Vectoren, vraagstuk 91
Door een bol met straal a is een cilindervormig gat geboord met straal b (b < a) waardoor een
ringvormig object ontstaat.
- Bereken de inhoud van de ring.
- Bereken de oppervlakte van het overgebleven deel van het boloppervlak.
De bol met het cilindervormige gat
-
Bereken de inhoud van de ring.
Voor de bol geldt:Mijn regel is: dit is een omwentelingslichaam om de z-as dus over naar cilindercoördinaten:
Voor de relatie tussen r en ζ geldt:
Waardoor de grenzen voor r worden:
Dan is het volume:
Het volume van de ring als functie van b, a = 1 -
Bereken de oppervlakte van het overgebleven deel van het boloppervlak.
Voor het oppervlak S kan ik schrijven:Ik kan ζ schrijven als functie van r:
En hier heb ik zomaar alle negatieve waarden van ζ verwijderd (omdat ik de wortel erin gebracht heb). Dat moeten we even in ons achterhoofd houden. De parametrisering van S is dan:
Door partieel te differentiëren verkrijg ik twee raakvectoren aan het oppervlak:
De vector dA volgt uit het uitwendig product van de raakvectoren:
De vector dA representeert een stukje oppervlak dA en die wil ik weten:
Door alle stukjes dA te integreren over het totale oppervlak S kom ik aan de oppervlakte van S. De factor twee voor de integraal komt erbij omdat ik hierboven alle negatieve waarden van ζ buitenspel heb gezet en dat corrigeer ik nu op deze manier:
Het oppervlak van de ring als functie van b, a = 1
Door naar het volgende vraagstuk: vectoren, vraagstuk 92
Terug naar het vorige vraagstuk: vectoren, vraagstuk 90
Overzichtspagina met vraagstukken
Vraagstukken xref voor de UT
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integralen van
De integralen van
Vectoren, vraagstuk 2
Vectoren, vraagstuk 47
Taylor-reeksen
De Taylor-reeks van
De convergentie van een reeks
De astroïde
Holomorfie van de functie
Integreren van complexe functies
Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 11
Binnen een mensenleven het heelal doorkruisen
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt
De ontsnappingssnelheid
1 gram elektronen in een kistje
De integraal van
De Witte Dag
De integraal van
De cycloïde
De minimale straal van een holle bol
Een planeettijdreismachine
De integralen van
Gravitationele rood-/blauwverschuiving
Getijdenkrachten
Zijn wij vroeg of laat?
Overzichtspagina wiskunde
Overzichtspagina natuurkunde
Overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen