Oplossing voor de elektromagnetische potentialen
Vind een algemene oplossing voor de elektromagnetische potentialen.
In een ander vraagstuk heb ik de
elektromagnetische potentialen
reeds afgeleid:
Wat natuurlijk opvalt is de sterke gelijkenis tussen beide vergelijkingen, het is in beide gevallen een
kwestie van d’Alembertiaan loslaten op de potentiaal en het resultaat moet vervolgens gelijk zijn aan
datgene wat er aan de andere kant van het =-teken staat.
Stel nou dat de magnetische potentiaalvector
A gelijk zou zijn aan de elektrische scalarpotentiaal maal
een onbekende vector (en om redenen die
weldra duidelijk zullen worden zet ik er een paar constanten voor):
Daar is op zich niets op tegen wanneer de
afgeleiden van die onbekende
vector maar allemaal nul zijn,
want anders doorkruis ik de randvoorwaarden van A (in de eerste plaats natuurlijk de
Lorentz-ijk die mij de vergelijkingen (1)
gebracht hebben):
Met deze voorwaarden in mijn achterhoofd kan ik dan vergelijking (1b) als volgt schrijven:
En nu kan ik vergelijking (1a) hierin substitueren:
Ik doe even een dimensiecheck:
Kortom, die nieuwe
vector is een snelheid en
wanneer die snelheid maar constant is dan zijn alle
afgeleiden
nul en voldoe ik aan de vergelijkingen (3) en is er geen vuiltje aan de lucht.
Dat is wel een grote versimpeling, want wanneer ik vergelijking (1a) opgelost heb dan heb ik daarmee ook
gelijk vergelijking (1b) opgelost (onder de aanname van constante snelheid, want indien er versnelling in
het spel is dan valt mijn hele plan hier ter plekke in duigen).
Het is ook wel logisch dat die nieuwe
vector
een snelheid is, want
j is een stroomdichtheid en stroom is bewegende lading (stroom is lading maal snelheid).
In de noemer staat de ladingsdichtheid en die kan dus uitgedeeld worden waardoor er snelheid overblijft.
En over logica gesproken, wat is er logischer om die onbekende
vector dan maar gelijk de aanduiding
v te geven:
En over welke snelheid hebben we het dan precies?
Over de snelheid van de elektrische lading.
In het bovenstaande plaatje bevindt de waarnemer zich in het punt P terwijl de lading (de blauwe wolk) met een
constante snelheid v voorbij komt.
De
elektromagnetische potentialen ter plekke van het punt P
zijn dan φ en
A (met als onderlinge relatie vergelijking (7)).
Klimt de waarnemer aan boord van de blauwe wolk, of beweegt hij mee met de lading, dan is v = 0 en
A eveneens.
Toch is er nog een geniepig detail waar ik rekening mee dien te houden en dat komt voort uit de
Lorentz-ijk.
Die ijk schrijft namelijk voor:
Hier ga ik vergelijking (7) in invullen:
En vervolgens bepaal ik de
afgeleide naar de tijd
van de magnetische potentiaal waarbij ik direct gebruik maak van het voorgaande resultaat:
Let op dat minteken!
Ik heb de magnetische potentiaal en de elektrische potentiaal doodleuk aan elkaar gekoppeld middels een
vector (zie vergelijking (7)) en daar is ook
helemaal niets op tegen, maar door de
Lorentz-ijk
sluipt er een minteken in de
afgeleiden.
Die moet ik goed in de gaten houden.
Goed, dan ga ik mij nu op vergelijking (1a) richten.
Om te beginnen ga ik de d’Alembertiaan voluit opschrijven:
Ik neem die
tweede afgeleide naar de tijd
even apart en daar ga ik mee knutselen:
De versnelling
a is nul en die term gaat er dus uit en met de rest knutsel ik verder:
De snelheid is constant, niet alleen in de tijd gezien maar ook qua positie (de snelheid hier is niet anders
dan de snelheid daar).
Daarom zijn alle
afgeleiden van de snelheid
gelijk aan nul en vallen die termen er ook uit.
Sowieso was een constante snelheid een hoeksteen van deze pagina, zie de vergelijkingen (3).
Vergelijking (13) reduceert hierdoor tot:
En ik knutsel weer verder:
Dit ziet er niet best uit!
Is er nog iets dat ik kan inzetten om tot een oplossing te geraken, heb ik nog ergens een vrijheidsgraad?
Ik heb de
elektromagnetische potentialen afgeleid en
daarbij legde ik een randvoorwaarde op aan de
afgeleide naar de tijd van de
magnetische potentiaal
vector:
Om de vergelijkingen (1) af te leiden zette ik de
Lorentz-ijk in:
Daarnaast heb ik aan het begin van deze pagina de
elektromagnetische potentialen aan elkaar gekoppeld
door te stellen dat de elektrische lading alleen met constante snelheid mag bewegen.
Het enige waar ik nu nog bewegingsvrijheid mee heb is mijn coördinatenstelsel en dat stelsel ga ik
zo roteren dat de snelheid
v altijd langs de x-as gericht is.
Met andere woorden, de y-component en de z-component van de snelheid zijn altijd nul:
Dit zorgt voor een grote opruiming in vergelijking (15):
Nu kan ik eindelijk verder met vergelijking (11):
Ik ga vervolgens de x-as en heel klein beetje gelijkmatig uitrekken waardoor er een nieuwe x ontstaat:
Voor het gemak stel ik:
Dit vul ik in in vergelijking (19):
Met de belangrijke kanttekening dat ik onderweg de x-coördinaat verbouwd heb kan ik dan ook schrijven:
Dit is de wet van Poisson, daarvoor heb ik een
kant-en-klare oplossing op de plank liggen:
Nu wil ik natuurlijk terug naar de x die ik had:
En volgens vergelijking (7) heb ik nu ook gelijk de oplossing voor
A:
Aldus heb ik het resultaat van dit vraagstuk, een algemene oplossing voor de
elektromagnetische potentialen (met de randvoorwaarden
dat de lading met een constante snelheid beweegt en dat die snelheid alleen een x-component heeft):