Een zwaartekrachtveld is per definitie niet overal gelijk. In de richting loodrecht op het object dat de zwaartekracht genereert, de radiële richting, neemt de zwaartekracht af met de afstand tot dat object. Ik zoom even in op een deel van het zwaartekrachtveld uit het bovenstaande plaatje en ik leg een Cartesisch coördinatenstelsel aan, een assenstelsel waarbij de assen loodrecht op elkaar staan. Vervolgens ga ik twee vectoren, de rode pijlen uit het bovenstaande plaatje, ontbinden in componenten langs die assen. Deze x-componenten en y-componenten verschillen van plaats tot plaats. Een object dat zich in het zwaartekracht bevindt zal daarom onderworpen worden aan het verschil van al die krachten die werkzaam zijn. Deze verschillen in kracht noemen we getijdenkrachten. Hoe dichter bij het graviterende object, hoe sterker deze getijdenkrachten zijn. Een mooi voorbeeld daarvan is de planeet Saturnus. Door de getijdenkrachten van deze planeet kunnen de ringen niet samenklonteren tot manen, maar blijven voor de eeuwigheid bestaan uit een verzameling grote en kleine rotsen en gruis. ‘Verderop’, verder verwijderd van de planeet, kunnen wel manen ontstaan (en dat is ook gebeurd).

Omdat de Aarde maar een kleine planeet is en omdat wij, mensen, maar kleine wezens zijn merken wij helemaal niets van deze getijdenkrachten. Echter, in de buurt van zware compacte objecten zoals neutronensterren en zwarte gaten wordt dat een heel ander verhaal. De getijdenkrachten zorgen dan voor spaghettificatie, in de radiële richting worden naderende objecten uit elkaar getrokken en in de laterale richting worden ze plat gedrukt.

In de praktijk betekent dit dat indien een kabouter, hier links afgebeeld, in een zwart gat valt dat hij dan gespaghettificeerd zal worden zoals ik rechts daarvan heb geprobeerd uit te beelden. Dat uiteindelijke lot is onvermijdelijk, maar de vraag die hier beantwoord moet worden is: hoe pijnlijk is dat?

De kabouter met het oranje mutsje, die zich vrijwillig gemeld heeft, besluit om zich in een zwart gat te laten vallen. Tijdens zijn val richting het zwarte gat passeert hij een stationaire waarnemer, de kabouter met het groene mutsje in het plaatje hieronder. Deze kabouter staat op een raketmotor en die is zo afgesteld dat de zwaartekracht van het zwarte gat precies gecompenseerd wordt en daardoor blijft de kabouter op dezelfde positie. Ergens ‘ver weg’ bevindt zich een kabouter met een rood mutsje en ook hij is een stationaire waarnemer en in theorie bevindt hij zich oneindig ver van het zwarte gat. Het is belangrijk om even heel duidelijk te zijn door welke kabouter welke coördinaten gehanteerd worden:

• voor de kabouter met het oranje mutsje is R = afstand en T = tijd,
• voor de kabouter met het rode mutsje is r = afstand en t = tijd,
• voor de kabouter met het groene mutsje is ρ = afstand en τ = tijd.

In zijn eigen coördinatenstelsel zal de invallende kabouter, die met het oranje mutsje, stellen dat hij niet beweegt, want hij ‘draagt’ zijn coördinatenstelsel met zich mee (zie dit vraagstuk). De kabouter met het groene mutsje ziet de invallende kabouter voorbijkomen met deze snelheid (zie dit vraagstuk):

Hierin is R_s de Schwarzschild-straal, de straal van een zwart gat:

Omgekeerd ziet de invallende kabouter de kabouter met het groene mutsje voorbijkomen met dezelfde snelheid, maar dan met een tekenwisseling (zie dit vraagstuk): Nu ga ik even een zijstraatje in, ik beschouw deze rare snelheid: Dit is een rare snelheid, omdat ik twee coördinatenstelsels vermeng: de afstand r volgens de kabouter die zich ver weg bevindt en de tijd T volgens de invallende kabouter. Dat probleem nemen we even voor lief en ik ga vergelijking (4) iets anders opschrijven: De eerste breuk is de snelheid volgens de kabouter die zich ver weg bevindt (want r en t zijn zijn coördinaten), en de tweede breuk is een constante (voor de afleiding zie dit vraagstuk, vergelijking (22) aldaar). De snelheid volgens de kabouter die zich ver weg bevindt haal ik op van deze pagina en de waarde van die constante haal ik op van diezelfde pagina of van deze pagina (hij komt op meerdere plaatsen terug en cK = 1 voor een radieel invallend object, in dit geval de kabouter met het oranje mutsje): Door de vergelijkingen (3) en (6) met elkaar te vergelijken kom ik tot de volgende verrassende conclusie:

Deze uitkomst had ik ook op een andere manier kunnen bereiken. Wanneer de invallende kabouter de stationaire kabouter passeert kunnen we even speciale relativiteitstheorie bedrijven. Hun relatieve snelheid wordt beschreven door vergelijking (1) (volgens de stationaire kabouter) respectievelijk vergelijking (3) (volgens de invallende kabouter). Hieruit volgt voor de Lorentz-factor γ:

In dit vraagstuk heb ik de snelheid afgeleid van een baksteen die in een niet-roterend zwart gat valt volgens een nabije stationaire waarnemer. Daar vond ik ook relaties tussen de tijden en afstanden van stationaire waarnemers op verschillende plaatsen in de ruimtetijd: Daarmee kan ik de volgende vergelijking opstellen die hetzelfde resultaat oplevert als vergelijking (7) (afgezien van het teken): Met deze kennis kan ik de snelheid waarmee de invallende kabouter de stationaire kabouter passeert, vergelijking (3), ook als volgt opschrijven: Oftewel: Hieruit kan de invallende kabouter een versnelling afleiden (hij weet dat hij aan het versnellen is, want hij is immers op weg naar een zwart gat): Hij besluit om uit te zoeken hoe de verandering van de versnelling over een stukje afstand varieert, in zijn coördinatenstelsel uiteraard: Door een testmassa op enige afstand van hemzelf te plaatsen en een krachtmeter ter hand te nemen zou hij nu kunnen detecteren wat de toename is van zijn versnelling. Of hij rolt een meetlint uit dat hij ‘ergens’ heeft vastgemaakt en hij meet hoe snel dit meetlint afrolt.

Dan komt nu de pijnvraag. In dit vraagstuk heb ik de invaltijd van de kabouter uitgerekend (vergelijking (14) op die pagina): Ik ga de vergelijkingen (14) en (15) oplossen voor r: De r van vergelijking (16) is de afstand tot het centrum van het zwarte gat vanaf waar het onprettig wordt (de spaghettificatie wordt duidelijk voelbaar), en de r van vergelijking (17) is de resterende invaltijd tot het centrum van het zwarte gat. Dit ga ik aan elkaar gelijk stellen om de pijnlijdtijd te vinden: Merk op dat de pijnlijdtijd onafhankelijk is van de massa, en dus de grootte, van het zwarte gat. Het ene zwarte gat is dus niet erger dan een ander, het maakt helemaal niets uit (voor de ervaring van het sterven wel te verstaan)!

Het is weer tijd voor een grafiek. Laten we er eens van uitgaan dat het onprettig wordt voor de kabouter bij een ∆a van één g, dus ∆a = 9.8 m/s². De lengte van een kabouter varieert van 15 tot 45 cm (bron: Wikipedia) en dat betekent dat voor een kabouter de pijnlijdtijd maximaal 0.15 s is. Omdat de pijnprikkels ook enkele tienden van seconden nodig hebben om de hersenen te bereiken (ik ga er van uit dat kabouters dezelfde anatomie hebben als mensen) zal een kabouter pijnloos zijn einde beleven. Voor een mens van twee meter en een ∆a van één g is de pijnlijdtijd 0.3 s. Misschien krijg je daar nog een minieme fractie van mee, maar dan is het echt wel héél kort. En bedenk dat straaljagerpiloten of astronauten meerdere g’s voor hun kiezen krijgen, dus wat je eventueel voelt is absoluut niet dramatisch veel en het is allemaal voorbij voordat je door hebt wat er gebeurt.