De standaardaanpak om een reeks te maken is om eerst een stel afgeleiden te bepalen. Dus dat ga ik doen, ik ga eerst tien afgeleiden bepalen: Vervolgens ga ik bij de functie en zijn afgeleiden de y-waarde bepalen voor x = 0: Het moge duidelijk zijn dat dit traject hopeloos de mist in gaat.

Een andere manier dan, ik stel: Zodat de functie deze vorm krijgt: De reeks van ln (1 + x) kun je elders vinden in de tabel met Taylor-reeksen: Nu moet u uiteraard weer vervangen worden door x: Het is belangrijk om te kijken naar de convergentie van deze reeks, want indien de reeks divergeert dan hebben we er niets aan. De belangrijkste voorwaarde voor convergentie is indien de termen uitdoven als het ware, dus als een term voor grote waarden van n kleiner is dan de voorgaande term (in absolute waarden gesproken uiteraard): Voor deze reeks ziet dat er als volgt uit: Dit moet kleiner dan één zijn, oftewel | x | < 0. Met andere woorden: deze reeks convergeert nooit (en is dus waardeloos).

Ik had ook kunnen kiezen voor de volgende substitutie: Zodat de functie deze vorm krijgt: De reeks van ln (1 − x) kun je ook elders vinden in de tabel met Taylor-reeksen: Nu moet u uiteraard weer vervangen worden door x: Dit leidt tot hetzelfde resultaat als daarvoor, en dus met hetzelfde convergentieprobleem.

Ik kan ook de reeks van ln (a + x) opzoeken in de tabel met Taylor-reeksen: Door vervolgens a = 0 te stellen lijk ik ook mijn doel te bereiken, maar zoals je ziet is dat geen optie bij deze reeks want dan krijg ik weer delen-door-nul-problemen (net als bij de aanpak waar ik deze pagina mee begon).

De truc is om twee reeksen te combineren: Vervolgens ga ik deze twee reeksen van elkaar aftrekken: Het goede nieuws is dat alle even termen tegen elkaar wegvallen: Vervolgens stel ik: Waaruit volgt: Zodat de reeks tenslotte wordt: Hoe is het nu met de convergentie: Dit moet kleiner dan één zijn, oftewel | x − 1 | < | x + 1 |. En aangezien de functie alleen bestaat voor x > 0 is de convergentie dus gegarandeerd. Ik ga even uitzoomen naar grotere waarden van x voor meer duidelijkheid.