Vectoren, vraagstuk 90

S is het oppervlak van een halve bol (z ≥ 0) met straal a. Geef een parametrisering van S:
  1. In Cartesische coördinaten.
  2. In bolcoördinaten.
  3. In cilindercoördinaten.

De grafiek van x2 + y2 + z2 = a2 (het vlak S) voor a = 1
  1. In Cartesische coördinaten.

    In Cartesische coördinaten is de parametrisering van ‘iets’ in zijn algemeenheid:
    In dit vraagstuk is dat ‘iets’ een halve bol en voor een bol met straal a geldt:
    Een parametrisering voor de bol zou dan kunnen zijn:
    In dit geval (maar dat hoeft niet altijd zo te zijn) kunnen we z als functie van x en y schrijven:
    Waardoor de parametrisering wordt:
    Dat kan ik ook schrijven als:
    Of ik introduceer twee nieuwe parameters door te stellen:


    Dit kan ook:



    En uiteraard dit:



    De mogelijkheden zijn eindeloos (maar lang niet allemaal even aantrekkelijk om mee verder te werken).
  2. In bolcoördinaten.

    In bolcoördinaten is de parametrisering van ‘iets’ in zijn algemeenheid:
    In dit vraagstuk is dat ‘iets’ een halve bol en voor een bol met straal a geldt:
    Een parametrisering voor de bol zou dan kunnen zijn:
    Ook hier zijn uiteraard weer vele varianten te bedenken maar simpeler zal het daar niet van worden.
  3. In cilindercoördinaten.

    In cilindercoördinaten is de parametrisering van ‘iets’ in zijn algemeenheid:
    In dit vraagstuk is dat ‘iets’ een halve bol en voor een bol met straal a geldt:
    We kunnen ζ schrijven als functie van r:
    Een parametrisering voor de bol zou dan kunnen zijn:
    Of we kunnen r schrijven als functie van ζ:
    Dan wordt de parametrisering: