De integraal van
f (x) = x2 ln (a + (a2 − x2)1/2)

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = x2 ln (a + (a2 − x2)1/2)

De grafiek van f (x) = x2 ln (a + (a2 − x2)1/2) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)
Voor het integreren van deze functie maak ik gebruik van goniometrische substitutie door sinus of cosinus:


Daarnaast maak ik ook gebruik van de dubbele-hoek-formules uit de goniometrie:

Alles wordt uit de kast gehaald, want ik ga ook gebruik maken van partieel integreren:
De integraal wordt dan:
De integraal in de rechterterm ga ik apart uitwerken:
Nu moet t uiteraard weer vervangen worden door x:
Ter controle ga ik dit tussenresultaat differentiëren:
Nu keer ik terug naar het oorspronkelijke probleem:
Ter controle ga ik het resultaat differentiëren:
Nu moet er nog wel iets gebeuren want de logaritme van een negatief getal kan niet. De oplossing is simpel, ik neem de absolute waarde:

De grafiek van F (x) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn), c = 0