Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

Wanneer ik vanaf grote afstand een baksteen in een niet-roterend zwart gat laat vallen, hoe lang duurt het dan totdat de baksteen de horizon passeert bezien vanuit een waarnemer die met de baksteen meebeweegt?

De baksteen nadert de horizon van het zwarte gat,
een kabouter heeft zichzelf gepromoveerd tot meebeweger
door zich aan de baksteen vast te laten ketenen

Ik laat vanaf grote afstand een baksteen in een zwart gat vallen en een kabouter, met een oranje mutsje, heeft zichzelf laten vastketenen aan de baksteen en zichzelf daarmee tot meebewegende waarnemer [Engels: comoving observer of free falling observer of rain observer (regendruppels zijn in vrije val als je de luchtweerstand verwaarloost)] gepromoveerd. Op het plaatje hiernaast zie je de kabouter, die zichzelf vrijwillig gemeld heeft, vastgeketend aan de baksteen. Hoeveel tijd verstrijkt er in zijn referentiekader, zijn referentiestelsel, zijn coördinatenstelsel, voordat hij de horizon van het zwarte gat passeert?

In dit vraagstuk heb ik de snelheid afgeleid van een baksteen die in een niet-roterend zwart gat valt. Vergelijking (6) van die pagina geeft de snelheid:

Ik neem ook vergelijking (3) van die pagina over (K is een of andere constante):

Dit is de snelheid van de baksteen voor een waarnemer ‘ergens ver weg’ (in dit geval ben ik dat, de persoon die de baksteen loslaat). Ik laat de baksteen in het zwarte gat vallen, dus ik gooi niet in deze of gene richting, er is radiële inval, en daarom is het impulsmoment gelijk aan nul (J = 0):

Ik laat de baksteen ‘gewoon’ los vanuit een positie ‘ver weg’, dus de beginsnelheid is nul. Oftewel, v = 0 voor r = ∞:

Hiermee worden de vergelijkingen (2) en (3):

Schwarzschild

Ik haal even de Schwarzschild-oplossing (oftewel de Schwarzschild-metriek) op, want die is hier van toepassing:

We hebben het hier over radiële inval, dus dφ = 0 en dθ = 0:

Voor een meebeweger, in dit geval de kabouter, verstrijkt er alleen maar tijd, zijn eigentijd τ:

Door de vergelijkingen (5) en (9) te combineren ontstaat:

En dit substitueer ik vervolgens in vergelijking (6):

Ik breng de Schwarzschild-straal even in herinnering, de horizon van een zwart gat:

Hiermee wordt vergelijking (11) tenslotte:

Vervolgens ga ik links en rechts integreren om tot de invaltijd te komen volgens de meebeweger met de baksteen, dus volgens het horloge van de kabouter:

Het is nu uiteraard tijd voor een grafiek. Ik stel R_s = 1 (horizontaal staat dan de afstand tot het centrum van het zwarte gat uitgezet in Schwarzschild-stralen) en c = 1. Ik laat de baksteen los op grote afstand van het zwarte gat, maar om de grafiek interessant te maken toont die de invaltijd vanaf 1000 Schwarzschild-stralen vanaf de horizon en op dat punt leg ik ook het nulpunt van de tijdmeting.

De grafiek van ∆τ

Dit ziet er prachtig uit, niets ‘raars’ te zien. Laat ik maar eens inzoomen vanaf 100 Schwarzschild-stralen vanaf de horizon.

De grafiek van ∆τ

Ik zoom verder in vanaf 10 Schwarzschild-stralen vanaf de horizon.

De grafiek van ∆τ

Er is overduidelijk een eindige invaltijd voor de kabouter. Ik zoom voor de laatste maal in, nu naar één Schwarzschild-straal vanaf de horizon.

De grafiek van ∆τ

Voor een verre waarnemer doet de baksteen er oneindig lang over om de horizon te bereiken, maar voor een meebeweger, in dit geval de kabouter, zal hij binnen een eindige tijd de horizon oversteken en in het zwarte gat verdwijnen.

Deze tabel geldt voor een niet-roterend zwart gat	Voor een verre stationaire waarnemer	Voor een nabije stationaire waarnemer	Voor een meebewegende waarnemer
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking		Toon uitwerking (= deze pagina)
De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking	Toon uitwerking	Toon uitwerking
De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking	Toon uitwerking	Toon uitwerking