In paragraaf 8 hebben we het gehad over determinanten en onderdeterminanten. Determinanten kun je natuurlijk ook differentiëren en dat is waar we nu mee gaan beginnen. Om te beginnen neem ik de metrische tensor g_μν, en voor het gemak beperk ik mij tot twee dimensies. De determinant van g_μν is: En vervolgens ga ik dat differentiëren: Hier heb ik op het laatst expliciet het sommeringsteken ∑ toegevoegd, omdat er normaliter alleen gesommeerd dient te worden over indices die een keer hoog en een keer laag voorkomen. In dit specifieke geval staan alle indices laag, maar moet er wel gesommeerd worden. De volgende stap is dat ik dit alles uitbreid naar drie dimensies: De determinant hiervan is: De volgende stap is wederom het differentiëren: Ik kan dit hele spektakel ook gaan doorlopen voor vier en meer dimensies, maar ik hoop dat je van me wilt aannemen dat in zijn algemeenheid geldt: Vervolgens wil ik vergelijking (8.11) even terughalen: Ik heb dat in paragraaf 8 helemaal uitgewerkt, en daaruit kwam uiteindelijk de volgende vergelijking voort: Vergelijking (8.11) kan ik dus ook herschrijven als volgt: Oftewel: En als we dit in vergelijking (11.7) stoppen, dan krijgen we: Uit vergelijking (8.17/E16), die ik zojuist aanhaalde, komt ook het volgende naar voren: Door vergelijking (11.11) te differentiëren krijg ik: Daarmee kan ik vergelijking (11.10) ook schrijven als: En vergelijking (11.13/E28) ga ik nu gebruiken om even flink mee te knutselen: Even een tussendoortje: En dit mix ik met vergelijking (11.14): Ik haal nogmaals vergelijking (8.17/E16) terug: En deze vergelijking ga ik differentiëren: Wanneer ik de beide vergelijkingen van (11.17/E30) vermenigvuldig met de metrische tensor, een keer met de contravariante metrische tensor en een keer met de covariante metrische tensor, dan ontstaan de volgende vergelijkingen (ik vermenigvuldig eerst met de contravariante metrische tensor g^μτ): En door te vermenigvuldigen met de covariante metrische tensor g_ντ ontstaat: Uit paragraaf 9 kenden we reeds:

Door de eerste en derde index van dit Christoffel-symbool te verwisselen ontstaat:

Door de vergelijkingen (9.31/E21) en (11.20) bij elkaar op tellen én met de wetenschap dat de metrische tensor symmetrisch is, krijgen we dan de volgende uitdrukking: En dit gebruik ik vervolgens om vergelijking (11.18b/E31) te verbouwen: Laat ik vergelijking (9.33/E23) ook nog even in herinnering roepen: Daarmee kan ik vergelijking (11.22) omschrijven als volgt: En dit ga ik vervolgens weer gebruiken om vergelijking (11.16/E29) om te schrijven: We zijn inmiddels (hoop ik) aardig vertrouwd met het begrip vector. Een natuurkundige grootheid die ik kan weergeven middels een getal, een eenheid en een richting kan ik weergeven middels een pijltje, oftewel een vector. Als ik in oostelijke richting fiets met een snelheid van 20 km/uur, dan kan ik een pijltje naar rechts tekenen, met een lengte van 20 mm en daar zet ik dan het symbool v voor snelheid (velocity) bij (en vet gedrukt want het is een vector). We hebben ook al kennis gemaakt met de gradiëntvector . Door een scalarveld partieel te differentiëren naar alle variabelen waaruit dat scalarveld is opgebouwd (plaats, tijd, luchtdruk, enzovoort) ontstaan de componenten van de gradiëntvector . Die componenten zijn uiteraard afhankelijk van ‘waar ik mij bevind’ in dat scalarveld, met andere woorden, overal in dat scalarveld heb ik een andere gradiëntvector. Ik heb dus een heel veld van gradiëntvectoren, oftewel door een scalarveld te differentiëren ontstaat een vectorveld. Indien S het scalarveld beschrijft, dus S is bijvoorbeeld een functie van x en y en z, dan beschrijft S het vectorveld als functie van x en y en z als volgt: Of anders geschreven: Of nog anders geschreven: Nu kan ik links en rechts S uitdelen: Op deze manier geschreven spreken we over de nabla-operator. Vergelijking (11.28) parkeren we even. De volgende boeiende stap is om te onderzoeken hoe een vectorveld zich gedraagt. Stel ik heb het volgende vectorveld V: Waarbij v_n een functie is van x en y en z, of algemener gezegd: van x_n. Om dit vectorveld te onderzoeken willen we natuurlijk differentiëren. En de nabla-operator leent zich daar natuurlijk wel heel goed voor, want deze operator bestaat uit een set partiële afgeleiden naar de verschillende variabelen waar het vectorveld van afhankelijk is. Dus enerzijds hebben we de nabla-operator, een vector, en anderzijds het vectorveld, een hele verzameling vectoren. En vectoren kunnen op twee manieren ‘iets’ met elkaar doen, via het inwendig product of via het uitwendig product. Laten we eerst eens naar het inwendig product kijken: We noemen dit de divergentie (afgekort: div) van het vectorveld V: Het woord “divergeren” betekent “uiteenlopen” (het tegenovergestelde van divergeren is convergeren = samenkomen). De divergentie van een vectorveld laat zien hoe de vectoren van dat vectorveld uiteenlopen. En dit uit zich via een getal (want het is een inwendig product), dus de divergentie van een vectorveld is een scalarveld. Indien de divergentie nul is dan lopen de vectoren van het vectorveld keurig parallel, is de divergentie positief dan lopen de vectoren uiteen, en is de divergentie negatief dan lopen de vectoren naar elkaar toe (een negatieve divergentie uit zich dus als convergentie).

De andere optie is om de nabla-operator via het uitwendig product op een vectorveld los te laten: Laat ik vergelijking (6.10) er even bij halen: Dit ga ik gebruiken om iets zinvols van vergelijking (11.32) te maken: We noemen dit de rotatie (afgekort: rot) van het vectorveld V: De rotatie van een vectorveld laat zien hoe de vectoren van dat vectorveld draaien in de ruimte. Je kunt dit het beste visualiseren als een soort draaikolk of wervelwind. En omdat dat draaien een richting heeft uit zich dit via een vector (want het is een uitwendig product), dus de rotatie van een vectorveld is een vectorveld. Een wervelwind loopt altijd spits toe naar onder en heeft dus zowel divergentie als rotatie. Stel dat een wervelwind perfect verticale ‘wanden’ zou hebben dan heeft die wervelwind wel rotatie maar de divergentie is dan nul.

Zo, dan ben je nu ook op de hoogte van de divergentie en rotatie en kan ik de draad weer oppakken van het artikel van Einstein. Hij pakt vergelijking (10.15/E26) uit de vorige paragraaf erbij:

Ik ga beide zijden van deze vergelijking met de contravariante metrische tensor g^μν vermenigvuldigen: Door vervolgens de haakjes weg te werken en daarna gebruik te maken van wat ik bereikt heb met de vergelijkingen (11.16/E29) en (11.18b/E31) kom ik weer een stapje verder: Ik knutsel nog iets verder: Dit vergt inderdaad het uiterste voor wat betreft het bijhouden van welke-indices-staan-waar en zijn-ze-dummy-of-niet. Maar het is weer gelukt, hoera! Door nog even te stellen dat: En met in ons achterhoofd dat ν en α allebei dummy indices zijn verandert vergelijking (11.36) dan in: Het product g^μν A_μν is uiteraard een invariant, een scalar, en die noem ik Φ: Waarmee vergelijking (11.38) verder versimpelt tot: Door nog één trucje toe te passen bereik ik het eindresultaat van dit onderdeel: De scalar Φ is de divergentie van de contravariante vector A^ν. Dit ziet er wat anders uit dan de vergelijking voor de divergentie die ik hiervoor afleidde (vergelijking (11.30)), maar dat komt omdat ik daar uitging van Cartesische coördinaten (kaarsrechte assen die loodrecht op elkaar staan en een constante ‘maatverdeling’ hebben). Zoals je inmiddels wel door hebt is dit binnen de algemene relativiteitstheorie allemaal veel te beperkt en sluipt daarom overal de metrische tensor in onze vergelijkingen om al deze wiskundige abstracties, waar we nu al een aantal paragrafen in zitten, in overeenstemming te brengen met de werkelijkheid.

Voor het volgende onderwerp van deze paragraaf grijpt Einstein nogmaals terug op vergelijking (10.15/E26): Stel dat we twee willekeurige tensoren nemen, A_μν en A_νμ: Vervolgens vorm ik een nieuwe tensor door deze twee tensoren van elkaar af te trekken: Omdat de Christoffel-symbolen symmetrisch zijn in de eerste twee indices geldt: Waardoor vergelijking (11.43) vereenvoudigt tot: Hiervoor heb ik de divergentie afgeleid, dus je voelde het waarschijnlijk al aankomen: dit is de rotatie. De tensor B_μν is de rotatie van de covariante vector A_μ. Ook hier geldt dat dit er anders uitziet dan wat ik hiervoor heb afgeleid voor de rotatie. Ik ga deze tensor eens even helemaal uitschrijven: Wellicht herken je er nu de regelmaat in van vergelijking (11.33). Verder valt er nog op te merken dat de rotatietensor B_μν anti-symmetrisch is.

Voor het volgende onderwerp grijpt Einstein terug op vergelijking (10.37/E27): Ik kan de indices cyclisch verwisselen als volgt: Nu ga ik deze drie vergelijkingen optellen: Wanneer ik hier de voorwaarde aan toevoeg dat A_μν een anti-symmetrische tensor is, dus A_μν = − A_νμ, dan vallen zes termen van vergelijking (11.48) tegen elkaar weg (de termen met de Christoffel-symbolen, want die zijn symmetrisch in de eerste twee indices) en ontstaat: Bij de tensor B_μνσ kan ik op drie manieren twee indices verwisselen. Dat ga ik doen. Waarmee bewezen is dat de tensor B_μνσ eveneens anti-symmetrisch is, zoals Einstein ook aangeeft in zijn artikel (maar wat wij natuurlijk niet voetstoots aannemen).

Einstein haalt nogmaals vergelijking (10.37/E27) erbij: En vermenigvuldigt die vervolgens aan beide zijden met g^μα g^νβ: Voor g^μα g^νβ A_μνσ schrijven we A_σ^αβ: Vervolgens werk ik de haakjes weg: In de eerste term aan de rechterkant brengen we vervolgens g^μα g^νβ achter de differentiaal (de kromme d): En vervolgens breng ik nog vergelijking (11.23/E34) erbij in, daarna ga ik nauwkeurig de dummy indices herbenoemen en kan ik termen tegen elkaar wegstrepen. Tenslotte ga ik weer dummy indices herbenoemen en komen we tot het eindresultaat. Hierbij moeten we telkens goed in ons achterhoofd houden dat de metrische tensor symmetrisch is en dat de Christoffel-symbolen symmetrisch zijn in de eerste twee indices. Zo, dat was weer een hele toer om alle indices op de juiste plek te zetten maar we zijn uiteindelijk wel gekomen waar we wezen wilden. Einstein noemt dit resultaat wederom de uitbreiding (“erweiterung”) van een contravariante tensor van de tweede rang, maar in moderne taal staat hier de covariante afgeleide van een dergelijke tensor.

De afleiding die geleid heeft tot vergelijking (11.55/E38) kan natuurlijk ook gebruikt worden om de covariante afgeleide van een gemengde tensor van de tweede rang te bepalen. Ik ga die afleiding hier niet herhalen maar ik gebruik als uitgangspunt vergelijking (11.55/E38) en ga vervolgens met de indices knutselen: Nu is het een goed moment om even wat resultaten uit deze paragraaf en de vorige paragraaf op een rijtje zetten: We zien hier achtereenvolgens de covariante afgeleide van een scalarveld (vergelijking (10.6/E24)), de covariante afgeleide van een vectorveld (vergelijking (10.15/E26)), en driemaal de covariante afgeleide van een tensor van de tweede rang. Eerst voor een covariante tensor van de tweede rang (vergelijking (10.37/E27)), vervolgens voor een contravariante tensor van de tweede rang (vergelijking (11.55/E38)) en tenslotte voor een gemengde tensor van de tweede rang (vergelijking (11.56/E39)). Merk op dat de covariante afgeleide van een scalarveld de ‘gewone’ afgeleide is, want een scalar is immers invariant. Merk ook op dat in een Cartesisch coördinatenstelsel, een vlakke ruimte, alle Christoffel-symbolen nul zijn en dat de bovenstaande vijf vergelijkingen dan reduceren tot de ‘gewone’ afgeleide. Tenslotte is het wel een goed moment om hier het begrip tensorveld te introduceren. De eerste twee vergelijkingen zijn de covariante afgeleiden van een scalarveld en een vectorveld. In het verlengde daarvan liggen uiteraard de tensorvelden van iedere willekeurige rang, waarbij een scalarveld als een tensorveld van de nulde rang gezien kan worden en een vectorveld als een tensorveld van de eerste rang.

Voor het volgende onderdeel nemen we de tensor van vergelijking (11.55/E38) en gaan we een contractie doen door de indices β en σ aan elkaar gelijk te stellen (dus σ wordt β): Als we aannemen dat A^αβ een anti-symmetrische tensor is dan verdwijnt de middelste term van het rechterdeel helemaal want in dat geval geldt: Terwijl: Omdat β en κ allebei dummy indices zijn kan uiteindelijk de ene helft van de termen weggestreept worden tegen de andere helft van de termen (indien je het helemaal zou uitschrijven in termen). Vergelijking (11.57) reduceert dan tot: Met behulp van vergelijking (11.24/E29a) kunnen we ook schrijven: En hier hebben we wederom een vergelijking voor de divergentie, en ditmaal dus de divergentie van een anti-symmetrische tensor van de tweede rang.

Vergelijking (11.57) hebben we gevonden door een contractie uit te voeren op vergelijking (11.55/E38) met betrekking tot de indices β en σ. Nu gaan we iets soortgelijks doen door een contractie uit te voeren op vergelijking (11.56/E39) met betrekking tot de indices α en σ (α wordt in dit geval σ): Met behulp van vergelijking (11.24/E29a) kan het Christoffel-symbool in de rechterterm omgeschreven worden tot: Door de dummy index van de rechterterm te hernoemen en alles te vermenigvuldigen met √(−g) ontstaat: De eerste term en de derde term van het rechterlid zijn de resultaten van de productregel. Daardoor kunnen we ook schrijven: Het Christoffel-symbool in deze vergelijking is van de tweede soort en die kan ook geschreven worden als een Christoffel-symbool van de eerste soort als volgt: Omdat: Daarom kan de laatste term ook geschreven worden als: Door het Christoffel-symbool volledig uit te schrijven krijgen we: Als we aannemen dat de tensor A^ρσ symmetrisch is én met de wetenschap dat de tensor g dat sowieso is krijgen we deze vergelijking (de tweede term en derde term van het Christoffel-symbool vallen tegen elkaar weg): Ik kan deze vergelijking ook anders opschrijven door de tensor A^ρσ om te werken van een contravariante tensor naar een covariante tensor als volgt: Door gebruik te maken van vergelijking (11.18b/E31) kom ik dan tot dit resultaat: En hiermee zijn we aan het einde gekomen van een lange paragraaf vol met wiskundig gegoochel. Dit heeft allerlei vergelijkingen opgeleverd die later handig zullen blijken te zijn. We gaan het zien!