De integraal van
f (x) = x2 ln (a + (a2 − x2)1/2)
Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = x2 ln (a + (a2 − x2)1/2)
De grafiek van f (x) = x
2 ln (a + (a
2 − x
2)
1/2) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)
Voor het
integreren van deze functie maak ik gebruik van
goniometrische substitutie door sinus of cosinus:
Daarnaast maak ik ook gebruik van de
dubbele-hoek-formules uit de
goniometrie:
Alles wordt uit de kast gehaald, want ik ga ook gebruik maken van
partieel integreren:
De
integraal wordt dan:
De
integraal in de rechterterm ga ik apart uitwerken:
Nu moet t uiteraard weer vervangen worden door x:
Ter controle ga ik dit tussenresultaat
differentiëren:
Nu keer ik terug naar het oorspronkelijke probleem:
Ter controle ga ik het resultaat
differentiëren:
Nu moet er nog wel iets gebeuren want de
logaritme van een negatief getal kan niet.
De oplossing is simpel, ik neem de
absolute waarde:
De grafiek van F (x) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn), c = 0