Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie

Vectoren, vraagstuk 95

Gegeven het vectorveld:

En het rechthoekige blok B:

Het oppervlak van B geven we aan met ∂B en S_o is het ondervlak van B met naar beneden wijzende normaal.

Bereken:

Doe dit rechtstreeks en met de stelling van Stokes.
Zonder berekening kan de volgende integraal worden bepaald:

Doe dat en motiveer het antwoord.
Bereken:

Doe dit rechtstreeks en met de stelling van Gauss.

Het vectorveld v

Bereken:

Doe dit rechtstreeks en met de stelling van Stokes.

Wat buitengewoon prettig is bij dit vraagstuk is dat alles recht is en haaks op elkaar staat. De ribben van het blok lopen allemaal evenwijdig aan de x-as, y-as of z-as of vallen er zelfs mee samen. Indien een kromme geparametriseerd is met de booglengte dan is die kromme zelf te beschouwen als een flexibele as die opgedeeld is in allemaal eenheidsintervalletjes zoals dat altijd al het geval is bij de ‘normale’ x/y/z-assen. In dit geval betekent dit dus dat alle ribben inherent geparametriseerd zijn met de booglengte en dat we dit hele vraagstuk door alles rechtstreeks in x en y en z kunnen uitrekenen.

kennen we als volgt:

Dan wordt het uitwendig product × v:

Voor de richtingsvectoren van de vlakken van dit rechthoekige blok kunnen we de basisvectoren e_n kiezen. De vectoren dA vormen zich dan middels het uitwendig product van deze basisvectoren en dat worden dus eenheidsvectoren. De vector dA van het ondervlak is:

Het inwendig product van de rotatie met dA wordt:

Dan wordt de integraal:

Stokes

Volgens meneer Stokes geldt de stelling van Stokes:

Dus als ik ‘een rondje loop’ rondom het ondervlak S_o en het veld langs de kromme uitreken dan moet er hetzelfde resultaat uitkomen. Dit rondje rondom het ondervlak deel ik op in vier etappes k_n, ik ga eerst vanuit de oorsprong (0, 0, 0) naar (0, b, 0), vervolgens naar (a, b, 0), dan door naar (a, 0, 0) en ik eindig weer in de oorsprong (0, 0, 0). Zoals je ziet ga ik met de wijzers van de klok mee want de normaal van het ondervlak is naar beneden gericht (de kurkentrekkerregel). Uitgeschreven in integralen ziet dat er zo uit:

Mijn vier richtingsvectoren op dit traject zijn:

Daarmee kom ik tot de volgende vier inwendige producten:

Tijdens de eerste etappe is x = 0 en wordt de integraal:

Tijdens de tweede etappe is y = b en wordt de integraal:

Tijdens de derde etappe is x = a en wordt de integraal:

Tijdens de vierde etappe is y = 0 en wordt de integraal:

En dit brengt ons (wederom) bij het resultaat:
Zonder berekening kan de volgende integraal worden bepaald:

Doe dat en motiveer het antwoord.

Het rondje dat ik net gemaakt heb om het ondervlak S_o is tevens de rand van het totaal van de overige vlakken van het rechthoekige blok B: links + rechts + voor + achter + boven. De rotatie van het vectorveld door die vijf deelvlakken samen is dus ook 2ab² met naar onder/binnen wijzende normaalvector (net als bij het ondervlak). Wanneer ik echter de kringintegraal uitreken over alle vlakken, zoals hier gevraagd wordt, dan is dat met naar buiten wijzende normaalvector. Daarom zal ik bij de 2ab² voor de vijf deelvlakken een minteken toe moeten voegen en bij de 2ab² voor het ondervlak niet. De kringintegraal over alle zes vlakken wordt dan de som van 2ab² + (−2ab²) en dat is nul.
Bereken:

Doe dit rechtstreeks en met de stelling van Gauss.

Het blok B heeft zes vlakken (links, rechts, voor, achter, boven en onder) dus dat betekent dat ik zes integralen moet fiksen. Daar gaan we dan.

Onder (z = 0):

Links (y = 0):

Voor (x = a):

Rechts (y = b):

Achter (x = 0):

Boven (z = c):

De totale flux door het oppervlak is dan:

Gauss

Volgens meneer Gauss geldt de stelling van Gauss:

kennen we als volgt:

De divergentie van het vectorveld is:

En dit brengt ons (wederom) bij het resultaat: