Vectoren, vraagstuk 45
Gegeven is het scalarveld G door:
Gegeven zijn ook de punten:
N is het niveau-oppervlak van G door het punt a.
-
Bepaal de volgende richtingsafgeleide
waarbij v de richting van punt a naar punt b is:
- Bepaal een normaalvector in het punt a op het niveau-oppervlak N.
- Bepaal een parametervoorstelling van het raakvlak aan N in het punt a.
De grafiek van G (x, y, z) = z ln ((xz + 1)/(y + 2)) voor z = 0
De grafiek van G (x, y, z) = z ln ((xz + 1)/(y + 2)) voor z = 1
De grafiek van G (x, y, z) = z ln ((xz + 1)/(y + 2)) voor z = 2
De grafiek van G (x, y, z) = z ln ((xz + 1)/(y + 2)) voor z = 3
-
Bepaal de volgende richtingsafgeleide
waarbij v de richting van punt a naar punt b is:
Om de gradiënt van G te berekenen bepalen we eerst alle partiële afgeleiden, maar daarvoor schrijf ik eerst de vergelijking voor het scalarveld G wat anders:
Nu ga ik differentiëren:
Daarmee is de gradiënt van G in een willekeurig punt:
Vervolgens vullen we het punt a in:
De richting van a naar b is:
De gradiënt in de richting van v is de projectie van
G op v,
oftewel Gv.
Dit is | Gv | maal een ‘eenheidsstukje’ van v, dus:
We rekenen nu eerst het inwendig product
G ∙ v uit:
En vervolgens | v |2:
Daarmee wordt de projectie:
Met als norm:
Oftewel:
-
Bepaal een normaalvector in het punt a op het niveau-oppervlak N.
De gradiënt is een normaalvector op het niveau-oppervlak, dus:
-
Bepaal een parametervoorstelling van het raakvlak aan N in het punt a.
De gradiënt is een normaalvector op het niveau-oppervlak, dus het inwendig product van de gradiënt met de richtingsvectoren van het niveau-oppervlak moet nul zijn:Ik kan er vervolgens voor kiezen tx of ty of tz nul te stellen:
Waardoor ik dit drietal richtingsvectoren tot mijn beschikking krijg:
Waarvan ik er twee uit kan kiezen voor het raakvlak aan N (en ik kies uiteraard a als steunvector):
Door naar het volgende vraagstuk: vectoren, vraagstuk 46
Terug naar het vorige vraagstuk: vectoren, vraagstuk 44
Naar de overzichtspagina met vraagstukken
Vraagstukken xref voor de UT
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integralen van
Vectoren, vraagstuk 32
Vectoren, vraagstuk 70
De Taylor-reeks van
De Taylor-reeks van
Involuties
Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 3
Muonen in de atmosfeer
Optellen van snelheden zonder invariantie van de lichtsnelheid
Periheliumprecessie als gevolg van een oblate ster
Het elektrische veld van een lange geladen geleider
De illusies die wij leven
De illusie van brieven uit de toekomst
Programmering en werkelijkheid
De Natuur spreekt: Sky/De Lucht
Natuurkundeclub Gℏc
De Riemann-zeta-functie
Hoe manifesteert zich ruimtetijdkromming?
Bernoulli-getallen
Faculteiten
Het getal e
Het getal pi
Getallen
De faculteitsfunctie
Waarom Homo Sapiens?
De trapeziummethode
Naar de overzichtspagina wiskunde
Naar de overzichtspagina natuurkunde
Naar de overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen