De energie die een zwart voorwerp uitstraalt

Hoeveel energie wordt er door een perfect zwart voorwerp uitgestraald bij een bepaalde temperatuur en bij welke golflengte ligt de piek van deze uitgestraalde energie?

Planck

In de natuurkunde is een zwart voorwerp doorgaans geïdealiseerd als een voorwerp dat perfect straling absorbeert en eveneens perfect straling emitteert (uitzendt), straling reflecteren is niet aan de orde. De benamingen hiervoor zijn zwart lichaam (Engels: black body) of zwarte straler. Mijn uitgangspunt om aan een zwart voorwerp te rekenen is uiteraard de stralingswet van Planck, want die geeft de intensiteit van de uitgestraalde energie als functie van de golflengte en de temperatuur per vierkante meter oppervlak:

Dit ga ik in een grafiek uitzetten:

De grafiek van I (λ) voor T = 800 K (de rode lijn),
T = 900 K (de groene lijn) en T = 1000 K (de blauwe lijn)
Of met het hetzelfde bereik op de horizontale as, maar dan met een logaritmische schaalverdeling:

De grafiek van I (λ) voor T = 800 K (de rode lijn),
T = 900 K (de groene lijn) en T = 1000 K (de blauwe lijn)
Het gebruik van een logaritmische schaalverdeling is met name wel illustratief wanneer ik de golflengte laat variëren over een groot bereik. In de bovenstaande twee grafieken varieerde de golflengte een factor vijftig, en in de onderstaande twee grafieken varieert de golflengte een factor 1010 (eerst met een lineaire schaalverdeling en daarna met een logaritmische schaalverdeling) hetgeen duidelijk maakt dat de intensiteit bij een bepaalde golflengte piekt:

De grafiek van I (λ) voor T = 800 K (de rode lijn),
T = 900 K (de groene lijn) en T = 1000 K (de blauwe lijn)

De grafiek van I (λ) voor T = 800 K (de rode lijn),
T = 900 K (de groene lijn) en T = 1000 K (de blauwe lijn)
Om de totale uitgestraalde energie te berekenen moet ik sommeren over alle golflengtes, dus ik moet de functie volgens vergelijking (1) gaan integreren (en nog vermenigvuldigen met de oppervlakte A):
Ik stel:

Daarmee wordt de integraal:
Deze integraal zoek ik op in de tabel met integralen en zo kom ik tot dit resultaat:

Štefan

Boltzmann

Al die constanten pak ik samen en dat staat nu in de geschiedenisboeken als de constante van Štefan-Boltzmann:

Zodat ik het resultaat heel compact kan opschrijven als volgt, de wet van Štefan-Boltzmann:
Dat is toch wel opmerkelijk, de enige variabele hierin is de temperatuur (en de grootte van het oppervlak uiteraard)!

De energie die deze kop koffie uitstraalt is alleen afhankelijk van de temperatuur,
het maakt niet uit of de koffie lekker is, het maakt zelfs niet uit óf het koffie is
Zoals de voorgaande grafieken lieten zien treedt er ergens een maximum op. Om te vinden waar dat maximum zich bevindt ga ik vergelijking (1) differentiëren, maar eerst ga ik die verbouwen met behulp van vergelijking (3a):
Nu ga ik differentiëren:
Om het maximum te vinden ga ik de afgeleide nul stellen:
Bij x = 0 en x = ∞ liggen de minima, daar ben ik niet in geïnteresseerd en die kan ik dus uitdelen/negeren:
Waarna Excel mij even verder helpt: x = 4.9651142317. Dit resultaat stop ik in vergelijking (3a):
De golflengte waarbij de maximale intensiteit optreedt is omgekeerd evenredig met de temperatuur hetgeen al enigszins te zien was aan de voorgaande grafieken.

De grafiek van λp (T)

Deze kolen stralen rood licht, wanneer ze afkoelen (lagere temperatuur) stralen ze
infrarood (langere golflengte) die niet meer zichtbaar is voor onze ogen
maar wel voelbaar op onze huid
Het is natuurlijk ook wel interessant om te weten welke intensiteit hierbij hoort. Daarom ga ik deze λp invullen in de formule van Planck:
In plaats van golflengte als functie van de temperatuur kan ik vergelijking (12) natuurlijk ook opschrijven in de vorm van temperatuur als functie van de golflengte:
En dit vul ik in in vergelijking (13):
Dit voeg ik toe aan de eerste twee grafieken van deze pagina:

De grafiek van I (λ) voor T = 800 K (de rode lijn), T = 900 K (de groene lijn),
T = 1000 K (de blauwe lijn) en Ipp) (de oranje lijn),
lineaire horizontale schaalverdeling

De grafiek van I (λ) voor T = 800 K (de rode lijn), T = 900 K (de groene lijn),
T = 1000 K (de blauwe lijn) en Ipp) (de oranje lijn),
logaritmische horizontale schaalverdeling

Samengevat:

De intensiteit van de uitgestraalde energie als functie van de golflengte en de temperatuur per vierkante meter oppervlak:
De totale uitgestraalde energie:
De golflengte waarbij de maximale intensiteit optreedt als functie van de temperatuur:
De maximale intensiteit als functie van de temperatuur:
De maximale intensiteit als functie van de golflengte waarbij die maximale intensiteit optreedt: