Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De integraal van<br>f (x) = cos^n (ax)<br>(n = oneven)

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

De minimale straal van een holle bol

Een planeettijdreismachine

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

De Einstein-Rosen-brug

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De buitenkant van een wormgat

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Het waarneembare universum

Wat is een wormgat?

Het traagheidsmoment van twee hemellichamen

De tweelingparadox

De energie van zwaartekrachtgolven

Een dag zonder verjaardagen

Het vermogen van zwaartekrachtgolven

Tijdsvertraging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Tijdsvertraging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal volgens Einstein

De integralen van
f (x) = xⁿ/(a² + x²)^5/2

Een andere manier van leven

Een reeks afsplitsen van een functie

Afbuiging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Bewerkingen met reeksen

De Taylor-reeksen van
f (x) = x/(a ± x)²

De integralen van
f (x) = 1/((x + a)ⁿ (x² − a²))^1/2)

De integralen van
f (x) = cos^m (ax)/(1 + cos (ax))ⁿ

De integralen van
f (x) = (x²/(a² − x²))ⁿ

De massa van de atmosfeer

Hyper-Catalan-getallen

Een ontmoeting met aliens

Catalan-getallen

De Taylor-reeks van
f (x) = ln x

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = oneven)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = oneven)

De geodetische lijn van een lichtstraal bij een massa

De integralen van
f (x) = xⁿ/(x − a)

De integraal van
f (x) = 1/ln (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁵ (ax)

Een botsing met een zandkorrel

De opwarming van de Aarde

De integraal van
f (x) = cot¹⁰ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁸ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁶ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁴ (ax)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De gammafunctie

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

De contourintegraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

Holomorfie van de functie f (z) = z^p

Het grote filter

De integraal van
f (x) = tan⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁵ (ax)

Het getal e met een miljoen decimalen

De complete complementaire elliptische integraal van de derde soort

De complete complementaire elliptische integraal van de tweede soort

De complete complementaire elliptische integraal van de eerste soort

De complementaire elliptische integraal van de derde soort (vereenvoudigde vorm)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De contourintegraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De integraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

Contourintegralen

Integreren van complexe functies

Het spectrum van een zwart gat

De convergentie van een reeks

De Taylor-reeks van
f (x) = arctan (ax)

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van
f (x) = sin (ax)/x

De integraal van
f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

De Taylor-reeksen van
f (x) = b^±ax

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

De integraal van
f (x) = cosⁿ (ax)
(n = oneven)

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = cosⁿ (ax) (n = odd)

Vergelijking

Grafiek

De grafiek van f (x) = cosⁿ (ax) voor n = −1 (de rode lijn),
n = −3 (de oranje lijn), n = −5 (de groene lijn),
n = −7 (de paarse lijn) en n = −9 (de blauwe lijn), a = 1

Voor het integreren van deze functie ga ik gebruik maken van partieel integreren:

Vergelijking

Daarnaast dienen we de kettingregel van het differentiëren voor ogen te hebben:

Vergelijking

Vergelijking

De integraal wordt dan:

Vergelijking

Nu zitten we nog steeds met een integraal opgescheept, maar toch helpt dit ons verder. Laten we eens n = −3 invullen:

Vergelijking

De oplossing van de integraal van 1/cos x kun je elders vinden in de tabel met integralen. Dat brengt ons bij dit tussenresultaat:

Vergelijking

Vervolgens ga ik n = −5 invullen en direct het resultaat van n = −3 gebruiken:

Vergelijking

En dit resultaat gebruik ik bij n = −7:

Vergelijking

En tenslotte n = −9:

Vergelijking

De uitdaging is uiteraard om hierin de regelmaat te vinden en op te schrijven. Dat doe ik voor n = −9:

Vergelijking

Het dubbele faculteit-uitroepteken betekent dat alleen de oneven of even termen met elkaar vermenigvuldigd dienen te worden:

Vergelijking

Vergelijking

We kunnen het resultaat nog compacter schrijven als volgt:

Vergelijking

Ik ga die dubbele faculteiten omschrijven naar een enkele faculteit:

Vergelijking

Grafiek

De grafiek van F (x) voor n = −1 (de rode lijn),
n = −3 (de oranje lijn), n = −5 (de groene lijn),
n = −7 (de paarse lijn) en n = −9 (de blauwe lijn), a = 1, c = 0

Miniatuur

Naar de volgende integraal: de integraal van
f (x) = tan³ (ax)

Miniatuur

Naar de vorige integraal: de integraal van
f (x) = cosⁿ (ax)
(n = even)

Miniatuur

Tabel met integralen

Miniatuur

Tabel met afgeleiden

Miniatuur

Tabel met Taylor-reeksen

Miniatuur

Differentiëren

Miniatuur

Miniatuur

De integraal van
f (x) = (ax − b)^1/2

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/cos² (ax)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = x^ax (ln x + 1)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/cos⁸ (ax)

Miniatuur

De integralen van
f (x) = 1/((x + a₁) ∙∙∙ (x + a_n))

Miniatuur

De integralen van
f (x) = cotⁿ (ax)

Miniatuur

Combinaties en manipulaties met nabla

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 44

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 89

Miniatuur

Miniatuur

De Taylor-reeks van
f (x) = 1/(1 + x²)^1/2

Miniatuur

De convergentie van een reeks

Miniatuur

Miniatuur

Holomorfie van de functie
f (z) = z^*

Miniatuur

Integreren van complexe functies

Miniatuur

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 8

Miniatuur

De transformatievergelijking voor de energie van EM-golven

Miniatuur

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

Miniatuur

Miniatuur

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

Miniatuur

Miniatuur

De minimale straal van een holle bol

Miniatuur

Een planeettijdreismachine

Miniatuur

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Miniatuur

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Miniatuur

Getijdenkrachten

Miniatuur

Zijn wij vroeg of laat?

Miniatuur

Overzichtspagina wiskunde

Miniatuur

Overzichtspagina natuurkunde

Miniatuur

Overzichtspagina filosofie

Miniatuur

Doneer enkele euro’s

Miniatuur

Wetenschappelijke boeken te koop

Miniatuur

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2026