Vectoren, vraagstuk 45

Gegeven is het scalarveld G door:
Gegeven zijn ook de punten:

N is het niveau-oppervlak van G door het punt a.
  1. Bepaal de volgende richtingsafgeleide waarbij v de richting van punt a naar punt b is:
  2. Bepaal een normaalvector in het punt a op het niveau-oppervlak N.
  3. Bepaal een parametervoorstelling van het raakvlak aan N in het punt a.

De grafiek van G (x, y, z) = z ln ((xz + 1)/(y + 2)) voor z = 0

De grafiek van G (x, y, z) = z ln ((xz + 1)/(y + 2)) voor z = 1

De grafiek van G (x, y, z) = z ln ((xz + 1)/(y + 2)) voor z = 2

De grafiek van G (x, y, z) = z ln ((xz + 1)/(y + 2)) voor z = 3
  1. Bepaal de volgende richtingsafgeleide waarbij v de richting van punt a naar punt b is:
    Om de gradiënt van G te berekenen bepalen we eerst alle partiële afgeleiden, maar daarvoor schrijf ik eerst de vergelijking voor het scalarveld G wat anders:
    Nu ga ik differentiëren:


    Daarmee is de gradiënt van G in een willekeurig punt:
    Vervolgens vullen we het punt a in:
    De richting van a naar b is:
    De gradiënt in de richting van v is de projectie van G op v, oftewel Gv. Dit is | Gv | maal een ‘eenheidsstukje’ van v, dus:
    We rekenen nu eerst het inwendig product G ∙ v uit:
    En vervolgens | v |2:
    Daarmee wordt de projectie:
    Met als norm:
    Oftewel:
  2. Bepaal een normaalvector in het punt a op het niveau-oppervlak N.

    De gradiënt is een normaalvector op het niveau-oppervlak, dus:
  3. Bepaal een parametervoorstelling van het raakvlak aan N in het punt a.

    De gradiënt is een normaalvector op het niveau-oppervlak, dus het inwendig product van de gradiënt met de richtingsvectoren van het niveau-oppervlak moet nul zijn:
    Ik kan er vervolgens voor kiezen tx of ty of tz nul te stellen:


    Waardoor ik dit drietal richtingsvectoren tot mijn beschikking krijg:


    Waarvan ik er twee uit kan kiezen voor het raakvlak aan N (en ik kies uiteraard a als steunvector):