Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

Wanneer ik vanaf grote afstand een baksteen in een niet-roterend zwart gat laat vallen, wat is dan de versnelling van de baksteen op het moment dat die de horizon passeert bezien vanuit mij?

De baksteen nadert de horizon van het zwarte gat

Ik ben diegene die de baksteen laat vallen en ik bevind mij op grote afstand van het zwarte gat. Oftewel, ik ben een verre stationaire waarnemer [Engels: distant observer of Schwarzschild observer of bookkeeping observer of kortweg bookkeeper].

In dit vraagstuk heb ik de snelheid afgeleid van een baksteen die ik loslaat in de buurt van een zwart gat. Die snelheid is (vergelijking (9) van die pagina):

Schwarzschild

Hierin is R_s de Schwarzschild-straal, de straal van een zwart gat:

Versnelling is per definitie snelheidsverandering in de tijd:

Dit kan ik ook anders opschrijven:

Hier ga ik vergelijking (1) in invullen:

Dit is de versnelling van de baksteen bezien vanuit een waarnemer op een positie ‘ergens ver weg’. Het is wel interessant om dit resultaat te vergelijken met een klassieke berekening. Klassiek (newtoniaans) is de snelheid van de baksteen (zie voor de afleiding dit vraagstuk):

Waaruit de klassieke versnelling volgt:

Hier ga ik uiteraard een grafiek van maken en ik stel R_s = 1 (horizontaal staat dan de afstand tot het centrum van het zwarte gat uitgezet in Schwarzschild-stralen) en c = 1.

De grafiek van a (r), klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)

De vorige grafiek begon bij 40 Schwarzschild-stralen vanaf de horizon en ik zoom even in vanaf 10 Schwarzschild-stralen vanaf de horizon.

De grafiek van a (r), klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)

We zien dat de relativistische versnelling, de groene lijn, twee maxima vertoont (en nog een derde voor r = ∞, maar die boeit ons niet). Ik ga uitrekenen waar die twee maxima liggen en daarvoor ga ik vergelijking (5) differentiëren naar r:

De abc-formule helpt mij hier verder:

Hierbij horen de volgende versnellingen:

Op 3.7321 Schwarzschild-stralen vanaf de horizon bereikt het versnellen een maximum en begint de baksteen af te remmen. Dit afremmen bereikt een maximum op 0.2679 Schwarzschild-stralen vanaf de horizon. Bij passage van de horizon wordt zowel de snelheid als de versnelling van de baksteen gelijk aan nul, voor een verre waarnemer wel te verstaan.

Deze tabel geldt voor een niet-roterend zwart gat	Voor een verre stationaire waarnemer	Voor een nabije stationaire waarnemer	Voor een meebewegende waarnemer
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking		Toon uitwerking
De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking	Toon uitwerking	Toon uitwerking
De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt	Toon uitwerking (= deze pagina)	Toon uitwerking	Toon uitwerking