Polygonen (veelhoeken) kun je verdelen in subpolygonen. Bijvoorbeeld een achthoek (een polygon met acht hoeken) kan ik verdelen in twee vijfhoeken door er simpelweg een diagonaal in te tekenen. Ik kan de diagonaal ook anders tekenen, van linksonder naar rechtsboven. De figuren 1 en 2 zijn identiek, want door de ene figuur vijfenveertig graden te roteren ontstaat de andere. Door het polygon, in dit voorbeeld de achthoek, een referentiezijde te geven is dat niet meer zo. Deze referentiezijde is het dak van het polygon en die geef ik vanaf nu aan met rood. De figuren 1 en 2 worden nu verschillend en ik combineer ze hieronder. En er zijn nog wat spelregels, ten eerste:

• het polygon moet convex zijn, dit betekent dat alle binnenhoeken kleiner dan honderdtachtig graden zijn.

Het polygon van figuur 5 is niet convex, want α₄ is groter dan honderdtachtig graden. Ten tweede:

• ieder lijntje dat ik teken moet van een hoek naar een hoek gaan, het moet een diagonaal zijn.

Dus de constructie volgens figuur 6 mag niet. En ten derde:

• de lijntjes die ik teken mogen elkaar niet snijden.

Dus de constructie volgens figuur 7 mag ook niet. Alle spelregels samengevat in één zin:

• het op te delen polygon moet convex zijn en mag alleen opgedeeld worden middels niet-snijdende diagonalen.

Dan ga ik nu beginnen om polygonen op te delen in polygonen en ik begin met verdelingen in driehoeken en vierhoeken. Ik teken de polygonen allemaal met zijden die even lang zijn, dat ziet er wat fraaier uit maar het maakt verder helemaal niets uit voor het resultaat (het aantal verdelingen). Ik kan bijvoorbeeld een vijfhoek, een pentagon, verdelen in één driehoek en één vierhoek op vijf verschillende manieren. Een zeshoek, een hexagon, kan ik op 21 verschillende manieren verdelen in twee driehoeken en een vierhoek. Ik zet ze in vier rijen, want het zijn vier varianten waarbij de oranje lijnen telkens een hoek doordraaien tegen de wijzers van de klok in. Een zevenhoek, een heptagon of septagon (“hepta” komt van het Griekse woord voor zeven en “septa” komt van het Latijnse woord voor zeven), kan ik op 28 verschillende manieren verdelen in een driehoek en twee vierhoeken. Ik zet ze in vier rijen, waarbij per rij wederom rotatievarianten naast elkaar staan. Een zevenhoek kan ik ook anders verdelen, namelijk in drie driehoeken en een vierhoek en wel op 84 verschillende manieren. Ik zet ze in twaalf rijen, met rotatievarianten per rij. Een achthoek, een octagon, kan ik op 180 verschillende manieren verdelen in twee driehoeken en twee vierhoeken. Ik zet ze in 25 rijen, met rotatievarianten per rij. Een negenhoek, een enneagon of nonagon (“ennea” komt van het Griekse woord voor negen en “nona” komt van het Latijnse woord voor negen), kan ik op 165 verschillende manieren verdelen in een driehoek en drie vierhoeken. Ik zet ze in negentien rijen, met rotatievarianten per rij. Dit is natuurlijk meer dan zomaar een tekenspelletje, laat ik de zes verschillende verdelingen die ik zojuist heb laten zien eens in een tabel zetten:

Aantal vierhoeken -->	0	1	2	3	4	5
Aantal driehoeken
0
1		5	28	165
2		21	180
3		84
4
5

De combinatie nul-nul (nul driehoeken en nul vierhoeken) geven we per definitie de waarde één.

Aantal vierhoeken -->	0	1	2	3	4	5
Aantal driehoeken
0	1
1		5	28	165
2		21	180
3		84
4
5

De linker kolom gaat over verdelingen maken met enkel en alleen driehoeken (het aantal vierhoeken is nul), dat zijn de Catalan-getallen:

Aantal vierhoeken -->	0	1	2	3	4	5
Aantal driehoeken
0	1
1	1	5	28	165
2	2	21	180
3	5	84
4	14
5	42
p

De bovenste rij gaat over verdelingen maken met enkel en alleen vierhoeken (het aantal driehoeken is nul), dat zijn de Fuss-getallen:

Aantal vierhoeken -->	0	1	2	3	4	5		q
Aantal driehoeken
0	1	1	3	12	55	273
1	1	5	28	165
2	2	21	180
3	5	84
4	14
5	42
p

De rest van de tabel voldoet aan:

Aantal vierhoeken -->	0	1	2	3	4	5		q
Aantal driehoeken
0	1	1	3	12	55	273
1	1	5	28	165	1001	6188
2	2	21	180	1430	10920	81396
3	5	84	990	10010	92820	813960
4	14	330	5005	61880	678300	6864396
5	42	1287	24024	352716	4476780	51482970
p

Voor q = 0 gaat vergelijking (3) over in vergelijking (1), de Catalan-getallen: En voor p = 0 gaat vergelijking (3) over in vergelijking (2), de Fuss-getallen: Vergelijking (3) bestrijkt dus de gehele bovenstaande tabel.

De variatie die ik kan aanbrengen in het verdelen van een polygon in subpolygonen is natuurlijk eindeloos, want ik kan bijvoorbeeld een zeshoek verdelen in een driehoek en een vijfhoek. Een zevenhoek kan ik verdelen in een driehoek en een zeshoek. Een tienhoek, een decagon, kan ik verdelen in één driehoek, twee vierhoeken en een vijfhoek (en ik ga niet alle verschillende manieren laten zien, want dat loopt helemaal uit de hand). Het aantal verschillende manieren kan ik uitrekenen volgens de algemene formule (hierin h₃ het aantal driehoeken, h₄ het aantal vierhoeken, h₅ het aantal vijfhoeken, enzovoort): Het aantal manieren waarop ik een polygon kan verdelen in een driehoek en een vijfhoek is (zie figuur 14): Het aantal manieren waarop ik een polygon kan verdelen in een driehoek en een zeshoek is (zie figuur 15): Het aantal manieren waarop ik een polygon kan verdelen in een driehoek, twee vierhoeken en een vijfhoek is (zie figuur 16): Het was een verstandig besluit om die niet allemaal uit te tekenen...

Vergelijking (6) staat nu (meestal) in de boeken als de hyper-Catalan-getallen: Indien alle h-parameters nul zijn behalve h₃ en h₄ dan gaat vergelijking (6) over in vergelijking (3). Indien alle h-parameters nul zijn behalve h₃ dan gaat vergelijking (6) over in vergelijking (1) en wanneer alle h-parameters nul zijn behalve h₄ dan gaat vergelijking (6) over in vergelijking (2).