De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt
Wanneer ik vanaf grote afstand een baksteen in een niet-roterend zwart gat laat vallen, hoe lang duurt het dan totdat
de baksteen de horizon passeert bezien vanuit een waarnemer die met de baksteen meebeweegt?
De baksteen nadert de
horizon van het
zwarte gat,
een kabouter heeft zichzelf gepromoveerd tot meebeweger
door zich aan de baksteen vast te laten ketenen
Ik laat vanaf grote afstand een baksteen in een zwart gat
vallen en een kabouter, met een oranje mutsje, heeft zichzelf laten vastketenen aan de baksteen en zichzelf daarmee
tot meebewegende waarnemer [Engels: comoving observer of free falling observer of
rain observer (regendruppels zijn in vrije val als je de luchtweerstand verwaarloost)] gepromoveerd.
Op het plaatje hiernaast zie je de kabouter, die zichzelf vrijwillig gemeld heeft, vastgeketend aan de baksteen.
Hoeveel tijd verstrijkt er in zijn referentiekader, zijn referentiestelsel, zijn coördinatenstelsel, voordat hij
de horizon van het
zwarte gat passeert?
In
dit vraagstuk heb ik de snelheid afgeleid van een baksteen
die in een niet-roterend
zwart gat valt.
Vergelijking (6) van die pagina geeft de snelheid:
Ik neem ook vergelijking (3) van die pagina over (K is een of andere constante):
Dit is de snelheid van de baksteen voor een waarnemer ‘ergens ver weg’ (in dit geval ben ik dat, de persoon die de
baksteen loslaat).
Ik laat de baksteen in het
zwarte gat vallen, dus ik
gooi niet in deze of gene richting, er is radiële inval, en daarom is het impulsmoment gelijk aan nul (J = 0):
Ik laat de baksteen ‘gewoon’ los vanuit een positie ‘ver weg’, dus de beginsnelheid is nul.
Oftewel, v = 0 voor r = ∞:
Hiermee worden de vergelijkingen (2) en (3):
Ik haal even de Schwarzschild-oplossing
(oftewel de Schwarzschild-metriek) op, want die is hier van toepassing:
We hebben het hier over radiële inval, dus dφ = 0 en dθ = 0:
Voor een meebeweger, in dit geval de kabouter, verstrijkt er alleen maar tijd, zijn
eigentijd τ:
Door de vergelijkingen (5) en (9) te combineren ontstaat:
En dit substitueer ik vervolgens in vergelijking (6):
Ik breng de
Schwarzschild-straal
even in herinnering, de straal van een
zwart gat:
Hiermee wordt vergelijking (11) tenslotte:
Vervolgens ga ik links en rechts
integreren om tot de
invaltijd te komen volgens de meebeweger met de baksteen, dus volgens het horloge van de kabouter:
Het is nu uiteraard tijd voor een grafiek.
Ik stel R
s = 1 (horizontaal staat dan de afstand tot het
centrum van het
zwarte gat uitgezet in
Schwarzschild-stralen) en c = 1.
Ik laat de baksteen los op grote afstand van het
zwarte gat,
maar om de grafiek interessant te maken toont die de invaltijd vanaf 1000
Schwarzschild-stralen vanaf de
horizon en op dat punt leg ik ook het nulpunt van
de tijdmeting.
De grafiek van ∆τ
Dit ziet er prachtig uit, niets ‘raars’ te zien.
Laat ik maar eens inzoomen vanaf 100
Schwarzschild-stralen vanaf de
horizon.
De grafiek van ∆τ
Ik zoom verder in vanaf 10
Schwarzschild-stralen vanaf de
horizon.
De grafiek van ∆τ
Er is overduidelijk een eindige invaltijd voor de kabouter.
Ik zoom voor de laatste maal in, nu naar één
Schwarzschild-straal vanaf de
horizon.
De grafiek van ∆τ
Voor een verre waarnemer doet de baksteen er oneindig lang over om de
horizon te bereiken, maar voor een meebeweger,
in dit geval de kabouter, zal hij binnen een eindige tijd de
horizon oversteken en in het
zwarte gat verdwijnen.