Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | Vectoren, vraagstuk 56

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

De minimale straal van een holle bol

Een planeettijdreismachine

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

De Einstein-Rosen-brug

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De buitenkant van een wormgat

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Het waarneembare universum

Wat is een wormgat?

Het traagheidsmoment van twee hemellichamen

De tweelingparadox

De energie van zwaartekrachtgolven

Een dag zonder verjaardagen

Het vermogen van zwaartekrachtgolven

Tijdsvertraging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Tijdsvertraging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal volgens Einstein

De integralen van
f (x) = xⁿ/(a² + x²)^5/2

Een andere manier van leven

Een reeks afsplitsen van een functie

Afbuiging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Bewerkingen met reeksen

De Taylor-reeksen van
f (x) = x/(a ± x)²

De integralen van
f (x) = 1/((x + a)ⁿ (x² − a²))^1/2)

De integralen van
f (x) = cos^m (ax)/(1 + cos (ax))ⁿ

De integralen van
f (x) = (x²/(a² − x²))ⁿ

De massa van de atmosfeer

Hyper-Catalan-getallen

Een ontmoeting met aliens

Catalan-getallen

De Taylor-reeks van
f (x) = ln x

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = oneven)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = oneven)

De geodetische lijn van een lichtstraal bij een massa

De integralen van
f (x) = xⁿ/(x − a)

De integraal van
f (x) = 1/ln (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁵ (ax)

Een botsing met een zandkorrel

De opwarming van de Aarde

De integraal van
f (x) = cot¹⁰ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁸ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁶ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁴ (ax)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De gammafunctie

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

De contourintegraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

Holomorfie van de functie f (z) = z^p

Het grote filter

De integraal van
f (x) = tan⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁵ (ax)

Het getal e met een miljoen decimalen

De complete complementaire elliptische integraal van de derde soort

De complete complementaire elliptische integraal van de tweede soort

De complete complementaire elliptische integraal van de eerste soort

De complementaire elliptische integraal van de derde soort (vereenvoudigde vorm)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De contourintegraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De integraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

Contourintegralen

Integreren van complexe functies

Het spectrum van een zwart gat

De convergentie van een reeks

De Taylor-reeks van
f (x) = arctan (ax)

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van
f (x) = sin (ax)/x

De integraal van
f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

De Taylor-reeksen van
f (x) = b^±ax

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

Vectoren, vraagstuk 56

Gegeven de ruimtekromme C met parametrisering:

Vergelijking

Laat zien dat elk punt van de kromme op een kegel ligt waarvan de top zich in de oorsprong bevindt.
Interpreteer t als de tijd, en bereken de grootte van de snelheid van een punt dat volgens r (t) langs de baan C beweegt.
In welke richting verlaat de kromme de oorsprong (in t = 0)?
Bepaal de lengte van C als functie van t (laat eventueel een integraal in het antwoord staan).

Grafiek

De grafiek van r (t) = (x = t cos t, y = t sin t, z = t)

Laat zien dat elk punt van de kromme op een kegel ligt waarvan de top zich in de oorsprong bevindt.

Een kegel (een dubbele zelfs, een diabolo) met de top in de oorsprong
Ik ga de vergelijking voor C iets anders opschrijven:

Het deel tussen haakjes is een eenheidscirkel, dus x en y beschrijven een cirkel met straal t:

De straal t van deze cirkel neemt toe met toenemende z (want z = t) waardoor zich de kegel vormt.

Het is wellicht duidelijker door eerst om te schrijven naar cilindercoördinaten:

De vergelijking voor C wordt dan:

Hierin is de kegel misschien duidelijker herkenbaar.
Interpreteer t als de tijd, en bereken de grootte van de snelheid van een punt dat volgens r (t) langs de baan C beweegt.

De snelheid v volgt uit:

Waaruit de grootte (= norm) van v volgt:
In welke richting verlaat de kromme de oorsprong (in t = 0)?

Hiervoor vonden we reeds:

Door de coördinaten van de oorsprong, dus t = 0, in te vullen krijgen we het antwoord:
Bepaal de lengte van C als functie van t (laat eventueel een integraal in het antwoord staan).

Met alle voorgaande resultaten nog bij de hand is de booglengte te berekenen als volgt:

De oplossing van de integraal van (2 + x²)^1/2 kun je vinden in de tabel met integralen.

Miniatuur

Door naar het volgende vraagstuk: vectoren, vraagstuk 57

Miniatuur

Terug naar het vorige vraagstuk: vectoren, vraagstuk 55

Miniatuur

Overzichtspagina met vraagstukken

Miniatuur

Vraagstukken xref voor de UT

Miniatuur

De integraal van
f (x) = x (ax − b)^1/2

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/cos (ax)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = x² ln (a + (a² − x²)^1/2)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/cos¹⁰ (ax)

Miniatuur

De integralen van
f (x) = 1/(a² + x²)ⁿ

Miniatuur

De integralen van
f (x) = xⁿ/(x − a)

Miniatuur

Vraagstukken vectoren

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 45

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 90

Miniatuur

Miniatuur

De Taylor-reeks van
f (x) = 1/(1 − x²)^1/2

Miniatuur

De convergentie van een reeks

Miniatuur

Bijzondere figuren

Miniatuur

Holomorfie van de functie
f (z) = Re z/Im z

Miniatuur

Integreren van complexe functies

Miniatuur

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 9

Miniatuur

De relativistische bewegingsvergelijkingen

Miniatuur

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

Miniatuur

Miniatuur

Oplossing voor de elektromagnetische potentialen

Miniatuur

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

Miniatuur

Miniatuur

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

Miniatuur

Miniatuur

De minimale straal van een holle bol

Miniatuur

Een planeettijdreismachine

Miniatuur

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Miniatuur

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Miniatuur

Getijdenkrachten

Miniatuur

Zijn wij vroeg of laat?

Miniatuur

Overzichtspagina wiskunde

Miniatuur

Overzichtspagina natuurkunde

Miniatuur

Overzichtspagina filosofie

Miniatuur

Doneer enkele euro’s

Miniatuur

Wetenschappelijke boeken te koop

Miniatuur

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2026