2}}} \\ \end{eqnarray*} \]

De booglengte wordt dan:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(6)} \qquad s & = & \int \sqrt{1 + \left ( \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \right )^{2}} \, \mbox{d}x \\ & = & \int \sqrt{1 + \left ( - \frac{x - a}{\sqrt{R^{2} - (x - a)^{2}}} \right )^{2}} \, \mbox{d}x \\ & = & \int \sqrt{1 + \frac{(x - a)^{2}}{R^{2} - (x - a)^{2}}} \, \mbox{d}x \\ & = & \int \sqrt{\frac{R^{2} - (x - a)^{2}}{R^{2} - (x - a)^{2}} + \frac{(x - a)^{2}}{R^{2} - (x - a)^{2}}} \, \mbox{d}x \\ & = & \int \sqrt{\frac{R^{2} - (x - a)^{2} + (x - a)^{2}}{R^{2} - (x - a)^{2}}} \, \mbox{d}x \\ & = & \int \sqrt{\frac{R^{2}}{R^{2} - (x - a)^{2}}} \, \mbox{d}x \\ & = & R \int \sqrt{\frac{1}{R^{2} - (x - a)^{2}}} \, \mbox{d}x \\ & = & R \int \frac{1}{\sqrt{R^{2} - (x - a)^{2}}} \, \mbox{d} (x - a) \\ \end{eqnarray*} \]

De oplossing van de integraal van 1/(a² − x²)^1/2 zoek ik op in de tabel met integralen. Dat brengt ons bij dit resultaat:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(7)} \qquad s & = & R \int \frac{1}{\sqrt{R^{2} - (x - a)^{2}}} \, \mbox{d} (x - a) \\ & = & R \arcsin \frac{x - a}{R} \\ \end{eqnarray*} \]

Laat ik dit eens uitrekenen voor x = a tot x = a + R, dus een kwart boog van de cirkel, het rechtsbovenkwart om precies te zijn:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(8)} \qquad s & = & \left [ R \arcsin \frac{x - a}{R} \right ]_{x = a}^{x = a + R} \\ & = & R \arcsin \frac{a + R - a}{R} - R \arcsin \frac{a - a}{R} \\ & = & R \arcsin \frac{R}{R} - R \arcsin \frac{0}{R} \\ & = & R \arcsin 1 - R \arcsin 0 \\ & = & R \frac{\pi}{2} - 0 \\ & = & \frac{1}{2} \pi R \\ \end{eqnarray*} \]

Door dit met vier te vermenigvuldigen vind ik de totale omtrek:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(9)} \qquad O & = & 4 \cdot \frac{1}{2} \pi R \\ & = & 2 \pi R \\ \end{eqnarray*} \]

Dit resultaat, de omtrek van een cirkel, is overbekend (toch?). Nu plaats ik de cirkel zo dat de onderkant precies in de oorsprong ligt, en het middelpunt ligt dan op (a, b) = (0, R). Dus a = 0 en b = R:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(10)} \qquad y & = & \pm \sqrt{R^{2} - (x - a)^{2}} + b \\ & = & \pm \sqrt{R^{2} - (x - 0)^{2}} + R \\ & = & \pm \sqrt{R^{2} - x^{2}} + R \\ \end{eqnarray*} \]

De grafiek van f (x) = ± 1/(R² − x²)^1/2 + R voor R = 1

Ik markeer het punt op de cirkel dat nu in de oorsprong ligt met een rode stip.

De grafiek van f (x) = ± 1/(R² − x²)^1/2 + R voor R = 1,
de rode stip is een referentiepunt

Vervolgens ga ik de cirkel naar rechts rollen en ik ben geïnteresseerd in de beweging die de rode punt gaat maken, de rolkromme van de rode punt. Wanneer de cirkel een stukje gerold is over een afstand ε dan is dit de situatie.

Ik geef het middelpunt M aan en de hoek φ waarover de cirkel gerold is.

Er geldt:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(11)} \qquad \frac{\epsilon}{2 \pi R} & = & \frac{\varphi}{2 \pi} \\ \varphi & = & \frac{\epsilon}{R} \\ \end{eqnarray*} \]

Dit gebruik ik om x en y (van het referentiepunt S) te bepalen:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(12a)} \qquad \sin \varphi & = & \frac{\epsilon - x}{R} \\ \epsilon - x & = & R \sin \varphi \\ x & = & \epsilon - R \sin \varphi \\ & = & \epsilon - R \sin \frac{\epsilon}{R} \\ & = & R \left ( \frac{\epsilon}{R} - \sin \frac{\epsilon}{R} \right ) \\ \end{eqnarray*} \] \[ \begin{eqnarray*} \mbox{(12b)} \qquad \cos \varphi & = & \frac{R - y}{R} \\ R - y & = & R \cos \varphi \\ y & = & R - R \cos \varphi \\ & = & R - R \cos \frac{\epsilon}{R} \\ & = & R \left ( 1 - \cos \frac{\epsilon}{R} \right ) \\ \end{eqnarray*} \]

Met behulp van vergelijking (11) kom ik tenslotte bij het volgende:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(13a)} \qquad x & = & R \left ( \frac{\epsilon}{R} - \sin \frac{\epsilon}{R} \right ) \\ & = & R (\varphi - \sin \varphi) \\ \end{eqnarray*} \] \[ \begin{eqnarray*} \mbox{(13b)} \qquad y & = & R \left ( 1 - \cos \frac{\epsilon}{R} \right ) \\ & = & R (1 - \cos \varphi) \\ \end{eqnarray*} \]

Door φ te laten variëren van 0 tot 2π ontstaat de rolkromme die de rode punt volgt, de cycloïde, en daar ga ik uiteraard een grafiek van maken.

De grafiek van f (φ) = f (x (φ), y (φ)) voor R = 1 (de rode lijn),
R = 2 (de groene lijn) en R = 3 (de blauwe lijn)

Bij φ = 2π heeft de cirkel één volledige omwenteling gemaakt, maar ik kan natuurlijk gewoon door blijven rollen.

De grafiek van f (φ) = f (x (φ), y (φ)), R = 1

Ik ga de afgeleiden bepalen van de cycloïde:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(14a)} \qquad \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}\varphi} & = & \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}\varphi} (R (\varphi - \sin \varphi)) \\ & = & R (1 - \cos \varphi) \\ \end{eqnarray*} \] \[ \begin{eqnarray*} \mbox{(14b)} \qquad \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}\varphi} & = & \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}\varphi} (R (1 - \cos \varphi)) \\ & = & R (0 + \sin \varphi) \\ & = & R \sin \varphi \\ \end{eqnarray*} \]

De grafiek van f' (φ) = f' (x' (φ), y' (φ)) voor R = 1 (de rode lijn),
R = 2 (de groene lijn) en R = 3 (de blauwe lijn)

Voor de booglengte geldt (ditmaal in parametervorm):

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(15)} \qquad s & = & \int \sqrt{\left ( \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}\varphi} \right )^{2} + \left ( \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}\varphi} \right )^{2}} \, \mbox{d}\varphi \\ \end{eqnarray*} \]

Ik vul de vergelijkingen (14) in:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(16)} \qquad s & = & \int \sqrt{\left ( \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}\varphi} \right )^{2} + \left ( \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}\varphi} \right )^{2}} \, \mbox{d}\varphi \\ & = & \int \sqrt{(R (1 - \cos \varphi))^{2} + (R \sin \varphi)^{2}} \, \mbox{d}\varphi \\ & = & \int \sqrt{R^{2} (1 - 2 \cos \varphi + \cos^{2} \varphi) + R^{2} \sin^{2} \varphi} \, \mbox{d}\varphi \\ & = & R \int \sqrt{1 - 2 \cos \varphi + \cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi} \, \mbox{d}\varphi \\ & = & R \int \sqrt{1 - 2 \cos \varphi + 1} \, \mbox{d}\varphi \\ & = & R \int \sqrt{2 - 2 \cos \varphi} \, \mbox{d}\varphi \\ & = & \sqrt{2} R \int \sqrt{1 - \cos \varphi} \, \mbox{d}\varphi \\ \end{eqnarray*} \]

De oplossing van de integraal van (1 − cos x)^1/2 zoek ik op in de tabel met integralen. Dat brengt ons bij dit resultaat:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(17)} \qquad s & = & \sqrt{2} R \int \sqrt{1 - \cos \varphi} \, \mbox{d}\varphi \\ & = & - \sqrt{2} R \sum_{n = 0}^{n = \infty} \frac{(2n)!}{(2 n - 1) 2^{2n} (n!)^{2}} \left \lbrace{ \begin{array}{l} n \mbox{ = even: } \frac{n!}{2^{n} \left ( \left ( \frac{1}{2} n \right )! \right )^{2}} \left ( x + \sin x \sum_{i = 0}^{i = \frac{1}{2} n - 1} \frac{2^{2i} (i!)^{2}}{(2i + 1)!} \cos^{2i + 1} x \right ) \\ n \mbox{ = oneven: } \sum_{i = 0}^{i = \frac{1}{2} (n - 1)} \left ( {\frac{1}{2} (n - 1) \atop i} \right ) \frac{(-1)^{i}}{2 i + 1} \sin^{2 i + 1} x \\ \end{array}} \right . \\ \end{eqnarray*} \]

Dit ziet er uit als een kolossale puinhoop, en dat is het ook. Maar er schijnt licht aan het eind van de tunnel, want ik wil de booglengte berekenen van één volledige boog van de cycloïde en dat betekent dat ik de grenzen φ = 0 en φ = 2π ga invullen:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(18)} \qquad s & = & \left [ - \sqrt{2} R \sum_{n = 0}^{n = \infty} \frac{(2n)!}{(2 n - 1) 2^{2n} (n!)^{2}} \right . \\ & & \qquad \qquad \qquad \left . \left \lbrace{ \begin{array}{l} n \mbox{ = even: } \frac{n!}{2^{n} \left ( \left ( \frac{1}{2} n \right )! \right )^{2}} \left ( x + \sin x \sum_{i = 0}^{i = \frac{1}{2} n - 1} \frac{2^{2i} (i!)^{2}}{(2i + 1)!} \cos^{2i + 1} x \right ) \\ n \mbox{ = oneven: } \sum_{i = 0}^{i = \frac{1}{2} (n - 1)} \left ( {\frac{1}{2} (n - 1) \atop i} \right ) \frac{(-1)^{i}}{2 i + 1} \sin^{2 i + 1} x \\ \end{array}} \right . \right ]_{\varphi = 0}^{\varphi = 2 \pi} \\ & = & \left ( - \sqrt{2} R \sum_{n = 0}^{n = \infty} \frac{(2n)!}{(2 n - 1) 2^{2n} (n!)^{2}} \right . \\ & & \qquad \qquad \qquad \left . \left \lbrace{ \begin{array}{l} n \mbox{ = even: } \frac{n!}{2^{n} \left ( \left ( \frac{1}{2} n \right )! \right )^{2}} \left ( 2 \pi + \sin (2 \pi) \sum_{i = 0}^{i = \frac{1}{2} n - 1} \frac{2^{2i} (i!)^{2}}{(2i + 1)!} \cos^{2i + 1} (2 \pi) \right ) \\ n \mbox{ = oneven: } \sum_{i = 0}^{i = \frac{1}{2} (n - 1)} \left ( {\frac{1}{2} (n - 1) \atop i} \right ) \frac{(-1)^{i}}{2 i + 1} \sin^{2 i + 1} (2 \pi) \\ \end{array}} \right . \right ) \\ & & \qquad - \, \left ( - \sqrt{2} R \sum_{n = 0}^{n = \infty} \frac{(2n)!}{(2 n - 1) 2^{2n} (n!)^{2}} \right . \\ & & \qquad \qquad \qquad \qquad \left . \left \lbrace{ \begin{array}{l} n \mbox{ = even: } \frac{n!}{2^{n} \left ( \left ( \frac{1}{2} n \right )! \right )^{2}} \left ( 0 + \sin 0 \sum_{i = 0}^{i = \frac{1}{2} n - 1} \frac{2^{2i} (i!)^{2}}{(2i + 1)!} \cos^{2i + 1} 0 \right ) \\ n \mbox{ = oneven: } \sum_{i = 0}^{i = \frac{1}{2} (n - 1)} \left ( {\frac{1}{2} (n - 1) \atop i} \right ) \frac{(-1)^{i}}{2 i + 1} \sin^{2 i + 1} 0 \\ \end{array}} \right . \right ) \\ & = & \left ( - \sqrt{2} R \sum_{n = 0}^{n = \infty} \frac{(2n)!}{(2 n - 1) 2^{2n} (n!)^{2}} \left \lbrace{ \begin{array}{l} n \mbox{ = even: } \frac{n!}{2^{n} \left ( \left ( \frac{1}{2} n \right )! \right )^{2}} (2 \pi + 0) \\ n \mbox{ = oneven: } 0 \\ \end{array}} \right . \right ) \\ & & \qquad - \, \left ( - \sqrt{2} R \sum_{n = 0}^{n = \infty} \frac{(2n)!}{(2 n - 1) 2^{2n} (n!)^{2}} \left \lbrace{ \begin{array}{l} n \mbox{ = even: } 0 \\ n \mbox{ = oneven: } 0 \\ \end{array}} \right . \right ) \\ & = & - 2 \sqrt{2} \pi R \sum_{n = 0}^{n = \infty} \frac{(2n)!}{(2 n - 1) 2^{2n} (n!)^{2}} \frac{n!}{2^{n} \left ( \left ( \frac{1}{2} n \right )! \right )^{2}} \qquad \qquad n \mbox{ = even} \\ & = & - 2 \sqrt{2} \pi R \sum_{n = 0}^{n = \infty} \frac{(2n)!}{(2 n - 1) 2^{3n} n!} \frac{1}{\left ( \left ( \frac{1}{2} n \right )! \right )^{2}} \qquad \qquad n \mbox{ = even} \\ \end{eqnarray*} \]

Ik stel n = 2k zodat n altijd even is:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(19)} \qquad s & = & - 2 \sqrt{2} \pi R \sum_{n = 0}^{n = \infty} \frac{(2n)!}{(2 n - 1) 2^{3n} n!} \frac{1}{\left ( \left ( \frac{1}{2} n \right )! \right )^{2}} \qquad \qquad n \mbox{ = even} \\ & = & - 2 \sqrt{2} \pi R \sum_{2 k = 0}^{2 k = \infty} \frac{(2 \cdot 2 k)!}{(2 \cdot 2 k - 1) 2^{3 \cdot 2 k} (2 k)!} \frac{1}{\left ( \left ( \frac{1}{2} \cdot 2 k \right )! \right )^{2}} \qquad \qquad 2 k \mbox{ = even} \\ & = & - 2 \sqrt{2} \pi R \sum_{k = 0}^{k = \infty} \frac{(4 k)!}{(4 k - 1) 2^{6 k} (2 k)! (k!)^{2}} \\ & = & R \left ( - 2 \sqrt{2} \pi \sum_{k = 0}^{k = \infty} \frac{(4 k)!}{(4 k - 1) 2^{6 k} (2 k)! (k!)^{2}} \right ) \\ \end{eqnarray*} \]

Om het rekenen een stuk eenvoudiger te maken reken ik de verhouding van een term ten opzichte van de vorige term uit:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(20)} \qquad \frac{\mbox{Term } (k + 1)}{\mbox{Term } (k)} & = & \frac{\frac{(4 (k + 1))!}{(4 (k + 1) - 1) 2^{6 (k + 1)} (2 (k + 1))! ((k + 1)!)^{2}}}{\frac{(4 k)!}{(4 k - 1) 2^{6 k} (2 k)! (k!)^{2}}} \\ & = & \frac{\frac{(4k + 4)!}{(4k + 3) 2^{6k + 6} (2k + 2)! ((k + 1)!)^{2}}}{\frac{(4 k)!}{(4 k - 1) 2^{6 k} (2 k)! (k!)^{2}}} \\ & = & \frac{\frac{(4k)! (4k + 1) (4k + 2) (4k + 3) (4k + 4)}{(4k + 3) 2^{6k + 6} (2k)! (2k + 1) (2k + 2) (k! (k + 1))^{2}}} {\frac{(4 k)!}{(4 k - 1) 2^{6 k} (2 k)! (k!)^{2}}} \\ & = & \frac{(4k + 1) (2k + 1) (k + 1) (4 k - 1)}{2^{4} (2k + 1) (k + 1) (k + 1) (k + 1)} \\ & = & \frac{(4k + 1) (4 k - 1)}{2^{4} (k + 1) (k + 1)} \\ \end{eqnarray*} \]

Dan kunnen we nu de computer aan het werk zetten en dan blijkt dat het deel tussen de haken in vergelijking (19) precies acht oplevert! Kleine kanttekening: het convergeert wel tergend langzaam.

Aantal termen:	Resultaat:
10¹	8.04772946533239835027
10²	8.00497663575221353711
10³	8.00049976569824331773
10⁴	8.00004999765632324230
10⁵	8.00000499997656257324
10⁶	8.00000049999976562507
10⁷	8.00000004999999765625
10⁸	8.00000000499999997656
10⁹	8.00000000049999999977
10¹⁰	8.00000000005000000000

k	8 + (1/2)/k − (47/64)/k² + hogere orde termen

∞	8

De booglengte van één volledige boog is aldus:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(21)} \qquad s & = & 8 R \\ \end{eqnarray*} \]

Met behulp van de afgeleiden, de vergelijkingen (14), kan ik de extreme raaklijnen uitrekenen:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(22)} \qquad \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} & = & \frac{\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}\varphi}}{\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}\varphi}} \\ & = & \frac{R \sin \varphi}{R (1 - \cos \varphi)} \\ & = & \frac{\sin \varphi}{1 - \cos \varphi} \\ \end{eqnarray*} \]

Ik kijk eerst waar de afgeleide nul is:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(23)} \qquad \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} & = & 0 \\ \frac{\sin \varphi}{1 - \cos \varphi} & = & 0 \\ \sin \varphi & = & 0 \\ \varphi & = & 0 \quad \pmod{\pi} \\ \end{eqnarray*} \]

En ik kijk ook waar de afgeleide oneindig wordt:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(24)} \qquad \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} & = & \infty \\ \frac{\sin \varphi}{1 - \cos \varphi} & = & \infty \\ 1 - \cos \varphi & = & 0 \\ \cos \varphi & = & 1 \\ \varphi & = & 0 \quad \pmod{2 \pi} \\ \end{eqnarray*} \]

Vergelijking (23) geeft een vertekend beeld, want voor φ = 0 (mod 2π) wordt de noemer van de afgeleide nul en loopt de raaklijn verticaal. Er zijn dus horizontale raaklijnen (maxima) voor φ = π (mod 2π), en verticale raaklijnen voor φ = 0 (mod 2π).

De grafiek van dy/dx (φ)

De volgende vraag is: wat is de oppervlakte onder de cycloïde? Dan moet ik gaan integreren, en ter voorbereiding daarop ga ik eerst de vergelijkingen (13) anders opschrijven:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(25a)} \qquad x & = & R (\varphi - \sin \varphi) \\ & = & R (\varphi - \sqrt{1 - \cos^{2} \varphi} \, ) \\ \end{eqnarray*} \] \[ \begin{eqnarray*} \mbox{(25b)} \qquad y & = & R (1 - \cos \varphi) \\ \frac{y}{R} & = & 1 - \cos \varphi \\ \cos \varphi & = & 1 - \frac{y}{R} \\ \varphi & = & \arccos \left ( 1 - \frac{y}{R} \right ) \\ \end{eqnarray*} \]

Vergelijking (25b) vul ik in in vergelijking (25a):

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(26)} \qquad x & = & R (\varphi - \sqrt{1 - \cos^{2} \varphi} \, ) \\ & = & R \left ( \arccos \left ( 1 - \frac{y}{R} \right ) - \sqrt{1 - \cos^{2} \arccos \left ( 1 - \frac{y}{R} \right )} \, \right ) \\ & = & R \left ( \arccos \left ( 1 - \frac{y}{R} \right ) - \sqrt{1 - \left ( 1 - \frac{y}{R} \right )^{2}} \, \right ) \\ & = & R \left ( \arccos \left ( 1 - \frac{y}{R} \right ) - \sqrt{1 - 1 + \frac{2 y}{R} - \frac{y^{2}}{R^{2}}} \, \right ) \\ & = & R \left ( \arccos \left ( 1 - \frac{y}{R} \right ) - \sqrt{\frac{2 y}{R} - \frac{y^{2}}{R^{2}}} \, \right ) \\ & = & R \arccos \left ( 1 - \frac{y}{R} \right ) - \sqrt{2 R y - y^{2}} \\ \end{eqnarray*} \]

Normaal hebben we y als een functie van x, maar nu hebben we x als een functie van y. Gelukkig is dat in dit geval geen probleem (zoals weldra zal blijken), en ga ik nu integreren naar y:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(27)} \qquad X & = & \int \left ( R \arccos \left ( 1 - \frac{y}{R} \right ) - \sqrt{2 R y - y^{2}} \, \right ) \, \mbox{d}y \\ \end{eqnarray*} \]

De oplossing van de integraal van arccos (ax + b) kun je elders vinden in de tabel met integralen en de oplossing van de integraal van (ax² + bx)^1/2 kun je ook vinden in de tabel met integralen. Dat brengt ons bij dit resultaat:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(28)} \qquad X & = & \int \left ( R \arccos \left ( 1 - \frac{y}{R} \right ) - \sqrt{2 R y - y^{2}} \, \right ) \, \mbox{d}y \\ & = & R \left ( - R \left ( 1 - \frac{y}{R} \right ) \arccos \left ( 1 - \frac{y}{R} \right ) + R \sqrt{1 - \left ( 1 - \frac{y}{R} \right )^{2}} \, \right ) \\ & & \qquad \qquad + \, \frac{1}{8} \left ( (- 2y + 2R) \sqrt{(2R)^{2} - (- 2y + 2R)^{2}} + (2R)^{2} \arcsin \frac{- 2y + 2R}{2R} \right ) \\ & = & R \left ( (y - R) \arccos \left ( 1 - \frac{y}{R} \right ) + R \sqrt{1 - \left ( 1 - \frac{2y}{R} + \frac{y^{2}}{R^{2}} \right )} \, \right ) \\ & & \qquad \qquad + \, \frac{1}{8} \left ( 2 (R - y) \sqrt{4R^{2} - 4y^{2} + 8 R y - 4R^{2}} + 4R^{2} \arcsin \frac{R - y}{R} \right ) \\ & = & R (y - R) \arccos \left ( 1 - \frac{y}{R} \right ) + R \sqrt{2 R y - y^{2}} + \frac{1}{2} (R - y) \sqrt{2 R y - y^{2}} + \frac{1}{2} R^{2} \arcsin \left ( 1 - \frac{y}{R} \right ) \\ & = & \frac{1}{2} R^{2} \arcsin \left ( 1 - \frac{y}{R} \right ) + R (y - R) \arccos \left ( 1 - \frac{y}{R} \right ) + \frac{1}{2} (3 R - y) \sqrt{2 R y - y^{2}} \\ \end{eqnarray*} \]

Ik heb geïntegreerd naar y en daarmee kan ik de oppervlakte van het gele gebied in het onderstaande plaatje uitrekenen.

Ik ga de grenzen y = 0 en y = 2R invullen in de oplossing volgens vergelijking (28):

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(29)} \qquad A_{geel} & = & \left [ \frac{1}{2} R^{2} \arcsin \left ( 1 - \frac{y}{R} \right ) + R (y - R) \arccos \left ( 1 - \frac{y}{R} \right ) + \frac{1}{2} (3 R - y) \sqrt{2 R y - y^{2}} \, \right ]_{y = 0}^{y = 2 R} \\ & = & \frac{1}{2} R^{2} \arcsin \left ( 1 - \frac{2 R}{R} \right ) + R (2 R - R) \arccos \left ( 1 - \frac{2 R}{R} \right ) + \frac{1}{2} (3 R - 2 R) \sqrt{2 R (2 R) - (2 R)^{2}} \\ & & \qquad - \, \left ( \frac{1}{2} R^{2} \arcsin \left ( 1 - \frac{0}{R} \right ) + R (0 - R) \arccos \left ( 1 - \frac{0}{R} \right ) + \frac{1}{2} (3 R - 0) \sqrt{2 R \cdot 0 - 0^{2}} \, \right ) \\ & = & \frac{1}{2} R^{2} \arcsin (1 - 2) + R^{2} \arccos (1 - 2) + \frac{1}{2} R \sqrt{4 R^{2} - 4 R^{2}} \\ & & \qquad - \, \left ( \frac{1}{2} R^{2} \arcsin (1 - 0) - R^{2} \arccos (1 - 0) + 0 \right ) \\ & = & \frac{1}{2} R^{2} \arcsin (-1) + R^{2} \arccos (-1) + 0 - \frac{1}{2} R^{2} \arcsin 1 + R^{2} \arccos 1 \\ & = & \frac{1}{2} R^{2} \frac{- \pi}{2} + R^{2} \pi - \frac{1}{2} R^{2} \frac{\pi}{2} + R^{2} \cdot 0 \\ & = & - \frac{1}{4} R^{2} \pi + R^{2} \pi - \frac{1}{4} R^{2} \pi \\ & = & \frac{1}{2} \pi R^{2} \\ \end{eqnarray*} \]

Ik kan relatief simpel de oppervlakte van het groene gebied in het onderstaande plaatje uitrekenen.

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(30)} \qquad A_{groen} & = & 2 R \cdot \pi R \\ & = & 2 \pi R^{2} \\ \end{eqnarray*} \]

Uiteindelijk wil ik de oppervlakte onder de cycloïde weten, het blauwe gebied in het onderstaande plaatje.

Het blauwe gebied is het groene gebied minus het gele gebied:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(31)} \qquad A_{blauw} & = & A_{groen} - A_{geel} \\ & = & 2 \pi R^{2} - \frac{1}{2} \pi R^{2} \\ & = & \frac{3}{2} \pi R^{2} \\ \end{eqnarray*} \]

Tenslotte moet ik nog met twee vermenigvuldigen voor de totale oppervlakte onder één boog van de cycloïde:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(32)} \qquad A & = & 2 A_{blauw} \\ & = & 2 \cdot \frac{3}{2} \pi R^{2} \\ & = & 3 \pi R^{2} \\ \end{eqnarray*} \]

Ik bepaal ook de tweede afgeleiden:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(33a)} \qquad \frac{\mbox{d}^{2}x}{\mbox{d}\varphi^{2}} & = & \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}\varphi} \left ( \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}\varphi} \right ) \\ & = & \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}\varphi} (R (1 - \cos \varphi)) \\ & = & R (0 + \sin \varphi) \\ & = & R \sin \varphi \\ \end{eqnarray*} \] \[ \begin{eqnarray*} \mbox{(33b)} \qquad \frac{\mbox{d}^{2}y}{\mbox{d}\varphi^{2}} & = & \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}\varphi} \left ( \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}\varphi} \right ) \\ & = & \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}\varphi} (R \sin \varphi) \\ & = & R \cos \varphi \\ \end{eqnarray*} \]

De grafiek van f'' (x'' (t), y'' (t)) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

Dit stelt mij in staat om de kromming te bepalen:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(34)} \qquad \kappa & = & \frac{\frac{\mbox{d}^{2}y}{\mbox{d}\varphi^{2}} \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}\varphi} - \frac{\mbox{d}^{2}x}{\mbox{d}\varphi^{2}} \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}\varphi}} {\left ( \left ( \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}\varphi} \right )^{2} + \left ( \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}\varphi} \right )^{2} \right )^{3/2}} \\ \end{eqnarray*} \]

Alle ingrediënten heb ik beschikbaar en kan ik zo invullen:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(35)} \qquad \kappa & = & \frac{\frac{\mbox{d}^{2}y}{\mbox{d}\varphi^{2}} \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}\varphi} - \frac{\mbox{d}^{2}x}{\mbox{d}\varphi^{2}} \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}\varphi}} {\left ( \left ( \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}\varphi} \right )^{2} + \left ( \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}\varphi} \right )^{2} \right )^{3/2}} \\ & = & \frac{R \cos \varphi R (1 - \cos \varphi) - R \sin \varphi R \sin \varphi}{((R (1 - \cos \varphi))^{2} + (R \sin \varphi)^{2})^{3/2}} \\ & = & \frac{R^{2} \cos \varphi - R^{2} \cos^{2} \varphi - R^{2} \sin^{2} \varphi} {(R^{2} - 2 R^{2} \cos \varphi + R^{2} \cos^{2} \varphi + R^{2} \sin^{2} \varphi)^{3/2}} \\ & = & \frac{R^{2} \cos \varphi - R^{2} (\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)}{R^{3} (1 - 2 \cos \varphi + (\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi))^{3/2}} \\ & = & \frac{\cos \varphi - 1}{R (1 - 2 \cos \varphi + 1)^{3/2}} \\ & = & - \frac{1 - \cos \varphi}{R (2 - 2 \cos \varphi)^{3/2}} \\ & = & - \frac{1 - \cos \varphi}{2 \sqrt{2} R (1 - \cos \varphi)^{3/2}} \\ & = & - \frac{1}{2 \sqrt{2} R \sqrt{1 - \cos \varphi}} \\ \end{eqnarray*} \]

De kromtestraal is de reciproke van de kromming en is per definitie positief:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(36)} \qquad \rho & = & \left | \, \frac{1}{\kappa} \, \right | \\ \end{eqnarray*} \]

En die wordt dan:

\[ \begin{eqnarray*} \mbox{(37)} \qquad \rho & = & \left | \, \frac{1}{\kappa} \, \right | \\ & = & \left | \, \frac{1}{- \frac{1}{\sqrt{2} R \sqrt{1 - \cos \varphi}}} \, \right | \\ & = & \left | \, \sqrt{2} R \sqrt{1 - \cos \varphi} \, \right | \\ & = & \sqrt{2} R \sqrt{1 - \cos \varphi} \\ \end{eqnarray*} \]

De grafiek van κ (x) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)
Grafiek

De grafiek van ρ (x) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

Alles samengevat:

Cycloïde
Booglengte	\[ \begin{eqnarray} s & = & 8 R \\ \end{eqnarray} \]
Oppervlakte	\[ \begin{eqnarray} A & = & 3 \pi R^{2} \\ \end{eqnarray} \]
Kromming	\[ \begin{eqnarray} \kappa & = & - \frac{1}{2 \sqrt{2} R \sqrt{1 - \cos \varphi}} \\ \end{eqnarray} \]
Kromtestraal	\[ \begin{eqnarray} \rho & = & \sqrt{2} R \sqrt{1 - \cos \varphi} \\ \end{eqnarray} \]