De Taylor-reeks van
f (x) = ln (a + x)


De grafiek van f (x) = ln (a + x) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)
Ik ga de functie eerst iets anders opschrijven:
Ik stel:

Zodat de functie deze vorm krijgt:
De reeks van ln (1 + x) kun je elders vinden in de tabel met Taylor-reeksen:
Hiermee kom ik tot dit resultaat:
Nu moet u uiteraard weer vervangen worden door x:
Het is belangrijk om te kijken naar de convergentie van deze reeks, want indien de reeks divergeert dan hebben we er niets aan. De belangrijkste voorwaarde voor convergentie is indien de termen uitdoven als het ware, dus als een term voor grote waarden van n kleiner is dan de voorgaande term (in absolute waarden gesproken uiteraard):
Voor deze reeks ziet dat er als volgt uit:
Dit moet kleiner dan één zijn, oftewel | x | < a.

De grafiek van f (x) met daaroverheen de Taylor-reeks voor a = 1 (de oranje lijn),
a = 2 (de paarse lijn) en a = 3 (de grijze lijn),
100 termen meegenomen
Ik zoom nog even in op het convergentiegebied:

De grafiek van f (x) met daaroverheen de Taylor-reeks voor a = 1 (de oranje lijn),
a = 2 (de paarse lijn) en a = 3 (de grijze lijn),
100 termen meegenomen