Dit ziet er wellicht ongrijpbaar uit, want hoe kun je nou voorspellen wat de uitkomst is van een getal tot de macht duizend? Dat is (in dit geval) simpeler dan je zou denken, want je hoeft niet te weten wat de uitkomst is, je hoeft slechts te weten of de uitkomst kleiner of groter dan twee is. Verder is het ook nog zo dat de getallen gemakkelijk gekozen zijn. Want vermenigvuldigen met 1.001 betekent dat je een duizendste toevoegt, dus stel dat ik a vermenigvuldig met 1.001 dan krijg ik dit:

• a × 1.001 = a + een duizendste van a

Wanneer ik het resultaat nog een keer vermenigvuldig met 1.001 dan krijg ik dit:

• (a + een duizendste van a) × 1.001 = a + een duizendste van a + een duizendste van a + een duizendste van een duizendste van a = a + twee duizendste van a + een miljoenste van a

Die miljoenste van a verwaarloos ik:

• (a + een duizendste van a) × 1.001 = a + twee duizendste van a + een miljoenste van a ≈ a + twee duizendste van a

Vermenigvuldigen met 1.001 betekent dus dat ik minstens een duizendste toevoeg. In dit geval staat er “tot de macht duizend”, dus ik voeg 999 keer een duizendste toe (het aantal vermenigvuldigingen dat je uitvoert is altijd één minder dan de macht, kwadrateren bijvoorbeeld is iets tot de macht twee doen en dat is één vermenigvuldiging). Wanneer mijn uitgangspunt het getal één zou zijn dan zou ik daar 999 keer een duizendste aan toevoegen en (minstens) uitkomen op 1.999. Echter, mijn uitgangspunt is het getal 1.001 en daar voeg ik 999 keer een duizendste aan toe dus ik kom sowieso op twee uit. Omdat ik onderweg de restanten heb verwaarloosd (de miljoenste die hierboven in beeld kwam bijvoorbeeld) weet ik zeker dat ik over twee heen ga indien ik die restanten ook nog meetel. Kortom, 1.001¹⁰⁰⁰ is absoluut groter dan twee.

Ik kan een meer formele aanpak doen door eerst het probleem anders op te schrijven:

Vervolgens haal ik het binomium van Newton erbij:

Hierin zijn de binomiaalcoëfficiënten: Mijn probleem gaat er dan zo uitzien: Nu heb ik een reeks met 1001 termen en lijkt het alsof ik hier niets mee opschiet, maar dat is onjuist. Ik ga alleen de eerste twee termen, k = 0 en k = 1, uitwerken: De eerste twee termen leveren allebei precies één op, samen twee, en dan moeten de overige 999 termen nog komen. Kortom, ook op deze manier blijkt dat 1.001¹⁰⁰⁰ absoluut groter is dan twee.