De energie-inhoud van het elektrische veld van een bol

Bereken de totale energie-inhoud van het elektrische veld van een elektrisch geladen bol. Ga uit van een vacuüm omgeving.

De Coulomb

De lading op de bol veroorzaakt een elektrisch veld volgens de wet van De Coulomb:


Het elektrische veld van een positief geladen bol
De energie-inhoud van een elektrisch veld is (per volume-eenheid, de linker E staat voor energie, de rechter E voor het elektrische veld):
Ik vul vergelijking (1) in in vergelijking (2):
Om de totale energie van dit elektrische veld te berekenen zal ik moeten integreren vanaf R, de straal van de bol, tot aan oneindig:
Zoals je ziet ben ik uitgegaan van bolcoördinaten, want dat is in deze situatie verreweg het handigst. Een infinitesimaal volume-element in bolcoördinaten is:
Hiermee kan ik de integraal uitrekenen en vind ik het antwoord dat we zoeken:
Merk op dat in het antwoord het kwadraat van de lading staat en dat het dus niet uitmaakt of de lading positief of negatief is (zoals je ook logischerwijs verwacht).