De tensor g is dermate belangrijk voor de algemene relativiteitstheorie dat Einstein er een hele paragraaf van zijn artikel aan wijdt. We zijn deze tensor al een aantal malen tegengekomen en we weten er nu al het een en ander van:

• g staat tegenwoordig te boek als de metrische tensor. Ondanks dat Einstein hier spreekt over de fundamentele tensor (“Fundamentaltensor”) is deze tensor niet onder die naam in de geschiedenisboekjes terecht gekomen. Maar heel soms kom je de aanduiding “fundamentele tensor” toch nog wel ergens tegen.
• g is een tensor van de tweede rang (twee indices: μ en ν).
• g is een covariante tensor (de indices staan onderaan).
• g is een symmetrische tensor (g_μν = g_νμ).

Het ruimtetijdinterval ds is invariant, en dus het kwadraat van ds ook. In paragraaf 4 hebben we uitgebreid gekeken naar het ontstaan van de vergelijking die ds² beschrijft: Waarin dx^μ en dx^ν tweemaal de componenten van willekeurige contravariante vectoren zijn. Uit het laatste deel van paragraaf 7 volgt daaruit eens te meer dat g een covariante symmetrische tensor van de tweede rang is. Einstein vermeldt er nog expliciet bij dat dx een contravariante vector is, maar toch gebruikt hij consequent bij alle ‘differentiaal-achtige dingen’ lage indices. En wij dus niet.

In deze paragraaf gaan we heel uitgebreid de metrische tensor g ‘aan de tand voelen’. De eigenschappen die daarbij aan het licht komen gelden weliswaar voor alle tensoren die net als g van de tweede rang zijn, maar door de sleutelrol die g vervult binnen de algemene relativiteitstheorie willen we het expliciet juist bij deze tensor zien. We beginnen eerst met een stukje basiswiskunde: matrices en determinanten. Over wat een matrix is hebben we in paragraaf 5 al gesproken, maar determinanten zijn daarbij nog niet aan de orde geweest. Stel, we hebben de volgende matrix M: De determinant van M is gedefinieerd als: Ik heb hier één keer absoluutstrepen gebruikt om de determinant van M aan te geven omdat Einstein dat overal in zijn artikel doet, maar dit is verwarrend (en dus ongewenst). Absoluutstrepen geven de absolute waarde van iets aan, en de absolute waarde is de afstand tot nul van dat iets. Vanaf nu geef ik iedere determinant aan met det, zoals tegenwoordig ook gebruikelijk is. En stelt dat getal, de determinant, nog iets voor of kunnen we daar ook iets mee? Jazeker, de absolute waarde van de determinant is het volume van de vectorruimte die door de vectoren in de matrix opgespannen wordt. En zoals ik eerder al zei, we praten over een vectorruimte ongeacht het aantal dimensies van die ruimte. De matrix M zoals hierboven beschreven zou bijvoorbeeld kunnen bestaan uit twee vectoren V₁ (a, c) en V₂ (b, d). Deze twee vectoren vormen twee zijden van een vierhoek: een parallellogram. En ofschoon dit parallellogram zo plat is als een dubbeltje spreken we toch van een vectorruimte. Het volume van deze vectorruimte (lees: de oppervlakte van het parallellogram) is gelijk aan | det (M) |. Altijd? Ja, altijd! Laten we eens kijken naar een 3 × 3 matrix. De matrix P zoals hierboven beschreven zou kunnen bestaan uit drie vectoren V₁ (a, d, g), V₂ (b, e, h) en V₃ (c, f, i). Deze drie vectoren vormen drie zijden van een ‘scheef blok’: een parallellepipedum. Ook hier geldt: het volume van deze vectorruimte (lees: het volume van het parallellepipedum) is gelijk aan | det (P) |. Maar hoe bereken je dan de determinant van P? Dat doen we door in de matrix P op zoek te gaan naar ondermatrices, en daarbij stellen we ons voor dat de matrix op de plaats van de haken aan elkaar gelijmd is zodat je een cilindervorm krijgt met de letters a t/m i aan de buitenkant van de cilinder.

• Vanuit a bezien is het blok (e, f, h, i) een ondermatrix met als onderdeterminant (ei − fh).
• Vanuit b bezien is het blok (f, d, i, g) een ondermatrix met als onderdeterminant (fg − di).
• Vanuit c bezien is het blok (d, e, g, h) een ondermatrix met als onderdeterminant (dh − eg).

In plaats van de term onderdeterminant zie je tegenwoordig ook wel de term minor, maar volgens mij is dit overgenomen uit het Engels zonder dat men nog beseft dat het Engels is (zoals men bij trottoir niet meer beseft dat het Frans is en dat het gewoon stoep heet). Vanaf nu duid ik de onderdeterminant aan met odet. De totale determinant van P wordt dan: Ondermatrices en onderdeterminanten kun je bepalen vanuit iedere positie binnen de matrix. En daarvoor is het eigenlijk het handigst om de matrix te visualiseren alsof die helemaal omringd is door soortgelijke matrices. Stel dat ik ondermatrices wil bepalen vanuit de rij d e f, dan hoef ik alleen maar te kijken welke vier elementen zich rechtsonder mijn kijkpositie bevinden.

• Vanuit d bezien is het blok h i, b c een ondermatrix met als onderdeterminant (ch − bi).
• Vanuit e bezien is het blok i g, c a een ondermatrix met als onderdeterminant (ai − cg).
• Vanuit f bezien is het blok g h, a b een ondermatrix met als onderdeterminant (bg − ah).

De totale determinant wordt dan: En hier komt (uiteraard) hetzelfde uit als toen ik ‘keek’ vanuit de rij a b c. Het maakt helemaal niets uit vanuit welke rij of kolom ik ondermatrices ga bepalen, altijd weer kom ik voor de totale determinant op hetzelfde resultaat uit. Een andere benadering om een determinant samen te stellen uit onderdeterminanten is als volgt. Stel dat ik de onderdeterminant van b wil bepalen dan sloop ik de rij en de kolom waar b in voorkomt (dus de eerste rij en de tweede kolom) uit de matrix. Wat er dan overblijft is het blok d f, g i. De determinant hiervan is di − fg. Vervolgens tel ik het rijnummer en het kolomnummer op van het element waarvan ik de ondermatrix bepaal, indien deze som even is dan krijgt de onderdeterminant een plusteken en indien de som oneven is een minteken. Het rijnummer van het element b is 1 en het kolomnummer is 2. De som hiervan is 1 + 2 = 3, dit is oneven dus krijgt de onderdeterminant een minteken mee. Dit is wat minder inzichtelijk maar je kunt het altijd blind toepassen. En van hieruit gaan we nog een stap verder door een 4 × 4 matrix onder de loep te nemen, en wel met de methode die ik zojuist heb beschreven. We zien bijvoorbeeld dat de ondermatrix van a gevormd wordt door het blok f g h, j k l, n o p. De onderdeterminant van a is dan f(kp − lo) + g(ln − jp) + h(jo − kn). Het rijnummer van a is 1 en het kolomnummer is ook 1. De som hiervan is 1 + 1 = 2, dit is even dus krijgt de onderdeterminant een plusteken mee. Dit gaan we doen voor alle elementen van de matrix Q.

Element	Ondermatrix	Onderdeterminant (inclusief het bijbehorende teken!)
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
Tabel 8.1

De totale determinant van de matrix Q wordt dan: Nu gaan we een nieuwe matrix bouwen. Deze matrix noemen we R en elk element van de matrix R wordt gevormd door van elk overeenkomstige elementen van de matrix Q de onderdeterminant te nemen en te delen door de determinant van Q. En met elk ‘overeenkomstig element’ bedoel ik het element van de matrix R die op dezelfde positie staat als een element in de matrix Q. Er geldt dus: Het element a van de matrix Q heeft als onderdeterminant +(f(kp − lo) + g(ln − jp) + h(jo − kn)) en het linksboven element van de matrix R wordt dus +(f(kp − lo) + g(ln − jp) + h(jo − kn))/det (Q). Om de vergelijkingen niet te lang te maken schrijf ik det (Q) niet volledig uit in elementen. Hoe zien dan alle elementen van de matrix R eruit? Voor de overzichtelijkheid zet ik ze onder elkaar in een tabel.

Element Q	Element R (inclusief het bijbehorende teken!)
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
Tabel 8.2

Om de chaos helemaal compleet te maken ga ik deze twee matrices, Q en R, met elkaar vermenigvuldigen. De matrix die dan ontstaat noemen we S. Matrices vermenigvuldigen doe je door de rijelementen van de ene matrix met de kolomelementen van de andere matrix te vermenigvuldigen. Het eerste element van de matrix S wordt dan: Stel nou dat de matrix Q symmetrisch is (net als voor tensoren geldt dan dat Q_rk = Q_kr), dan geldt: De determinant van Q wordt dan: En het element s₁₁ wordt dan: Die zag je niet aankomen hè? Waarschijnlijk zat je te denken waar deze gigantische puinhoop toe moest leiden (wat ik me helemaal kan voorstellen ☺), en dan staat daar ineens 1! Kijk, nu wordt het ineens heel interessant. Daarom gaan we snel het volgende element van de matrix S bepalen: En hier komt nul uit! De overige elementen mag je zelf narekenen, maar uiteindelijk gaat de eenheidsmatrix ontstaan: een hoofddiagonaal gevuld met enen en voor de rest allemaal nullen. En dit hebben we in paragraaf 5 ook al gezien toen we tot de volgende vergelijkingen kwamen: En omdat ik hier uitgegaan ben van een symmetrische matrix (Q_rk = Q_kr) is de matrix Q de getransponeerde versie van zichzelf. Dus stel dat Q een covariante tensor is dan heb ik op deze manier zijn contravariante tegenhanger gemaakt (en andersom geldt natuurlijk precies hetzelfde). Haal ik nou geen tensoren en matrices door elkaar? Nee, voor dit soort rekenkundige bewerkingen zijn tensoren en matrices aan elkaar gelijk, een tensor kun je zien als een matrix, maar een matrix niet per definitie als een tensor. Een matrix is een rechthoek gevuld met getallen die in rijen en kolommen opgesteld staan. Niets meer en niets minder. Een tensor is iets en een tensor doet iets, een tensor is onafhankelijk van coördinatenstelsels en de componenten van een tensor transformeren volgens de transformatievergelijkingen.

• de tensor g_μν is iets, het is de metrische beschrijving van de n-dimensionale ruimte (in dit geval de 4-dimensionale ruimtetijd),
• de tensor g_μν doet iets, als ik een vector V vermenigvuldig met een scalar (getal) a dan krijg ik een vector die in de zelfde richting wijst als V, als ik V vermenigvuldig met de vector W via het uitwendig product V × W dan ontstaat een vector die loodrecht op V en W staat, maar als ik de bewerking g_μν V^ν uitvoer dan ontstaat een vector die iedere vrijheidsgraad heeft om waar dan ook heen te wijzen: de tensor g_μν is een soort vector-bijbuig-machientje,
• de tensor g_μν is onafhankelijk van coördinatenstelsels,
• de componenten van de tensor g_μν transformeren volgens ∂x_ν/∂x_σ'.

Wanneer ik tig keer met een dobbelsteen gooi en het aantal ogen dat ik iedere keer gooi schrijf ik netjes op dan ontstaat een matrix, maar volgens bovenstaande punten is dat in de verste verte geen tensor. Aan de andere kant gelden alle eigenschappen van matrices wel voor tensoren. Een tensor is altijd een matrix, een matrix zou een tensor kunnen zijn.

Hierboven heb ik laten zien dat wanneer ik van een symmetrische matrix Q van ieder element de onderdeterminant neem en die vervolgens deel door de determinant van Q dan kan ik daaruit een nieuwe matrix R vormen. Door die twee matrices met elkaar te vermenigvuldigen ontstaat de eenheidsmatrix I.

Met andere woorden, de matrices Q en R zijn de inverse matrices van elkaar (Q is de inverse matrix van R en R is de inverse matrix van Q). Vergelijking (8.16) kan ik natuurlijk ook opschrijven voor de metrische tensor g, maar dan heb ik nog een ‘ding’ nodig met indices die ik kan aanduiden als een ‘eenheidstensor’. Dit ‘ding’ heet de Kronecker-delta: δ (genoemd naar Leopold Kronecker).

Waarbij geldt: Nu moet ik wel even goed bedenken dat ik in de beide bovenstaande tabellen de plussen en minnen van de onderdeterminanten van Q respectievelijk de elementen van R al meegenomen had. Volgend uit al het voorgaande kan ik nu opschrijven: Wanneer ik de inverse bepaal van een gewone matrix dan doe ik dat als volgt: Dit ziet er iets anders uit dan de vergelijkingen (17a) en (17b), omdat de indices van plaats wisselen. Voor de metrische tensor maakt dat echter niet uit, omdat die tensor symmetrisch is. En ik heb hier telkens gesproken over de metrische tensor, maar dit hele verhaal geldt uiteraard voor iedere symmetrische tensor van de tweede rang.

Laat ik vergelijking (8.1) weer even terug in herinnering roepen: De indices μ en ν staan allebei een keer boven en onder, dus daar moet over gesommeerd worden: Maar stel dat ik vergelijking (8.1) nou een beetje verbouw en daar de Kronecker-delta bij in zet: Nu heb ik drie indices waarover ik moet sommeren: μ, ν en σ: En dan hebben we weer zo’n kolossale puinhoop die je inmiddels wel van mij gewend bent. Maar, iedere term waar een δ in staat met indices die niet aan elkaar gelijk zijn kan ik eruit gooien, want in die gevallen is δ gelijk aan nul. En alle δ’s die er nu nog in staan zijn gelijk aan 1, dus wat blijft er dan over: En zo zijn we weer terug bij hetzelfde resultaat als vergelijking (8.18). En dat is ook wel logisch, want δ is het tensor equivalent van de eenheidsmatrix I, dus vermenigvuldigen met δ maakt niets uit (en dat heb ik hierboven laten zien). Vergelijking (8.1) en vergelijking (8.19) zijn dus gelijkwaardig. En volgens vergelijking (8.17/E16) kan ik δ in vergelijking (8.19) vervangen als volgt: Verder weten we inmiddels ook, zie bijvoorbeeld de uitleg van paragraaf 7, wat de vermenigvuldiging van een covariante tensor met een contravariante vector doet: En dit geldt voor iedere vector dx. Dus we kunnen in vergelijking (8.23) de vermenigvuldiging van de covariante tensor g met de vector dx vervangen door de vector dζ. En dat zelfs tweemaal in vergelijking (8.23) en levert dan het volgende op: Omdat ds² een scalar is (dus invariant), en omdat we hier tweemaal dezelfde vector dζ hebben staan, en omdat g^στ symmetrisch is (g^στ = g^τσ) volgt hieruit dat g^στ een contravariante tensor is. We doen hier eigenlijk hetzelfde als aan het einde van de uitleg van paragraaf 7. En door nogmaals naar vergelijking (8.17/E16) te kijken kunnen we ook nog de conclusie trekken dat δ_μ^ν een tensor is. Einstein merkt nog op dat we δ_μ^ν kunnen duiden als de gemengde fundamentele tensor (“gemischten Fundamentaltensor”), maar tegenwoordig kent iedereen dit als de Kronecker-delta.

Wat geldt er verder nog voor matrices en determinanten? De determinant van het product van twee vierkante matrices is gelijk aan het product van de determinanten van die matrices. Voor twee vierkante matrices A en B ziet dat er in formulevorm zo uit: En Einstein gebruikt dit voor de volgende combinatie: En uit vergelijking (8.17) volgt: En dat is hetgeen ik hiervoor met de matrices Q, R en S helemaal uitgewerkt heb. Door de vergelijkingen (8.27) en (8.28) te combineren kom ik tot het volgende: De determinant van g_μν geven we aan met het getal g: Na transformatie wordt dit: In paragraaf 6 zijn we tot deze vergelijking gekomen als transformatievergelijking voor een covariante tensor van de tweede rang: En die gaan we combineren met vergelijking (8.31): En volgens vergelijking (8.26) kunnen we dit ‘uit elkaar trekken’ tot: Oftewel: Nu komt er even iets problematisch, want Einstein komt met de volgende vergelijking als beschrijving van een volume-element van de vierdimensionale ruimtetijd: Hij praat dus over een volume-element, met andere woorden, hij bedoelt een klein stukje volume ruimtetijd. Aan de linkerkant van de vergelijking staat ook een d om te benadrukken dat het over een klein stukje gaat. Maar wat doet dat integraalteken dan in deze vergelijking? Dat integraalteken hoort hier simpelweg niet thuis. Het volgende probleem is dat aanhalingsteken (') bij de τ, want dat impliceert dat links iets staat dat de getransformeerde versie is van wat aan de rechterkant staat. Ook dat is niet juist. Dat aanhalingsteken hoort hier ook simpelweg niet thuis. En dan wil ik ook nog opmerken dat de letter τ onhandig gekozen is, want τ is de Griekse letter t en wordt doorgaans in verband met tijd gebruikt. Dus een andere letter was hier beter op zijn plaats geweest, maar dit laat ik maar zo. In 1921 heeft Einstein colleges gegeven aan de universiteit van Princeton en op basis daarvan is in 1922 een boek verschenen getiteld “The meaning of relativity”. In dit boek zijn inderdaad het aanhalingsteken en het integraalteken weggelaten en voor de letter τ is een andere letter gekozen. Einstein was op dit punt er gewoon even niet bij met zijn gedachten, dat kan gebeuren.

Ik introduceer hier de Jacobiaan, genoemd naar de Duitse wiskundige Carl Jacobi. Dit is een matrix, die aangegeven wordt met de hoofdletter J, waarvan de elementen bestaan uit alle afgeleiden van een functie van iedere uitgangsvariabele naar iedere ingangsvariabele.

Stel, ik heb de volgende functie: Ik heb hier één ingangsvariabele, x, en één uitgangsvariabele, y. De Jacobiaan is in dit geval een 1 × 1 matrix met één element, namelijk: De Jacobiaan ziet er dan als volgt uit: Stel, ik heb de volgende functie: Ik heb nu drie ingangsvariabelen, x, z en α, en nog steeds één uitgangsvariabele, y. De Jacobiaan is in dit geval een 3 × 1 matrix met drie elementen, namelijk: De Jacobiaan ziet er dan als volgt uit: Aan het einde van paragraaf 5 hebben we al kennis gemaakt met de gradiënt . Merk op dat in dit geval geldt: Stel, ik heb de volgende functie: Ik heb hier nog steeds drie ingangsvariabelen, x, z en α, maar nu twee uitgangsvariabelen, y₁ en y₂. De Jacobiaan is in dit geval een 3 × 2 matrix met zes elementen, namelijk: De Jacobiaan ziet er dan als volgt uit: Ik kan x aangeven als x₁, z als x₂ en α als x₃. Of in zijn algemeenheid de ingangsvariabelen als x_r en de uitgangsvariabelen als y_k. De Jacobiaan ziet er dan uit als volgt: Iedere kolom van de Jacobiaan bestaat dus uit de componenten van een gradiëntvector en indien de Jacobiaan uit één kolom bestaat (k = 1) dan geldt (zoals we in het voorbeeld hierboven al zagen): En in zijn algemeenheid geldt dus: Waar de gradiënt een veralgemenisering is van de afgeleide van een functie met één ingangsvariabele naar een functie met meerdere ingangsvariabelen, daar is de Jacobiaan de veralgemenisering van een functie met één uitgangsvariabele naar functies met meerdere uitgangsvariabelen.

Functie	Afgeleide
Tabel 8.3

De afgeleide y is een vector met als componenten ∂y/∂x₁, ∂y/∂x₂, ∂y/∂x₃, enzovoort. De afgeleide J_f is een matrix met als kolommen y₁, y₂, y₃, enzovoort.

Wanneer ik een ‘gewone’ kromme beschouw, een lijn dus, dan zegt de afgeleide dy/dx mij voor ieder punt van die kromme ‘waar het heen gaat’. Stijgt de kromme of daalt de kromme? En in welke mate? Voor ieder punt van de kromme verschaft de afgeleide dy/dx mij die informatie. De afgeleide dy/dx geeft mij informatie over één dimensie: omhoog of omlaag. Middels de afgeleide dy/dx kan ik een raaklijn beschrijven aan de kromme.

Als ik terugdenk aan het voorbeeld aan het einde van paragraaf 5 met het weiland en de grassprietjes, waar ik een scalarveld verkregen had door van ieder grassprietje de hoogte op te meten, dan zegt de afgeleide , de gradiëntvector, mij voor ieder punt ‘waar het heen gaat’. Stijgt het scalarveld of daalt het scalarveld (langere of kortere grassprietjes)? En in welke mate? En in welke richting (want we hebben het over een vector)? Voor ieder punt van het scalarveld verschaft de gradiëntvector mij die informatie. De gradiëntvector geeft mij informatie over alle dimensies samen: omhoog of omlaag. En de componenten van de gradiëntvector zijn die informatie per dimensie. Middels de afgeleide kan ik een raakvector (de gradiënt) en een raakvlak (met als richtingsvectoren de componenten van ) beschrijven aan het scalarveld.

Wanneer ik in de ruimte waar ik nu zit op ieder punt de zwaartekracht meet dan ontstaat een vectorveld, want voor ieder punt van de ruimte heb ik dan een getal die de intensiteit van het zwaartekrachtveld weergeeft plus een richting van het veld. De Jacobiaan is de afgeleide van dit vectorveld en iedere kolom is een vector die mij per dimensie zegt ‘waar het heen gaat’. Neemt de intensiteit van het vectorveld toe of neemt de intensiteit van het vectorveld af (meer of minder zwaartekracht)? En in welke mate? Voor ieder punt van het vectorveld verschaft de afgeleide J mij die informatie. De afgeleide J geeft mij informatie over alle dimensies samen: meer of minder zwaartekracht. En de kolommen van J zijn die informatie per dimensie. Middels de afgeleide J kan ik een raakruimte beschrijven aan het vectorveld.

De Jacobiaan heeft heel veel weg van de contravariante transformatiematrix maar is toch echt iets anders. De Jacobiaan gaat over afgeleiden, over raaklijnen, over raakvlakken, over raakruimtes, over richtingen, en inderdaad over gradiënten. Terwijl de transformatiematrix, het woord zegt het al, puur bestaat om coördinatentransformaties te beschrijven. De transformatiematrix is bovendien altijd vierkant (evenveel rijen als kolommen) en dat hoeft de Jacobiaan absoluut niet te zijn.

Maar dit laatste is wel een belangrijke essentie, want de afgeleide ∂y/∂x toont hoe y gerelateerd is aan x en de transformatie ∂x'/∂x toont hoe x' is gerelateerd aan x. En zoals we aan het begin van deze paragraaf hebben geleerd is de determinant van een matrix het volume van de vectorruimte die door de vectoren in de matrix opgespannen wordt. De Jacobiaan J is een matrix die gevuld is met gradiëntvectoren . Dus de determinant van J is het volume van de ruimte die de gradiëntvectoren opspannen. Stel dat ik een eenheidsvolume dV heb (een volume met inhoud één) dan heeft dit volume na transformatie een inhoud dV'. En dit getransformeerde volume wordt opgespannen door de gradiëntvectoren. Met andere woorden: En wanneer we dit toepassen op vergelijking (8.35c): Nu gaan we vergelijking (8.34) vermenigvuldigen met vergelijking (8.39) op de volgende manier: het linkerlid met het linkerlid en het rechterlid met het rechterlid: Dit is een hele fijne uitkomst, want dit betekent dat √g dτ invariant is. Na een transformatie naar een ander coördinatenstelsel blijft de grootheid √g dτ onveranderd. Nu komt Einstein op het punt om nog even een belangrijk ‘vlekje’ aan de orde te stellen. In paragraaf 4 heb ik het interval s² op twee manieren bekeken: In principe is voor beide evenveel te zeggen, maar tot nu toe gingen we stilzwijgend uit van vergelijking (4.7). Dit heeft echter als vervelende bijkomstigheid dat s² dan altijd negatief is en het interval s dus altijd imaginair is. Daarom gaan we nu over van √g op √(−g). Dan doen we echt niets illegaals maar we gooien wel een heleboel abstractheid overboord (een imaginair interval, bah!). Dus vergelijking (8.40) gaat over in: En Einstein benadrukt het nog maar weer eens, het volume-element √(−g) dτ is een stukje ruimtetijd dat gewoon met meetlatten en klokken is te meten. Oftewel, dan blijven we dicht bij de werkelijkheid (heel belangrijk!).

En dan gaat Einstein ook gelijk door naar het volgende ‘vlekje’. In het oneindig kleine, het infinitesimaal kleine, is altijd de speciale relativiteitstheorie van toepassing want daar zijn geen versnellingen of zwaartekrachtvelden merkbaar. Let wel, er kan best een zwaartekrachtveld (of versnelling) zijn, maar niet merkbaar. Stel je voor dat je je in een sterk zwaartekrachtveld bevindt, bijvoorbeeld vlakbij een zwart gat, dan zul je merken dat het verschil in zwaartekracht tussen je hoofd en je voeten er toe leidt dat het voelt alsof je lichaam uit elkaar getrokken wordt. Oftewel, het is de gradiënt van het veld die zich doet gelden, maar in het oneindig kleine wordt die gradiënt nul en kun je dus met de speciale relativiteitstheorie werken als limietgeval van de algemene relativiteitstheorie (zie ook het verhaal over getijdenkrachten in de uitleg van paragraaf 2). Zoals we in paragraaf 4 al zagen praten we in het infinitesimaal kleine dan ook over het interval ds: Vervolgens introduceert Einstein een hierbij behorend “natuurlijk volume-element” (“natürliche Volumelement”) dτ₀: Indien g nu ergens gelijk aan nul zou worden dan hebben we een groot probleem, want dan verdwijnt er zomaar een stuk ruimtetijd. Dit gebeurt dan weliswaar alleen in onze wiskundige aanpak, maar dat maakt het niet minder onacceptabel. Oftewel, g mag nooit nul worden want dan zijn we heel erg verkeerd bezig. In de werkelijkheid zal er natuurlijk ook nooit ‘iets’ verdwijnen omdat we overgaan naar een ander coördinatenstelsel, dus dan willen we dat in onze wiskundige hocus-pocus ook niet. Conclusie: g mag nooit nul worden.

En dat brengt Einstein ertoe de volgende stap te maken. Hij stelt dat g nooit nul mag zijn, en g is sowieso altijd negatief, en g is nooit min-oneindig (want dan zijn we aan de andere kant van het spectrum weer de werkelijkheid kwijt), dus g is altijd een ‘normaal’ negatief getal. Waarom stellen we niet op voorhand dat g altijd −1 moet zijn? Dan wordt het leven veel simpeler en gaat vergelijking (8.41) over in: Oftewel, volgens vergelijking (8.39): Ja, maar mag dat zomaar? Introduceren we hiermee niet een enorme beperking op waar we mee bezig zijn? Zijn we dan nog wel bezig een algemene relativiteitstheorie op te bouwen? Dit zijn allemaal logische vragen die Einstein voorzag en gelijk in zijn artikel pareert. In paragraaf 3 zijn we tot het volgende gekomen:

• De algemene natuurwetten (alle natuurkundewetten) moeten in vergelijkingen worden uitgedrukt die in alle coördinatenstelsels geldig zijn. Dat een vergelijking bij een coördinatentransformatie naar een ander coördinatenstelsel geldig blijft, heeft de naam covariantie. Met andere woorden: de natuurwetten dienen algemeen covariant te zijn.

Wat we zoeken zijn dus de algemeen covariante natuurwetten. We zoeken niet de natuurwetten die transformeren naar een ander coördinatenstelsel onder de voorwaarde dat de determinant gelijk aan één is. Nee, we zoeken eerst de algemeen covariante natuurwetten, en daarna maken we ons het leven eenvoudiger door uit te gaan van een determinant die gelijk aan één is.

Het laatste deel van paragraaf 8 gebruikt Einstein om nog een beetje te ‘spelen’ met de metrische tensor. Door tensoren met g_μν of g^μν te vermenigvuldigen (inwendig en/of uitwendig, zie uitleg paragraaf 7) ontstaan (uiteraard) nieuwe tensoren. Op deze manier hebben we van de covariante tensor A_σ zijn contravariante tegenhanger A^μ gemaakt. Of plat gezegd: we hebben een index omhoog gebracht. We kunnen natuurlijk ook het omgekeerde doen, en dat heet een index omlaag brengen. We kunnen ook scalars vormen, en na alles wat we inmiddels al achter ons hebben liggen is dit inmiddels een open deur: We hebben net indices omhoog gebracht en omlaag gebracht voor een tensor van de eerste rang, een vector, maar er is helemaal niets op tegen om dit op uitgebreidere schaal te doen: Vervolgens komt Einstein nog met deze twee: En eerlijk gezegd zie ik hier de toegevoegde waarde niet van in. Einstein zegt hierover “dat de tensor B de bij A behorende gereduceerde tensor is” (“den zu A gehörigen reduzierten Tensor”). Ik geef eerlijk toe dat ik niet weet wat Einstein hier voor ogen had. De vergelijkingen kloppen wel, maar voegen in mijn beleving niets toe. In zijn laatste vergelijking van deze paragraaf doet hij iets soortgelijks: De laatste vergelijkingen van deze paragraaf zijn buitengewoon voor de hand liggend, maar dat zal Einstein zich ook gerealiseerd hebben. Of misschien toch even niet?