Deze paragraaf is de laatste paragraaf van hoofdstuk A. Einstein neemt wederom het woord om iets te zeggen in zijn algemeenheid over de wereld om ons heen.

Het streven van de natuurkunde is om met een minimaal aantal wetten, zo ‘zuinig’ mogelijk, de wereld om ons heen te beschrijven. Je kunt een natuurkundewet formuleren waarmee je kunt rekenen aan je fietstocht om morgen op school of op je werk te komen, en je kunt een natuurkundewet formuleren die de autorit beschrijft hoe je in het weekend bij je oma komt. Maar beter is het om een wet te formuleren die beweging in het algemeen beschrijft.

Bijvoorbeeld de volgende wet: s = vt. Hier staat dat de afgelegde weg (s, van spatium, dit is Latijn voor ruimte) gelijk is aan de snelheid (v, van velocity, dit is Engels voor snelheid) maal de verstreken tijd (t, van tijd). Als je een half uur fietst met een snelheid van 15 km/uur, dan is de afgelegde weg naar school of werk 0.5 × 15 = 7.5 kilometer. En als de autorit naar oma drie kwartier (= 0.75 uur) duurt bij een gemiddelde snelheid van 80 km/uur, dan is de afgelegde weg 0.75 × 80 = 60 kilometer. Met één natuurkundewet kunnen we aan beide bewegingen rekenen.

Een ander voorbeeld is een wet van Newton: F = ma. Hier staat dat de kracht (F, van force, dit is Engels voor kracht) die op een lichaam wordt uitgeoefend gelijk is aan de massa (m, van massa) van dat lichaam maal de versnelling (a, van acceleration, dit is Engels voor versnelling) die dat lichaam ondergaat. En of die kracht een zwaartekracht of een elektrische kracht of wat dan ook voor kracht is, dat maakt niet uit.

Maar Einstein zegt dat het helemaal niet zijn hoofddoel is om zo zuinig mogelijk de algemene relativiteitstheorie voor het voetlicht te brengen, het gaat hem er helemaal niet om dat het zo eenvoudig mogelijk is, en dat het zo logisch mogelijk is, en dat er gebruik gemaakt wordt van een minimum aan axioma’s (axioma’s zijn onbewezen aannames, de basale uitgangspunten, zoals bijvoorbeeld één plus één is twee). Hij wil vooral dat de lezer meegaat in Einstein’s overtuiging dat dit de meest logische weg is om te gaan, oftewel ‘dat dit psychologisch de meest natuurlijke weg is’ (jawel, geloof het of niet maar er is hier een natuurkundige aan het woord). Verder wil hij dat de vóóronderstellingen die hij maakt in overeenstemming zijn met onze dagelijkse ervaringen.

Hierop voortbordurend lanceert Einstein de vooronderstelling: in oneindig kleine vierdimensionale gebieden kan de beperkte relativiteitstheorie toegepast worden, indien het coördinatensysteem maar goed gekozen wordt. Met vierdimensionaal bedoelt Einstein lengte, breedte en hoogte, de drie ruimtelijke dimensies, en de tijd als vierde dimensie. En de “beperkte relativiteitstheorie” is wat tegenwoordig te boek staat als de “speciale relativiteitstheorie”. Maar wat is nou precies ‘oneindig klein’? En wat is een ‘goed coördinatensysteem’? Stel, X₁, X₂ en X₃ kiezen we als de ruimtelijke coördinaten lengte, breedte en hoogte. En X₄ is de tijdcoördinaat. In de voetnoot merkt Einstein nog op dat de lichtsnelheid-in-vacuüm zo gekozen wordt dat die gelijk aan één is. Dit “-in-vacuüm” hoort er wel bij, want licht dat door lucht of glas heen gaat heeft een andere snelheid (het is langzamer) dan licht dat voortraast in vacuüm. Dat is gewoon een kwestie van je basiseenheden ‘effe’ herdefiniëren, dat maakt je vergelijkingen een heel stuk overzichtelijker want je hoeft dan niet overal die c voor de lichtsnelheid mee te slepen. Ergens aan het eind plakken we die er wel weer in. Hiervoor had ik het over de wet: s = vt. Of het dan gaat over meters of kilometers of yards is van later zorg. Indien ik een ruimtelijke afstand wil uitrekenen dan gebruik ik de stelling van Pythagoras:

Nu gaan we een stapje verder door de tijdcoördinaat erbij te betrekken, en we hebben het nu dus niet meer over een ruimtelijke afstand, maar over een afstand in de ruimtetijd. Dat ziet er dan als volgt uit: En nu gebeurt er ineens heel veel. De kleine letter s geeft een afstand aan in de ruimtetijd. Einstein heeft het over een “lijnelement”, maar wat heel vaak wordt gebruikt in de literatuur is de term “interval”. Wij gaan hier niet met Einstein mee en praten over interval. Ik maak vergelijking (4.2) iets overzichtelijker door de ruimtecoördinaten samen te nemen als volgt: En dit wil ik graag vergelijken met een ruimtelijke afstand in twee dimensies: Stel dat twee voorwerpen, bijvoorbeeld jij en ik, een constante ruimtelijke afstand tot elkaar houden. In vergelijking (4.4) betekent dat dat X = constant, bijvoorbeeld 3 meter. Wanneer ik alle punten in een grafiek zet waarbij mijn afstand constant is ten opzichte van jou dan ziet dat er zo uit: Inderdaad, dat is een cirkel. Als ik ten opzichte van jou kan bewegen, maar ik zit met een metalen stang aan jou vast zodat onze onderlinge afstand gelijk blijft, dan kan ik niet anders dan een cirkel om jou heen beschrijven (of jij een cirkel om mij heen). Want als ik in vergelijking (4.4) de afstand X vervang door een constante p (ik wil de letter c vermijden, omdat die staat voor de lichtsnelheid en mogelijk verwarring op kan roepen) en de vergelijking nog wat herschik, dan staat er: En dit is inderdaad de vergelijking van een cirkel. Maar hoe ziet het er dan uit wanneer ik in de ruimtetijd beweeg op een constant interval (ruimtetijdafstand) van jou? Laten we in vergelijking (4.3) s dan maar vervangen door de constante p en de vergelijking nog wat herschikken als volgt: Wat natuurlijk direct opvalt is dat in vergelijking (4.5) een minteken staat en in vergelijking (4.6) een plusteken. Laten we van vergelijking (4.6) ook maar eens een grafiek maken.

Een relatief eenvoudig plaatje, maar hier is heel veel over te vertellen. Eerst even ere wie ere toekomt: het was Hermann Minkowski die in 1907 de speciale relativiteitstheorie omschreef naar een elegant wiskundig bouwwerk. Vergelijking (4.2), hoe simpel die er ook uitziet, is gebaseerd op zijn werk. Wat zien we in figuur 4.2? De hyperbolen zijn lijnen die een constant interval beschrijven, vergelijkbaar met de cirkel in figuur 4.1 die een constante ruimtelijke afstand beschrijft. Daarnaast is er de oorsprong, daar zijn X = 0 en X₄ = 0, oftewel wij bevinden ons daar op dezelfde plaats en dezelfde tijd in de ruimtetijd: we staan tegen elkaar aan. Kijken we naar de verticale as, dat is de verzameling punten waar de ruimtelijke afstand X = 0, dan bevinden zich daar twee snijpunten met de kromme: X₄ = +p en X₄ = −p. Op die twee punten bevind ik mij op dezelfde plaats in de ruimte, maar op een andere tijd. Ik ben dan op dezelfde ruimtelijke positie als jij, maar eerder (onderste snijpunt met de verticale as) of later (bovenste snijpunt met de verticale as). Deze grafiek geeft dan ook aan hoe wij ons tijdachtig ten opzichte van elkaar bevinden. De twee stippellijnen, die ik onder een hoek van 45 graden met de assen erbij getekend heb, zijn de asymptoten van de grafiek. Asymptoten zijn lijnen waar een kromme naartoe nadert wanneer een bepaalde variable naar oneindig (∞) gaat. Dus stel dat X = ∞, dan is p te verwaarlozen en staat er X₄ = +X of X₄ = −X. En dit zijn inderdaad vergelijkingen van lijnen die een hoek van 45 graden maken met de assen. Hiervoor heb ik verteld dat we de lichtsnelheid c voor het gemak uit de vergelijkingen laten, maar eigenlijk staat er voor X₄: X₄ = ct. Daarmee is de vergelijking van de asymptoot: X = ct, oftewel wanneer je je verplaatst met de lichtsnelheid. De asymptoot is een lijn die je kunt benaderen, maar de kromme zal nooit samenvallen met de asymptoot, want dat zou betekenen dat er gereisd wordt met de lichtsnelheid en dat kan niet. In vergelijking (4.2) zijn de ruimtecoördinaten met een minteken aangegeven en de tijdcoördinaat met een plusteken. Waarom eigenlijk? Zullen we voor de grap mintekens en plustekens eens omwisselen? Vergelijking (4.2) wordt dan:

En vergelijking (4.6) wordt dan: Deze kromme willen we natuurlijk ook even zien in een plaatje. De figuur hierboven is een gekantelde versie van figuur 4.2. Wat stellen nu de snijpunten met de assen voor? Het rechtersnijpunt met de horizontale as betekent dat wij ons p meters van elkaar verwijderd bevinden, maar wel op hetzelfde tijdstip. En voor het linkersnijpunt met de horizontale as geldt hetzelfde, maar bij het ene snijpunt bevindt de een zich voor de ander, en bij het andere snijpunt erachter. Of het is een verschil van onder en boven, of links en rechts. Deze grafiek geeft dan ook aan hoe wij ons ruimteachtig ten opzichte van elkaar bevinden. En de asymptoten geven weer aan dat de een zich met de lichtsnelheid verwijdert van de ander, een onhaalbare situatie. Dan is het natuurlijk ook leuk om de beide plaatjes, figuur 4.2 en figuur 4.3, te combineren. Stel dat jij je in de oorsprong van het assenstelsel bevindt en ik ben ergens in het bovenste kwadrant “Tijdachtig (toekomst)”, dan zijn wij altijd ‘door de tijd gescheiden’. Ik kan wel zijn waar jij bent, maar nooit op hetzelfde moment, ik ben altijd in jouw toekomst. Tenzij s = 0 natuurlijk, dan zijn we gezellig samen in de oorsprong. En ben ik in het onderste kwadrant “Tijdachtig (verleden)” dan zijn wij ook altijd ‘door de tijd gescheiden’. Wederom kan ik wel zijn waar jij bent, maar nooit op hetzelfde moment, altijd ben ik in jouw verleden. In het linker kwadrant “Ruimteachtig (‘links’)” of het rechter kwadrant “Ruimteachtig (‘rechts’)” kan ik nooit ruimtelijk zijn waar jij bent, altijd ben ik ‘links’ of ‘rechts’ van jou (of boven of onder, of voor of achter, daarom staan links en rechts ook tussen quotes). De vier hyperbolen hebben ieder een snijpunt met een horizontale of verticale as. En afhankelijk van de constante p liggen die vier snijpunten dichter bij de oorsprong, indien p kleiner wordt, of ze liggen juist verder weg van de oorsprong wanneer p groter wordt. Afhankelijk van de waarde van p doorloopt een hyperbool dus het gehele kwadrant dat gelegen is tussen twee asymptoten. Daarom maar gelijk door naar het volgende plaatje waar ik de hyperbolen helemaal weglaat, want afhankelijk van de waarde van p ‘vullen’ ze immers het gehele kwadrant. Ieder punt in de grafiek is een gebeurtenis, een puntgebeurtenis, waar Einstein het al eerder over had (in paragraaf 3). En de grafiek geeft aan wat de onderlinge relatie is tussen die puntgebeurtenissen, liggen ze in elkaars verleden of toekomst, of zijn ze ruimteachtig gescheiden en daarmee niet in elkaars verleden of toekomst. Dit is weliswaar een tweedimensionaal plaatje, hij is gewoon vlak, maar we moeten niet vergeten dat de horizontale as de totale drie-dimensionale ruimte uitbeeldt. Probeer dat maar niet voor ogen te krijgen, want dat lukt toch niet, als je het maar wel in je achterhoofd houdt. Vanuit de oorsprong gezien kun je de asymptoten dus zien als kegels van licht (lichtkegels), het deel boven de horizontale as is de toekomst (gezien vanuit de oorsprong!) en het deel beneden de horizontale as is het verleden (gezien vanuit de oorsprong!). Alles wat buiten die twee kegels ligt is ruimteachtig van jou gescheiden en is voor jou verleden noch toekomst. En datgene wat precies op de kegels gebeurt, dus op de asymptoten, reist met de snelheid van het licht en dat noemen we lichtachtig. Samengevat wordt dit:

• Een deeltje (iets stoffelijks dus, iets dat altijd langzamer is dan het licht) dat de oorsprong verlaat kan alleen datgene beïnvloeden wat binnen de toekomst-kegel ligt.
  s² > 0 oftewel s > 0 (het interval s is positief).
• Een lichtstraal (die gaat uiteraard met de snelheid van het licht) die de oorsprong verlaat kan alleen datgene beïnvloeden wat op de toekomst-kegel ligt.
  s² = 0 oftewel s = 0 (het interval s is nul).
• Een deeltje (iets stoffelijks dus, iets dat altijd langzamer is dan het licht) kan alleen datgene beïnvloeden wat in de oorsprong gebeurt indien het binnen de verleden-kegel ligt.
  s² > 0 oftewel s > 0 (het interval s is positief).
• Een lichtstraal (die gaat uiteraard met de snelheid van het licht) kan alleen datgene beïnvloeden wat in de oorsprong gebeurt indien het op de verleden-kegel ligt.
  s² = 0 oftewel s = 0 (het interval s is nul).
• Er is niets wat in de oorsprong kan plaatsvinden dat ook maar enige invloed kan uitoefenen op iets dat buiten de beide kegels gebeurt.
  s² < 0 oftewel s = imaginair (het interval s is niet reëel).
• Er is niets wat buiten de beide kegels kan plaatsvinden dat ook maar enige invloed kan uitoefenen op iets dat in de oorsprong gebeurt.
  s² < 0 oftewel s = imaginair (het interval s is niet reëel).

Laten we onze waarnemers Jan en Piet er weer eens bij roepen. We zetten Jan en Piet met de ruggen tegen elkaar aan, en maken daar op een bepaald moment van bovenaf een foto van. Een foto legt in feite een gebeurtenis vast, vergelijkbaar met de puntgebeurtenissen waar Einstein het al eerder over had. Het tijdstip dat de foto gemaakt wordt noemen we het tijdstip t. Schematisch ziet dat er dan als volgt uit: Vervolgens begint Piet met constante snelheid te bewegen, hij begint te wandelen of scheurt weg met een raceauto of hij stapt in een raket. Het maakt niet uit hoe, het gaat erom dat hij zich met constante snelheid van Jan verwijdert. En daar maken we ook telkens foto’s van, na vaste tijdsintervallen ∆t maken we telkens een foto. Dus de eerstvolgende foto is na ∆t vanaf het begintijdstip t, oftewel na t + ∆t. En na ∆t weer een foto. En zo gaat het maar door, ∆t later weer een foto. Je raadt het al, ∆t later volgt de volgende foto. Uiteindelijk hebben we een indrukwekkende hoeveelheid foto’s: we hebben een heleboel gebeurtenissen vastgelegd. We leggen ze allemaal op volgorde op een stapel, de eerste foto (= oudste gebeurtenis) onderop en de laatste foto (= meest recente gebeurtenis) bovenop. Daarna kijken we van de zijkant tegen de stapel foto’s en gaan we onze fantasie gebruiken. We doen net of het fotopapier doorzichtig is en daardoor zien we alleen de inkt die op de foto’s gedrukt is. Als je fantasie je niet in de steek laat, dan krijg je dit plaatje voor ogen: Deze twee lijnen met de opeenvolgende gebeurtenissen laten de wereldlijn van Jan en de wereldlijn van Piet zien. Alles volgt wereldlijnen, van atomen tot vrachtwagens, ze volgen allemaal wereldlijnen. En al deze wereldlijnen vormen samen de wereld. Laat ik er maar eens een paar assen bijtekenen, dat geeft wat meer duidelijkheid. Jan en Piet hebben allebei hun eigen X₄-as, hun eigen tijd-as, want twee bewegende stelsels, in dit geval Jan en Piet, hebben allebei hun eigen tijdsbeleving zoals de speciale relativiteitstheorie al uitgebreid geleerd heeft. Ze hebben dan wel ieder hun eigen tijd-as, maar ruimtetijdintervallen zijn voor hen beiden gelijk. Als Jan en Piet op drie ruimtetijd meters afstand van elkaar bewegen (een ruimtetijdinterval s van drie meter), dan is dat zowel voor Jan als voor Piet als voor welke bewegende waarnemer (met constante snelheid) dan ook drie meter. Vergelijk het ermee als Jan en Piet bijvoorbeeld op drie ruimtelijke meters afstand van elkaar stilstaan (een ruimte interval X van drie meter), dan is dat zowel voor Jan als voor Piet als voor welke stilstaande waarnemer dan ook drie meter. Het ruimtetijdinterval s is dus invariant, dat wil zeggen dat het ruimtetijdinterval s onafhankelijk is van de waarnemer. Drie meter ruimtetijd is voor Jan drie meter en ook voor Piet drie meter. Vergelijk het met de ruimtelijke afstand X van vergelijking (4.4). In figuur 4.2 is de kromme getekend met s, het ruimtetijdinterval, als constante p. Laten we eens inzoomen op figuur 4.12 en de kromme van figuur 4.2, het constante ruimtetijdinterval, erbij intekenen. Het is interessant om de snijpunten van de hyperbool met de wereldlijnen van Jan en Piet nader te onderzoeken. Laten we de vergelijkingen van de wereldlijnen en de hyperbool eens op een rijtje zetten. Eerst de wereldlijn van Jan (Jan staat stil op de positie x = 0): De wereldlijn van Piet: En dit is de hyperbool: Waarbij geldt: β is de relatieve snelheid ten opzichte van de lichtsnelheid. En kennen we de Lorentz-factor γ al (of nog)? Nu gaan we de beide snijpunten berekenen, eerst het snijpunt van de hyperbool met de wereldlijn van Jan. Dat is simpel, want de wereldlijn van Jan zegt dat X = 0. Dit vullen we in in de vergelijking van de hyperbool: Het eerste snijpunt S₁ is dus (0, s). Nu het tweede snijpunt, daarvoor stellen we de hyperbool gelijk aan de wereldlijn van Piet: En welke waarde van de wereldlijn van Piet hoort daarbij? Dan is het tweede snijpunt bekend: S₂ (sβγ, sγ). En de volgende stap is om in de snijpunten de raaklijnen aan de hyperbool te berekenen. Die raaklijnen zal ik er eerst bij intekenen: Ik bepaal nu eerst de afgeleide van de hyperbool. Dit is de hyperbool: En dit is zijn afgeleide: In deze vergelijking vullen we de X-waarden van de beide snijpunten in: Daarmee hebben we de richtingscoëfficiënten (hellingsgetallen) van de raaklijnen, en die vullen we alvast in in de vergelijkingen van de raaklijnen: De beide b’s bepalen we door de respectievelijke snijpunten in te vullen. En zo komen we tot de vergelijkingen van de raaklijnen: En wat schieten we daar nu mee op? Nou, als laatste stap gaan we de snijpunten berekenen van de beide raaklijnen met de wereldlijn van ‘de ander’, en dan wordt duidelijk waar ik heen wil. Kijk maar in het volgende plaatje. Van de raaklijn R_p gaat het dus om het snijpunt S₃ met de wereldlijn van Jan. Die is simpel, want daar is X = 0 en dat vullen we in. Dat levert op: R_p = s/γ, dus het snijpunt S₃ is (0, s/γ). Voor het bepalen van het snijpunt van de raaklijn R_j met de wereldlijn van Piet stellen we beide vergelijkingen gelijk aan elkaar. Als we dit invullen in de wereldlijn van Piet geeft dat: βs/β = s, dus snijpunt S₄ is (βs, s). Tenslotte bepalen we van de snijpunten voor ieder de ruimtetijd afstand tot de oorsprong. Eerst voor S₃. En daarna voor S₄. Beide snijpunten hebben hetzelfde ruimtetijdinterval tot de oorsprong! Want wat gebeurt er? Jan kijkt vanaf de gebeurtenis S₁ (alle punten van de grafiek zijn gebeurtenissen!) op zijn wereldlijn (zijn tijd-as) naar de wereldlijn van Piet (de tijd-as van Piet) via de raaklijn R_j. Hij ziet de wereldlijn van Piet op het snijpunt S₄, de gebeurtenis S₄. Voor Jan is er inmiddels een ruimtetijdinterval s verstreken (alleen maar tijd, want Jan ‘beweegt niet’) vanaf de oorsprong en hij ziet de klok bij Piet s/γ aanwijzen. Vanuit Jan gezien loopt de klok van Piet langzamer: tijddilatatie! Piet daarentegen kijkt vanaf de gebeurtenis S₂ op zijn wereldlijn (zijn tijd-as) naar de wereldlijn van Jan (de tijd-as van Jan) via de raaklijn R_p. Hij ziet de wereldlijn van Jan op het snijpunt S₃, de gebeurtenis S₃. Voor Piet is er inmiddels een ruimtetijdinterval s verstreken (alleen maar tijd, want zijn wereldlijn is zijn tijd-as en ook Piet kan stellen dat hij ‘niet beweegt’) vanaf de oorsprong en hij ziet de klok bij Jan s/γ aanwijzen. Vanuit Piet gezien loopt de klok van Jan langzamer: tijddilatatie! Even samenvatten:

• De wereldlijn van Jan is zijn tijd-as, hij kan daar continu NU roepen, want elk punt op die lijn is voor hem NU (in de werkelijkheid bestaat er alleen maar NU).
• De raaklijn R_j is voor Jan zijn X-as na een bepaalde tijd die hem bij S₁ heeft gebracht. Dit is hoe Jan de wereld ziet. Deze X-as is voor Jan zijn wereld van gelijktijdigheid, zijn beleving van het NU.
• De wereldlijn van Piet is zijn tijd-as, hij kan dáár continu NU roepen, want elk punt op die lijn is ook voor hem NU (ook in de werkelijkheid van Piet bestaat er uiteraard alleen maar NU).
• De raaklijn R_p is voor Piet zijn X-as na een bepaalde tijd die hem bij S₂ heeft gebracht. Dit is hoe Piet de wereld ziet. Deze X-as is voor Piet zijn wereld van gelijktijdigheid, zijn beleving van het NU.

Ik teken ook nog de asymptoot X₄ = X erbij in het plaatje. En wat blijkt: de hoek tussen de tijd-as en de asymptoot is altijd gelijk aan de hoek tussen de X-as en de asymptoot. Met andere woorden: de som van de hoeken die tijd-as en X-as met een horizontale lijn maken is altijd 90 graden.

De wereldlijn van Jan is verticaal, de hoek met de asymptoot is dus 45 graden. De X-as van Jan is horizontaal, de hoek met de asymptoot is dus ook 45 graden en de som van beide hoeken is inderdaad 90 graden. De wereldlijn van Piet staat onder een bepaalde hoek met de horizontale as. De tangens van die hoek is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de wereldlijn van Piet: 1/β. De X-as van Piet is de raaklijn R_p en deze maakt ook een bepaalde hoek met de horizontale as. De tangens van deze hoek is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn R_p: β. Oftewel, de tangens van de ene hoek is 1/tangens van de andere hoek. Dus als de ene hoek φ graden is dan is de andere hoek (90 − φ) graden. Waarmee bewezen is dat voor beide lijnen de hoek met de asymptoot gelijk is en dat de som van de hoeken weer 90 graden is.

En waarom merken wij niets van al deze gekkigheid (tijddilatatie e.d.) in onze alledaagse wereld? Stel dat Piet vertrokken was bij Jan (figuur 4.6) op zijn fiets met een snelheid van 18 km/uur. Een snelheid van 18 km/uur komt overeen met 5 m/s. Daaruit volgt: β = 5/c = 5/299792458 = 1.67 ∙ 10⁻⁸ = tangens (hoek met de verticale as) ≈ hoek met de verticale as (de tangens van een hoek is nagenoeg gelijk aan de hoek zelf voor kleine hoeken). De wereldlijn van Piet maakt dan een hoek van 1.67 ∙ 10⁻⁸ radialen ≈ 0.3 nanograden (van radialen naar graden is vermenigvuldigen met π/180) met de wereldlijn van Jan! In onze slome beleving vallen de wereldlijnen van Jan en Piet gewoon samen. In de voorgaande plaatjes met Jan en Piet, die ik getekend heb, is die hoek bijna 23 graden, dat levert een tangens op van 0.421. De snelheid van Piet is dus maar liefst 0.421 × 299792458 is meer dan 126 miljoen m/s = 126000 km/s! Ter vergelijking: de ontsnappingssnelheid van de Aarde, de snelheid die ruimtevaartuigen moeten ontwikkelen om de Aarde achter zich te laten en andere hemellichamen te bereiken, is ‘slechts’ 11 km/s. Anno 2011 kunnen we van snelheden die een ‘beetje fatsoenlijke’ β opleveren alleen nog maar dromen, maar hier kon ik niet anders omdat er bij realistische snelheden aan de hand van plaatjes simpelweg helemaal niets valt uit te leggen. Voor de duidelijkheid volgt hieronder een tabel met snelheden en bijbehorende β en γ waarden.

v [m/s]	β	γ
0	0.0000000000000	1.00000000000000000
1	0.0000000033356	1.00000000000000001
3	0.0000000100069	1.00000000000000006
10	0.0000000333564	1.00000000000000056
30	0.0000001000692	1.00000000000000501
100	0.0000003335641	1.00000000000005564
300	0.0000010006923	1.00000000000050070
1000	0.0000033356410	1.00000000000556326
2998	0.0000100002516	1.00000000005000252
10000	0.0000333564095	1.0000000005563
29979	0.0000999991801	1.0000000049999
100000	0.0003335640952	1.0000000556325
299792	0.0009999984723	1.0000004999987
1000000	0.0033356409520	1.0000055632967
2997925	0.0100000014010	1.0000500037643
10000000	0.0333564095198	1.0005567897052
29979246	0.1000000006671	1.0050378153269
100000000	0.3335640951982	1.0607520004442
299792457	0.9999999966644	12243.21149
299792458	1.0000000000000	∞
Tabel 4.1

Of in grafiekvorm: En ben ik nu eindelijk uitgepraat over Minkowski? Nee, er is nog wat om te vertellen. We roepen daarom onze waarnemers Jan en Piet er maar weer bij en we zetten ze gewoon ergens neer, op een willekeurige afstand van r meter van elkaar. En natuurlijk maak ik daar weer een plaatje van, want plaatjes zeggen zoveel meer. Nu willen we weten waar Piet precies staat ten opzichte van Jan. Waarnemer Kees gaat dit voor ons uitzoeken. Kees komt en brengt zijn eigen assenstelsel mee waarvan hij de oorsprong bij Jan neerlegt. Hij gaat uitgebreid aan het meten, pakt daarna zijn boeltje in en vertrekt om zijn verslag te maken. Voor de zekerheid vragen we een second opinion aan waarnemer Henk. Ook Henk komt opdraven met zijn instrumentarium, legt ook de oorsprong bij Jan neer, en na gedane arbeid gaat ook hij zijn verslag maken. Uiteindelijk ontvangen we twee verslagen die we naast elkaar leggen.

Verslag Kees	Verslag Henk
De Y-as is referentie-as	De Y-as is referentie-as
Piet staat op een afstand (r) van 6 meter van Jan	Piet staat op een afstand (r) van 6 meter van Jan
De denkbeeldige lijn van Jan naar Piet staat onder een hoek (φk) van 50.0 graden	De denkbeeldige lijn van Jan naar Piet staat onder een hoek (φh) van 27.5 graden
De denkbeeldige lijn van Jan naar Piet heeft een hellingsgetal (Hk) van 1.192	De denkbeeldige lijn van Jan naar Piet heeft een hellingsgetal (Hh) van 0.521
De X-coördinaat van Piet (∆Xk) is 4.596	De X-coördinaat van Piet (∆Xh) is 2.770
De Y-coördinaat van Piet (∆Yk) is 3.857	De Y-coördinaat van Piet (∆Yh) is 5.322
Tabel 4.2

Heel fijn dat Kees en Henk in ieder geval dezelfde afstand gemeten hebben, maar verder kunnen we de resultaten niet direct rijmen. Er zitten ook plattegronden bij de verslagen. Dit is de plattegrond van Kees: En dit is de plattegrond van Henk: Wat natuurlijk direct opvalt is dat de assenstelsels totaal verschillend zijn. Daarom leggen we de plaatjes eens op elkaar. Dit verklaart natuurlijk een hoop. De assen van Kees en de assen van Piet zijn ten opzichte van elkaar gedraaid over een bepaalde hoek. Die hoek noem ik ξ en die geef ik ook aan in het plaatje. Ik pak mijn gradenboog en meet de hoek ξ: 24.979 graden. Dan begint alvast iets duidelijk te worden: Met behulp van elementaire goniometrie is ook het volgende in te zien: Voor beide stelsels geldt dan ook (stelling van Pythagoras): Dit klopt inderdaad, want Kees en Henk hebben beiden (uiteraard) dezelfde afstand r gemeten. Maar hoe zijn die ∆X’en en ∆Y’en in elkaar om te rekenen? Dat gaat zo: Die overstap van het verschil van twee hoeken naar een product van sinussen en cosinussen gaat met behulp van een hulpregel uit de goniometrie, en die zal ik ook nog even toelichten. Ik moest daarvoor ook wel weer even puzzelen, maar via het onderstaande plaatje wordt het duidelijk (hoop ik) en zijn de sinus en cosinus van de somhoek (α + β) zo af te lezen. De sinus en cosinus van de verschilhoek (α − β) verkrijg je door β te vervangen door −β, en daarna de sinussen van β een minteken mee te geven. Nu wil ik nog weten hoe de hellingsgetallen uit de verslagen van Kees en Henk in elkaar om te rekenen zijn. Het hellingsgetal is de tangens van de hoek die die helling maakt. De sinus en de cosinus kan ik schrijven als een functie van de tangens: Waaruit volgt: De vergelijkingen (4.13c) en (4.13d) gaan we invullen in de vergelijkingen (4.12a) en (4.12b), waarbij we ook nog gebruik maken van: Dit is dan de afleiding: En H_h vinden we dan door de vergelijkingen (4.15a) en (4.15b) op elkaar te delen. Indien we alleen het verslag van Kees hadden ontvangen, en een andere waarnemer had ons verteld dat het assenstelsel van Henk een hoek ξ maakte met het assenstelsel van Kees, dan hadden we de meetgegevens van Henk als volgt kunnen uitrekenen:

• Volgens vergelijking (4.9) is de hoek φ_h uit te rekenen.
• Volgens vergelijking (4.16) is het hellingsgetal H_h uit te rekenen.
• Volgens vergelijking (4.12a) is de X-coördinaat ∆X_h uit te rekenen.
• Volgens vergelijking (4.12b) is de Y-coördinaat ∆Y_h uit te rekenen.

Aan jou de eer om te controleren of het ook inderdaad allemaal klopt, dus pak je rekenmachine!

En nu ga ik nog één keer terug naar de ‘cirkel’ (de hyperbolen) van Minkowski. Ik neem het plaatje van figuur 4.12, met de wereldlijnen van Jan en Piet, en voeg daar nog een derde wereldlijn aan toe. Ook geef ik wat hoeken aan, en dan ziet het er zo uit: Piet beweegt naar ‘rechts’ ten opzichte van Jan, en zowel Jan als Piet bewegen naar ‘rechts’ ten opzichte van een bepaalde referentie-as X₄. En “rechts” staat wederom tussen quotes, want in dit tweedimensionale plaatje worden vier dimensies uitgebeeld. Wat er op dit plaatje uitziet als “rechts” kan in werkelijkheid wel een beweging naar achteren zijn en tegelijkertijd omhoog. De derde wereldlijn is een of andere X₄ referentie-as. Ik heb alleen de X-as getekend behorend bij de X₄ referentie-as. Het wordt daardoor wel een beetje een raar plaatje, maar dit is relativiteitstheorie, dus waarom moeten de assen van een assenstelsel zo nodig precies horizontaal of verticaal staan? De X-assen van Jan en Piet heb ik weggelaten, want die X-assen voegen nu even niets toe.

Nu gaan we de doos met wiskundige trucs er maar eens bij pakken. Wat is de wortel uit een negatief getal? Dat kan niet hebben we geleerd, maar wiskundigen zijn niet voor een gat te vangen en hebben daarom de volgende oplossing bedacht, de imaginaire eenheid i: De wortel uit bijvoorbeeld −49 is: Verder wil ik hier de hyperbolische functies introduceren: Waaruit volgt dat: En ook:

En maak kennis met de vergelijkingen van Euler (naar Leonhard Euler, een Zwitsers wiskundige):

Het getal e heet het getal van Euler. Door optelling respectievelijk aftrekking van de vergelijkingen (4.19a) en (4.19b) ontstaan: Hiermee gaan we aan de slag om vergelijking (4.2) te verbouwen. En dit is de normale vergelijking van een cirkel! Weliswaar met een imaginaire component erin, maar dat mag de pret niet drukken. En voor een cirkel gelden de goniometrische regels van vergelijking (4.10), dus dat doen we hier ook. Ik gebruik hier de indices j en p van Jan en Piet. En dit combineren we met de vergelijkingen (4.20a) en (4.20b): Dezelfde afleiding voor Piet levert dan uiteraard op: En voor de andere coördinaat levert dit op: En tenslotte vormt zich hieruit tanh (−iφ), en dit geldt dan uiteraard zowel voor Jan als voor Piet. Nu vervang ik de negatieve imaginaire hoek −iφ door Ψ (niet bij nadenken, gewoon doen). Ook hier is dit op zowel Jan als Piet van toepassing. Als ik hiermee aan de gang ga, net als in vergelijking (4.11), dan levert dat het volgende op: Analoog aan vergelijking (4.9) geldt hier: En we kunnen uiteraard ook coördinaten omrekenen zoals we met vergelijking (4.12) uitgezocht hebben. Dus dat gaan we nu ook doen: En net zoals de gewone sinus en cosinus te schrijven zijn als een functie van de tangens (zoals in vergelijking (4.13)), zo zijn ook de sinus hyperbolicus en cosinus hyperbolicus te schrijven als een functie van de tangens hyperbolicus: Waarna we deze wijsheid gebruiken en in de vergelijkingen (4.28a) en (4.28b) stoppen: Indien we ook nog bedenken dat: Dan veranderen de vergelijkingen (4.30a) en (4.30b) in: En hieruit distilleren we β_p:

Hier staat ineens de formule voor het relativistisch optellen van snelheden! Via de hyperbolen van Minkowski en wat negatieve imaginaire hoeken kunnen we uiteindelijk zelfs de Lorentz-transformaties (vergelijkingen (4.30)) weer tevoorschijn halen. Is relativiteitstheorie (en wiskunde) leuk of niet? Een goed moment om alles wat we hiervoor allemaal hebben uitgewerkt nu bij elkaar te zetten in een tabel.

Ruimte	Ruimtetijd
Afstand:	Afstand (interval):
Afstand:	Afstand (interval):
Positie (hellingsgetal):	Snelheid (hellingsgetal):
Rotatiehoek:	Rotatiehoek:
Positie (hellingsgetal) na rotatie:	Snelheid (hellingsgetal) na rotatie:
Coördinaat X1 na rotatie: (bij rotatie in het X1-X2-vlak)	Coördinaat X1 na rotatie: (bij rotatie in het X1-X4-vlak)
Coördinaat X2 na rotatie: (bij rotatie in het X1-X2-vlak)	Coördinaat X4 na rotatie: (bij rotatie in het X1-X4-vlak)
Tabel 4.3

Even een hele belangrijke opmerking: dit laatste stuk stond bol van de wiskundige trucs. Dus ren nu niet gelijk naar je moeder of naar wie dan ook om te roepen dat er imaginaire tijd bestaat, want die bestaat alleen in onze wiskundige fantasie. In de wiskunde mag je de gekste abstracties bedenken en toepassen, als je uiteindelijk dan maar wel weer met beide benen op de grond belandt.

Dit moest echt allemaal ‘even’ gezegd worden over Minkowski en zijn elegante wiskundige bouwwerk. Daarom: hulde aan Minkowski! Ik haal nu vergelijking (4.2) er weer bij waar ik dit hele verhaal zo ongeveer mee begon. Maar als we het artikel van Einstein bekijken dan zien we daar iets fundamenteel anders staan: Opmerking: de aanduiding “/E1” voor de vergelijking refereert aan het nummer van de desbetreffende vergelijking in het artikel van Einstein. In dit geval is dit dus zijn eerste vergelijking. Voor de schuine streep staat het volgnummer dat ik aan de vergelijking heb gegeven. En om het cultureel-historische besef van wat we aan het doen zijn wat op te krikken voeg ik de originele vergelijking van Einstein toe uit het oorspronkelijke Duitse artikel.

Wat is er aan de hand? In alles wat ik hiervoor verteld heb gingen we uit van constante snelheden, dat is ook de beperkende factor van de speciale relativiteitstheorie. Maar in de echte wereld zijn er natuurlijk niet alleen maar constante snelheden, er zijn ook versnellingen. Kijk maar eens naar het volgende plaatje met twee wereldlijnen van Jan respectievelijk Piet. Jan bevindt zich continu op dezelfde positie, hij staat een patatje te eten of zoiets, of hij ligt in bed. Maar Piet is volop in beweging, het ene moment beweegt hij naar ‘rechts’, dan weer naar ‘links’. Hij versnelt, hij vertraagt en ook staat hij weleens stil (allemaal ten opzichte van Jan uiteraard). De raaklijnen aan de kromme van zijn wereldlijn ‘verraden’ wat hij aan het doen is. Op deze momenten staat Piet bijvoorbeeld stil (ten opzichte van Jan): En op deze momenten beweegt Piet (ongeveer) met constante snelheid (ten opzichte van Jan): En op alle overige momenten is Piet vooral aan het remmen of gas geven. Maar Einstein merkt op dat wanneer je de wereldlijn van Piet op een heel klein stukje (“oneindig klein”) beschouwt, dat daar de snelheid wel constant is. En voor constante snelheden geldt de speciale relativiteitstheorie. Met andere woorden: als je van de ene gebeurtenis (ik kan het niet vaak genoeg zeggen: elk punt in de grafiek is een gebeurtenis!) naar de meest nabijgelegen gebeurtenis ‘overspringt’, dan overbrug je een oneindig klein ruimtetijdintervalletje. En “oneindig klein” geven we aan met de letter d, dus het interval wordt dan ds. En de wereldlijn van Piet kun je zien als een aaneenschakeling van oneindig veel oneindig kleine raaklijntjes, maar al die oneindig kleine raaklijntjes zijn wel oneindig kleine intervalletjes waar de snelheid constant is. Dus door vergelijking (4.2) toe te passen op het oneindig kleine gaat die vergelijking over in vergelijking (4.34/E1) en kan die op elk punt van de wereldlijn (“plaatselijk” noemt Einstein dat) van Piet toegepast worden. En daar waar de snelheid constant is, daar is de versnelling nul, dus daar treden geen krachten op die op Piet inwerken. In paragraaf 2 hebben we het uitgebreid gehad over het equivalentieprincipe en daarom kunnen we stellen: dan is er in dat geval ook geen zwaartekrachtveld werkzaam. En dit is waar Einstein naar toe wil (denk ik) in deze paragraaf: als je uitgaat van oneindig kleine vierdimensionale gebieden dan treedt er geen zwaartekrachtveld op. Verder merkt hij nog op dat de beschrijving van het interval volgens vergelijking (4.34/E1) een directe betekenis heeft in de echte wereld, in de werkelijkheid. Een oneindig kleine verplaatsing dX₁ naar rechts of naar links, of een oneindig kleine verplaatsing dX₂ naar voren of naar achteren, of een oneindig kleine verplaatsing dX₃ naar boven of naar beneden, is rechtstreeks te meten met een oneindig kleine lineaal. En een oneindig kleine ‘verplaatsing’ dX₄ in de tijd is te meten met een klok die dat hele kleine beetje tijd kan meten. Hoe dat praktisch te realiseren is daar gaat het nu niet om, het belangrijkste is dat er een één-op-één relatie is tussen de vergelijking en de werkelijkheid. Op die manier kunnen we ons voor ogen houden waar we mee bezig zijn, en dat is wel zo prettig. En met behulp van onze waarnemers Jan en Piet hebben we hiervoor uitgebreid uitgeplozen hoe een bepaald ruimtetijdinterval door hen beiden ervaren wordt: het is gelijk. Net zoals de waarnemers Kees en Henk voor ons hebben duidelijk gemaakt dat een ruimtelijke afstand onafhankelijk is van de waarnemer, oftewel, onafhankelijk is van het assenstelsel waarin de ruimtelijke afstand gemeten wordt. En dit geldt echt voor elk assenstelsel. Bekijk eens even het volgende plaatje (voor de duidelijkheid in twee dimensies getekend). Want nergens staat geschreven dat assen recht moeten zijn, dat doen we doorgaans wel maar dat is puur voor ons eigen gemak. Maar de assenstelsels in figuur 4.27 zijn net zo geldig als elk ander. Ik teken er ook even twee gebeurtenissen bij in die oneindig dicht bij elkaar liggen. Precies, die twee gebeurtenissen zijn samen één stip omdat ze oneindig dicht bij elkaar liggen. Laten we daarom maar eens flink inzoomen. In onze fantasie pakken we een microscoop met een vergroting van ongeveer oneindig, en dan zien we dit: Daar, ter plaatse van het oneindig kleine, zijn de assen recht. Althans, de oneindig kleine delen van de assen die we door de supermicroscoop zien. En dat hele kleine stukje ds, de afstand van de ene gebeurtenis naar de andere, is vanuit beide assenstelsels gemeten gelijk (uiteraard). Dus als we maar in het oneindig kleine een wereldlijn beschouwen, dan ‘zien’ we een ruimtetijdintervalletje dat onafhankelijk is vanuit welk stelsel er gemeten wordt. Oftewel, in het oneindig kleine kun je een heel klein assenstelsel bedenken (“lokaal” noemt Einstein dat), waarvan het niet uitmaakt hoe het georiënteerd is, en vervolgens kunnen we daar het ruimtetijdintervalletje opmeten. Het ruimtetijdintervalletje ds is namelijk invariant, dus ongeacht vanuit welk assenstelsel er gemeten wordt: ds is altijd hetzelfde. Mede daarom heeft Einstein net nog expliciet vermeld dat dat ruimtetijdintervalletje werkelijk bestaat en met behulp van meetlatten en klokken op te meten is. Zo dicht mogelijk bij de werkelijkheid blijven is het motto van Einstein, want voordat je er erg in hebt gaat je brein van alles bedenken wat er helemaal niet is en dat willen we niet. Daar is je brein namelijk heel erg goed in, om met allerlei illusies op de proppen te komen. En in dat oneindig kleine vierdimensionale gebiedje is de snelheid constant en is dus ook de speciale relativiteitstheorie van toepassing. Er is één kleine, maar hele belangrijke en vervelende, ‘oeps’: de assen staan niet loodrecht op elkaar. Indien de assen wel loodrecht op elkaar staan dan is het leven zo heerlijk simpel en kunnen we met behulp van de stelling van Pythagoras de afstand tussen twee punten uitrekenen. Daarom is het de hoogste tijd om weer eens in de wiskundige trucendoos te graaien. En wat komt daar uit? Vectoren!

De Nederlander Willebrord Snel van Royen kwam als eerste met het concept van een vector. Maar wat is een vector? Vectoren zijn voorstellingen van ‘iets’ dat een richting heeft in tegenstelling tot een scalar die ‘iets’ voorstelt zonder richting. Een scalar is simpelweg een getal, bijvoorbeeld de temperatuur. Wanneer ik zeg dat de temperatuur hier twintig graden celsius is dan ben ik volledig duidelijk. Maar wanneer ik zeg dat ik fiets met een snelheid van achttien km/uur dan is de voor de hand liggende vraag: waarheen dan? Snelheden hebben dus een grootte (in dit geval achttien km/uur) en een richting. Vectoren worden voorgesteld door pijltjes, en deze pijltjes hebben een grootte en een richting. Scalaire grootheden (zoals temperatuur) worden volledig weergegeven door een getal. Vectoriële grootheden (zoals snelheid) worden volledig weergegeven door een getal én een richting. Indien ik een bepaalde kant op fiets dan kan ik dat aangeven met een pijltje (vector) die in die richting wijst. En als mijn snelheid 18 km/uur (= 5 m/s) bedraagt dan kan ik dat pijltje bijvoorbeeld een lengte meegeven van 5 cm. Ik kan erbij zetten dat het om een snelheid gaat door er v bij te schrijven, en de “v” wordt vet gedrukt om aan te geven dat het een vector is. Dat ziet er dan zo uit:

De vector in figuur 4.30 wijst naar rechts, maar ook een stukje omhoog. Indien ik hier een X-Y-assenstelsel bij denk dan heeft de vector v dus een X-deel en een Y-deel. Dit noemen we de componenten van de vector v en dat schrijven we als volgt op: v (v_x, v_y). Of in drie dimensies: v (v_x, v_y, v_z). De componenten van de vector mag je trouwens ook boven elkaar schrijven en dan de komma’s weglaten. Verder wil ik nog opmerken dat vectoren niet gebonden zijn aan een coördinatenstelsel (zolang we het puur over de vector zelf hebben en niet over de componenten van die vector, want de componenten vormen de verbinding met het coördinatenstelsel), en omdat we bezig zijn met relativiteitstheorie is dit een hele belangrijke. Pas op het moment dat ik begin te praten over de componenten van een vector verbind ik mij met een coördinatenstelsel. In onze wiskundige fantasie kan van alles door vectoren voorgesteld worden: snelheden, krachten, veldsterkte, verplaatsingen, enzovoort. Dit gaan we gebruiken om het probleem van figuur 4.29 aan te pakken. We zoomen nog wat verder in en we beperken ons even tot één assenstelsel. We beschouwen twee gebeurtenissen, die noemen we G₁ en G₂. En de ruimtetijdafstand tussen de beide gebeurtenissen, die oneindig dicht bij elkaar liggen, is ds. Dat schrijf ik er even bij in het plaatje. Als ik van gebeurtenis G₁ naar gebeurtenis G₂ ga dan beweeg ik in de X₁-dimensie, maar tegelijkertijd ook in de X₄-dimensie. Die bewegingen ga ik ook in het plaatje erbij tekenen als vectoren. Hierin is ds nog steeds ‘gewoon’ de grootte van het lijnstukje tussen G₁ en G₂, maar dX₁ en dX₄ zijn vectoren en dus vet gedrukt. De verplaatsing in de X₁-dimensie is voorgesteld door de vector dX₁ en de verplaatsing in de X₄-dimensie is voorgesteld door de vector dX₄. De vector dX₁ loopt daarom ook parallel aan de X₁-as en de vector dX₄ loopt parallel aan de X₄-as. Vectoren kun je bij elkaar optellen en dit is te visualiseren door ze kop-aan-staart te leggen. Daarom verplaatsen we dX₄ en leggen die bij de pijlpunt van dX₁ als volgt: En als vergelijking ziet dat er dan zo uit (let op: ds is hier een vector(tje)!): Volgende truc: we gaan het inwendig product nemen van het vectortje ds met zichzelf. In hoofdstuk B van het artikel van Einstein wordt de hele benodigde wiskunde blootgelegd en daar leg ik ook in detail uit wat het inwendig product is en doet. Daar is het beter op zijn plaats, want dan vormt de uitleg één geheel met het uitwendig product en het tensor product en nog veel meer wiskundige uitleg, en daarom ga ik er hier niet verder op in. Bovendien is deze paragraaf 4 nu al zo omvangrijk, terwijl we natuurlijk ook niet alles tegelijk moeten willen. Voor de ongeduldigen: kijk dan maar alvast in de uitleg van paragraaf 6. Ik ga intussen verder met de inwendig-product-truc. De trucendoos is nog lang niet leeg. Het vectortje dX kan ik ook anders schrijven. Stel het vectortje dX is een miljoenste meter, dan kan ik ook een vector nemen van exact één meter en daar een miljoenste voor zetten als volgt: dxX. De vector X is hier dus een eenheidsvector, de lengte is één, en normaliter wordt dat aangegeven met een ‘dakje’ boven de vector. Uiteindelijk heb ik dan toch weer een vectortje van een miljoenste meter, dus zowel grootte als richting blijven onaangetast. Dit ga ik toepassen in vergelijking (4.36). De uitkomst van een inwendig product is per definitie een getal. Dus die vier inwendige producten X ∙ X die hierboven staan leveren vier getallen op. Zo’n getal noem ik g en ik geef er indices aan om ze uit elkaar te houden. Ik heb het hier uitgewerkt in twee dimensies, X₁ en X₄, maar het kan natuurlijk ook in drie dimensies. Daarvoor ga ik niet weer in detail alle stappen doornemen, ik schrijf alleen het eindresultaat op: En je voelt het al aankomen: de uitbreiding naar vier dimensies: Dit vráágt gewoon om een meer systematische formulering. Als ik hierbij de indices σ en τ introduceer dan kan ik ook schrijven:

Waarbij σ en τ onafhankelijk van elkaar achtereenvolgens de waarden 1, 2, 3, 4 doorlopen. Deze manier van afstanden beschrijven in gekromde dimensies is onderdeel van de differentiaal meetkunde of differentiaal geometrie. De grondlegger hiervan is Carl Friedrich Gauss en daarom vallen er ook weleens kreten als Gaussische coördinaten of Gaussische meetkunde. Als je in verband met relativiteitsheorie de naam Gauss hoort vallen dan is dat gegarandeerd als tegenhanger van Euclides. De meetkunde van de Griek Euclides betreft niet-gekromde vlakken, terwijl voor Gauss totaal geen restricties bestaan.

Een leerling van Gauss, Bernhard Riemann, heeft voortgeborduurd op het werk van Gauss, en het werk van Riemann diende op zijn beurt weer als fundament voor het werk van Einstein. Zonder de genialiteit van Riemann geweld aan te willen doen, was het toch echt Gauss die aan de basis stond van de differentiaal geometrie. Daarom: hulde aan Gauss!

Echter, om niemand tekort te doen wil ik hier in dit verband ook graag de Hongaar János Bolyai en de Rus Nikolai Ivanovich Lobachevsky vermelden. Deze twee mannen hebben, onafhankelijk van Gauss en onafhankelijk van elkaar, eveneens baanbrekend werk verricht op het gebied van de differentiaal geometrie. Zoals met zoveel zaken die vanuit een westers standpunt ‘niet passen’ wordt dat ‘gemakshalve’ vaak over het hoofd gezien. Daarom bij deze ook expliciet hulde aan Bolyai en Lobachevsky!

Verder is het zo dat het niet uitmaakt of je het inwendig product uitrekent van A ∙ B of B ∙ A (dit heet commutatief), de uitkomst blijft exact gelijk. Maar dat betekent dan wel dat: Oftewel, de 16 g_στ componenten hebben altijd maximaal 16 − 6 = 10 verschillende waarden. Of zoals Einstein het zegt: 12 g_στ componenten zijn paarsgewijs gelijk. Als ik de 16 g_στ componenten even netjes en logisch en overzichtelijk opschrijf dan ziet dat er zo uit: Deze tabel staat bekend als de metrische tensor, of kortweg de metriek, en is één van de bouwstenen van de algemene relativiteitstheorie. Over deze tensor is heel veel te vertellen, maar de essentie is: hij is ‘los’ van coördinaten (en net als bij de vectoren geldt ook voor de tensoren: de tensor is onafhankelijk van coördinatenstelsels, maar de componenten niet, de componenten vormen de verbinding met een coördinatenstelsel). Ik voel inmiddels de vraag bij je branden: wat is in vredesnaam een tensor? Logisch, dat had ik ook de eerste keer dat ik mij verdiepte in deze materie. Neem voor het moment gewoon even aan dat die zestien dingetjes van vergelijking (4.42) er zijn om de afstand ds te beschrijven. Punt. In paragraaf 6 kom ik uitgebreid terug op wat een tensor is, dus heb nog even geduld.

Vergelijking (4.41/E3) beschrijft de afstand ds van gebeurtenis G₁ naar gebeurtenis G₂ op eenduidige wijze en het maakt daarbij helemaal niet uit hoe mijn assenstelsel eruit ziet. Altijd, maar dan ook altijd, kan ik stellen dat vergelijking (4.41/E3) de afstand ds beschrijft. Dit kan ik niet genoeg benadrukken, dit is de kracht van de tensor. Verderop in het artikel besteedt Einstein een hele paragraaf (paragraaf 8) aan de metrische tensor, dus daar gaan we het nog uitgebreid over deze tensor hebben. De metrische tensor in algemene relativiteitstheorie wordt altijd aangegeven met indices μ en ν: g_μν. Deze tensor heeft ook een diagonaal. En met de diagonaal bedoel ik hier de hoofddiagonaal die van linksboven naar rechtsonder loopt. De andere diagonaal die van rechtsboven naar linksonder loopt is de nevendiagonaal. De 6 componenten boven de hoofddiagonaal zijn gelijk aan de 6 componenten onder de hoofddiagonaal, met andere woorden: de metrische tensor is symmetrisch (spiegelsymmetrie ten opzichte van de hoofddiagonaal). Wanneer de assen van een assenstelsel niet loodrecht op elkaar staan en/of de assen zijn niet kaarsrecht en/of de maatverdeling op de assen is niet overal gelijk, dan ontkom je er niet aan om de metrische tensor aan boord te halen. In het volgende hoofdstuk (hoofdstuk B) ga ik het uitgebreid hebben over tensoren en ‘hoe die dingen werken’. Wat verder nog belangrijk is om op te merken: die 16 g_στ componenten zijn bepaalde getallen wanneer de assen recht zijn en een constante maatverdeling hebben. Wanneer ik enkel naar dat stukje ds van figuur 4.32 kijk dan kan ik daar 16 getalletjes bij schrijven die daar ter plekke de metrische tensor vormen. Laten we dat dan maar eens doen. Daarom hier de definitie van het inwendig product: Omdat ik hierboven uitgegaan ben van eenheidsvectoren is | X | gelijk aan 1. Het inwendig product van twee eenheidsvectoren is dan simpelweg cos φ, de cosinus van de hoek die de beide vectoren met elkaar maken. Als ik die wijsheid gebruik en nogmaals naar vergelijking (4.38) kijk, dan is g₁₁ = g₄₄ = 1 (want de hoek tussen een vector en zichzelf is 0 graden en dus is de cosinus 1). En g₁₄ = g₄₁ = cos φ. Vergelijking (4.38) wordt dan: Die hoeken φ en θ teken ik er snel even bij in in figuur 4.34. En als je dan kijkt naar vergelijking (4.45) dan zie je de ... cosinusregel! Ja, denk maar even goed na, want die heb je vast wel gehad bij wiskunde. En indien de assen loodrecht op elkaar staan dan is de hoek tussen de vectoren 90 graden en de cosinus is dan 0. De laatste term valt dan uit vergelijking (4.44) (en (4.45)) en daarmee reduceert vergelijking (4.44) (en (4.45)) tot de stelling van Pythagoras. Wat zit de wiskundige wereld toch mooi in elkaar! Uiteindelijk ziet de tabel van de metriek, de metrische tensor, er dan zo uit: Dit vraagt nog wel om wat toelichting:

• Ten eerste zie je hier heel duidelijk dat wanneer alle assen loodrecht op elkaar staan de metriek versimpelt tot een hoofddiagonaal die gevuld is met enen en voor de rest uit nullen bestaat. Alle g_στ componenten zijn dan nul voor σ ≠ τ.
• Ten tweede hebben we hier de metriek bepaald op één punt in de ruimtetijd, namelijk de overgang van gebeurtenis G₁ naar G₂. Het is echter heel goed mogelijk dat de metriek een stukje verderop heel anders is. De 16 g_στ componenten zijn in die gevallen geen getallen, maar functies van x₁, x₂, x₃ en x₄ die hun waarde in elk punt van de ruimtetijd aangeven.
• Ten derde zie je hier op de hoofddiagonaal allemaal positieve enen staan, terwijl we in deze paragraaf uitgebreid het interval s² bestudeerd hebben waarbij de ruimtelijke coördinaten een minteken met zich meedroegen (zie vergelijking (4.2)). Het interval ds van figuur 4.32 heb ik wiskundig helemaal uitgewerkt alsof X₁ en X₄ ‘gewone’ ruimtelijke dimensies zijn, maar in relativiteitstheorie is dat allerminst het geval. Wanneer ik X₄ vervang door ict, dan wordt X₄² gelijk aan −c²t² en ontstaat het ruimteachtige interval (zie vergelijking (4.7)). Indien het mij gaat om het tijdachtige interval (en daar gaat het mij om) dan zal ik de gehele metrische tensor met −1 moeten vermenigvuldigen.
• Ten vierde heb ik in dit voorbeeld met slechts twee dimensies gewerkt. Van de beide andere dimensies heb ik gemakshalve aangenomen dat daar de assen keurig loodrecht op elkaar staan en er geen andere ‘gekke dingen’ aan de hand zijn.

Wanneer ik al deze wijsheid meeneem en vervolgens de metrische tensor opschrijf voor een tijdachtig interval waarbij de assen loodrecht op elkaar staan, dan wordt dat: Deze metriek wordt ook wel aangeduid als de Minkowski-metriek of de metriek van een vlakke ruimte. Wat er met dat laatste bedoeld wordt komt zo aan de orde, maar in ieder geval heeft men deze metriek een apart symbool toebedacht: η_μν.

Einstein doet deze hele afleiding trouwens anders. Hij zegt: de differentialen van de coördinatenstelsels zijn door lineaire homogene vergelijkingen met elkaar verbonden. Wat bedoelt hij daar nou weer mee? Stel, ik verplaats mij binnen het ene stelsel een heel klein stukje in de x-richting en mijn y-coördinaat en z-coördinaat blijven ongewijzigd. In het andere stelsel hoeft dat uiteraard helemaal niet zo te zijn, dat zou alleen waar zijn indien alle assen van beide stelsels parallel lopen en dezelfde schaalverdeling hebben. Kortom, mijn verplaatsing in de x-richting is in het andere stelsel misschien wel een verplaatsing in de y-richting of een combinatie van y-richting en z-richting. Maar aangezien we in het oneindig kleine bezig zijn is alles recht, zie figuur 4.35, en recht is in wiskundige taal lineair. Of wat formeler uitgedrukt: alle variabelen in een lineaire vergelijking hebben een exponent die gelijk is aan één en behalve de variabelen komen er alleen constanten voor in de vergelijking (dus geen logaritmes, sinussen, enzovoort). Bijvoorbeeld de vergelijking y = ax is een lineaire vergelijking, want als je een grafiek maakt van y als functie van x dan ontstaat een rechte lijn. Dus een stukje dX in het ene stelsel laat zich niet beschrijven met allerlei moeilijke wiskundige vergelijkingen (wortels, logaritmes, kwadraten, e-machten, enzovoort) in het andere stelsel, maar heel eenvoudig als: En dit kunnen we uiteraard uitbreiden voor alle vier dimensies. Maar de α₁ van vergelijking (4.48a) hoeft natuurlijk helemaal niet gelijk te zijn aan de α₁ van vergelijking (4.48b) (of (4.48c) of (4.48d)). Dat moeten we even duidelijk maken middels een extra index. De exponent, de macht, van alles wat we in vergelijking (4.49) zien is één, dus er staat nergens een kwadraat of een derde macht of een wortel. Alles is geschreven tot-de-macht-één, alle exponenten zijn dus gelijk. Dit noemen we homogeen, vergelijking (4.49) is een homogene vergelijking van dx (als er ergens een α² had gestaan dan was er nog steeds sprake van een homogene vergelijking van dx maar niet meer van α). En vergelijking (4.49) kunnen we natuurlijk veel systematischer opschrijven. Vergelijking (4.50) kan in vergelijking (4.34/E1) ingevuld worden en dan ziet dat er zo uit: Vervolgens is het een kwestie van haakjes wegwerken, waarna we maar liefst 64 termen hebben... Daarna nemen we termen met gelijke dx_σdx_τ samen en tellen de α’s bij elkaar op. De optellingen van de α’s geven we nieuwe namen: g. Ik hoop dat iedereen er mee kan leven, maar die hele geitenbrij ga ik hier niet uitschrijven, want uiteindelijk komen we toch echt wel weer hier uit: Zowel via de inwendig-product-truc van mij of via de benadering die Einstein kiest is duidelijk dat de g’s allemaal getallen zijn voor deze ene ds van de gebeurtenis G₁ naar gebeurtenis G₂. Nu komt een belangrijke conclusie. Het interval ds is invariant, iedere waarnemer meet hetzelfde interval ds, dat is een hele belangrijke basis om op verder te bouwen. En Einstein zegt het nog maar weer een keer: het interval ds is rechtstreeks meetbaar in de werkelijkheid met behulp van meetlatten en klokken. Het interval ds ligt dus vast zeg maar, en daarmee natuurlijk ook ds². En die dx_σ en dx_τ kunnen iedere kant opwijzen en van punt tot punt verschillen. De g_στ zijn daardoor functies van x en veranderlijk van punt tot punt. Bovendien is het x-systeem (kleine letter “x”) het coördinatenstelsel dat we zelf kiezen en het X-systeem (grote letter “X”) het ‘lokale’ coördinatenstelsel. In vergelijking (4.41/E3) komen die grote X’en helemaal niet voor en de g’s zijn functies van de kleine x’en. Dit laatste is essentieel en via mijn afleiding met de inwendig-product-truc beter inzichtelijk (vind ik), omdat ik daar het ‘lokale’ stelsel volledig buiten beschouwing laat. Uit mijn afleiding is ook heel duidelijk dat de g-metriek altijd symmetrisch is, omdat het inwendig product commutatief is. Oftewel g_στ = g_τσ (altijd), terwijl Einstein het doet voorkomen alsof daar nog een keuzevrijheid in bestaat (“Die g_στ sind hierbij so zu wählen”, wählen = kiezen). Dit is typisch zo’n moment dat ik denk: zie ik nou wat over het hoofd? Ik heb speciaal hiervoor nog even de nodige literatuur geraadpleegd, maar de metrische tensor is toch echt per definitie symmetrisch. De speciale relativiteitstheorie komt uit dit alles voort indien er voor een eindig gebied (dus niet noodzakelijkerwijs een oneindig klein gebied) de g_στ zo te kiezen zijn dat ze de volgende constante waarden aannemen: De som van de 1’en en −1’en op de hoofddiagonaal noemt men de signatuur van de metrische tensor. In dit geval is dat dus −2 of wat ook vaak als signatuuraanduiding wordt gebruikt is (−3, 1). Je kunt ook spreken van het spoor van de tensor. Het spoor is de som van de componenten op de hoofddiagonaal van een tensor en is altijd een enkel getal. De signatuur is eigenlijk een specifieke spooraanduiding van de metrische tensor. Tijdachtige intervallen (s² > 0) hebben aldus een negatieve signatuur en ruimteachtige intervallen (s² < 0) een positieve signatuur zoals ik in onderstaand plaatje nogmaals heb aangegeven. Indien de g_στ de waarden hebben volgens vergelijking (4.47), dan betekent dat dat een materieel punt (een stukje materie zeg maar) met constante snelheid beweegt via een rechte lijn. Wanneer we vervolgens overgaan naar een ander coördinatenstelsel, met andere ruimtetijdcoördinaten x₁, x₂, x₃ en x₄, dan zullen de g_μν mogelijk geen constanten meer zijn maar ruimtetijdfuncties. Even opletten hier: ineens wordt er niet meer over de indices στ gesproken maar over μν. En in dit nieuwe stelsel zal dat stukje materie wellicht dan niet meer volgens een rechte lijn bewegen, maar een willekeurige andere beweging volgen. Wordt er wel volgens een rechte lijn bewogen dan werken er dus geen krachten in op het stukje materie, alles gaat recht-toe-recht-aan, en een dergelijke ruimte noemen we een vlakke ruimte of ook wel Minkowski-ruimte. Wanneer er niet volgens een rechte lijn bewogen wordt dan zijn er krachten aan het werk die op dat stukje materie inwerken (zie uitleg paragraaf 2), en volgens het equivalentieprincipe (zie ook uitleg paragraaf 2) kan dat ook uitgelegd worden als werking van de zwaartekracht. Want, benadrukt Einstein, die inwerkende krachten zijn onafhankelijk van de aard van het stukje materie. Het maakt niet uit of dat stukje materie uit lood bestaat of uit wol, en of het wel of niet elektrisch geladen is, en of het wel of niet heet of koud is, enzovoort. Zwaartekracht is de enige kracht die onafhankelijk werkt van al deze variabelen. De zwaartekracht is gekoppeld aan de veranderlijkheid in de ruimtetijd van de g_στ.

De g_στ beschrijven de metrische eigenschappen van de vierdimensionale ruimtetijd en tegelijkertijd het zwaartekrachtveld.